Průhybová čára

Načtení nutných knihoven a zapnutí LaTeXovského výpisu,

%matplotlib inline
import sympy as sp
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from IPython.core.display import Image

sp.init_printing()

Zadání

U prutu podle obrázku stanovte příčný průřez s maximální hodnotu průhybu.

Image(filename='Pruhybova_cara.png',width=600)

Řešení

Zavedení nutných symbolů,

FA,FB,L,q=sp.symbols('FA FB L q')
E,J=sp.symbols('E J')
x1,x2=sp.symbols('x1 x2')
w1=sp.Function('w1')
w2=sp.Function('w2')
C1,C2,C3,C4=sp.symbols('C1 C2 C3 C4')

Nejdříve je nutné odstranit vazby. Vzhledem k tomu, že úloha je staticky určitá, nahradí se vazby $A$ a $B$ reakcemi $\boldsymbol{F}_A$ a $\boldsymbol{F}_B$, pro které platí následující soustava rovnic rovnováhy,

\begin{eqnarray} &&\sum M_A: \quad F_BL-q\frac{L^2}{18}=0 \\ &&\sum M_B: \quad F_AL-q\frac{5L^2}{18}=0 \end{eqnarray}

Zapsáno Pythonovsky,

MA=FB*L-q*L**2/18
MB=FA*L-q*5*L**2/18
MA,MB

$$\left ( FB L - \frac{L^{2} q}{18}, \quad FA L - \frac{5 q}{18} L^{2}\right )$$

Řešení této soustavy je,

sol=sp.linsolve([MA,MB],[FA,FB])
FA_,FB_=next(iter(sol))
FA_,FB_

$$\left ( \frac{5 L}{18} q, \quad \frac{L q}{18}\right )$$

Odstranění vazeb umožňuje vyjádření výsledných vnitřních účinků $M_1$ a $M_2$ na úseku s liniovým zatížením a zbytku prutu. Tyto jsou nutné k vyjádření průhybové čáry prutu. Úseky $1$ a $2$ budeme uvolňovat zleva.

Úsek $1$ pro $x_1\in\left(0,\frac{L}{3}\right)$,

M1=-q*x1**2/2+FA_*x1
M1

$$\frac{5 L}{18} q x_{1} - \frac{q x_{1}^{2}}{2}$$

Úsek $2$ pro $x_2\in\left(0,\frac{2L}{3}\right)$,

M2=-q*L/3*(x2+L/6)+FA_*(x2+L/3)
M2

$$- \frac{L q}{3} \left(\frac{L}{6} + x_{2}\right) + \frac{5 L}{18} q \left(\frac{L}{3} + x_{2}\right)$$

Diferenciální rovnice průhybové čáry jsou dvě, pro každý úsek, a mají tvar,

\begin{eqnarray} &&w_1''=-\frac{M_1}{EJ}\quad x_1\in\left(0,\frac{L}{3}\right) \\ &&w_2''=-\frac{M_2}{EJ}\quad x_2\in\left(0,\frac{2L}{3}\right) \end{eqnarray}

Úkol: Uvolněte úsek $2$ zprava a napište odpovídající diferenciální rovnici jeho průhubové čáry.

Výše uvedené diferenciální rovnice se mohou v sympy zapsat následovně,

deqn1=w1(x1).diff(x1,x1)+M1/E/J
deqn2=w2(x2).diff(x2,x2)+M2/E/J
deqn1,deqn2

$$\left ( \frac{d^{2}}{d x_{1}^{2}} \operatorname{w_{1}}{\left (x_{1} \right )} + \frac{1}{E J} \left(\frac{5 L}{18} q x_{1} - \frac{q x_{1}^{2}}{2}\right), \quad \frac{d^{2}}{d x_{2}^{2}} \operatorname{w_{2}}{\left (x_{2} \right )} + \frac{1}{E J} \left(- \frac{L q}{3} \left(\frac{L}{6} + x_{2}\right) + \frac{5 L}{18} q \left(\frac{L}{3} + x_{2}\right)\right)\right )$$

První rovnice má řešení,

dsol1=sp.dsolve(deqn1,w1(x1))
dsol1

$$\operatorname{w_{1}}{\left (x_{1} \right )} = C_{1} + C_{2} x_{1} - \frac{5 L q x_{1}^{3}}{108 E J} + \frac{q x_{1}^{4}}{24 E J}$$

Druhá rovnice má řešení,

dsol2=sp.dsolve(deqn2,w2(x2))
dsol2_modified=dsol2.subs([(C1,C3),(C2,C4)])
dsol2_modified

$$\operatorname{w_{2}}{\left (x_{2} \right )} = C_{3} + C_{4} x_{2} - \frac{L^{2} q x_{2}^{2}}{54 E J} + \frac{L q x_{2}^{3}}{108 E J}$$

kde $C_1$, $C_2$, $C_3$ a $C_4$ jsou neznámé konstanty, které se musí určit z okrajových podmínek a podmínek spojitosti (kompatibility) průhybové čáry,

Předchozí výrazy řešení $w_1$ a $w_2$ jsou objekty Equality, tedy rovnice, které se musí rozřešit pomocí příkazu solve, aby se s nimi mohlo dále pracovat,

w1_=sp.solve(dsol1,w1(x1))
w2_=sp.solve(dsol2_modified,w2(x2))
w1,w2=w1_[0],w2_[0]
w1,w2

$$\left ( \frac{1}{E J} \left(E J \left(C_{1} + C_{2} x_{1}\right) - \frac{5 L}{108} q x_{1}^{3} + \frac{q x_{1}^{4}}{24}\right), \quad \frac{1}{E J} \left(E J \left(C_{3} + C_{4} x_{2}\right) - \frac{L^{2} q}{54} x_{2}^{2} + \frac{L q}{108} x_{2}^{3}\right)\right )$$

Předchozí krok umožňuje mimo jiné vyjádřit i derivace $w_1^\prime$, $w_2^\prime$,

dw1=w1.diff(x1)
dw2=w2.diff(x2)
dw1,dw2

$$\left ( \frac{1}{E J} \left(C_{2} E J - \frac{5 L}{36} q x_{1}^{2} + \frac{q x_{1}^{3}}{6}\right), \quad \frac{1}{E J} \left(C_{4} E J - \frac{q x_{2}}{27} L^{2} + \frac{L q}{36} x_{2}^{2}\right)\right )$$

Konstanty $C_1$, $C_2$, $C_3$ a $C_4$ se určí z následujících okrajových pomínek a podmínek spojitosti a hladkosti průhybové čáry,

\begin{eqnarray} &&x_1=0\,\Rightarrow\, w_1(0)=0 \\ &&x_1=\frac{L}{3}\,\wedge x_2=0\,\Rightarrow\, w_1\left( \frac{L}{3}\right)=w_2(0)\,\wedge\, w_1'\left( \frac{L}{3}\right)=w_2'(0) \\ &&x_2=\frac{2L}{3}\,\Rightarrow\, w_2\left(\frac{2L}{3}\right)=0 \end{eqnarray}

Zapsáno Pythonovsky,

bc1=w1.subs(x1,0)
bc2=w1.subs(x1,L/3)-w2.subs(x2,0)
bc3=dw1.subs(x1,L/3)-dw2.subs(x2,0)
bc4=w2.subs(x2,2*L/3)

bc1,bc2,bc3,bc4

$$\left ( C_{1}, \quad - C_{3} + \frac{1}{E J} \left(E J \left(C_{1} + \frac{C_{2} L}{3}\right) - \frac{7 q}{5832} L^{4}\right), \quad - C_{4} + \frac{1}{E J} \left(C_{2} E J - \frac{L^{3} q}{108}\right), \quad \frac{1}{E J} \left(E J \left(C_{3} + \frac{2 C_{4}}{3} L\right) - \frac{4 q}{729} L^{4}\right)\right )$$

Výše sestavené okrajové podmínky tvoří soustavu algebraických rovnic pro neznámé $C_1$, $C_2$, $C_3$ a $C_4$. Její řešení je,

sol_bc=sp.linsolve([sp.expand(bc1),sp.expand(bc2),sp.expand(bc3),sp.expand(bc4)],[C1,C2,C3,C4])
C1_,C2_,C3_,C4_=next(iter(sol_bc))

C1_,C2_,C3_,C4_

$$\left ( 0, \quad \frac{25 L^{3} q}{1944 E J}, \quad \frac{L^{4} q}{324 E J}, \quad \frac{7 L^{3} q}{1944 E J}\right )$$

Zpětné dosazení vypočtených konstant do vztahů pro natočení a průhyb střenice vede na výrazy,

w1_solved=w1.subs({C1:C1_,C2:C2_})
dw1_solved=dw1.subs({C1:C1_,C2:C2_})
w2_solved=w2.subs({C3:C3_,C4:C4_})
dw2_solved=dw2.subs({C3:C3_,C4:C4_})

w1_solved

$$\frac{1}{E J} \left(\frac{25 q}{1944} L^{3} x_{1} - \frac{5 L}{108} q x_{1}^{3} + \frac{q x_{1}^{4}}{24}\right)$$

w2_solved

$$\frac{1}{E J} \left(E J \left(\frac{L^{4} q}{324 E J} + \frac{7 L^{3} q x_{2}}{1944 E J}\right) - \frac{L^{2} q}{54} x_{2}^{2} + \frac{L q}{108} x_{2}^{3}\right)$$

Vykreslení průhybové čáry:

Zadáním konkrétních hodnot se průhyby mohou vykreslit. Nechť tedy máme prut s následujícími geometrickými a zátěžnými parametry,

\begin{eqnarray} L&=&1\,\mathrm{m}\\ E&=&2.1\times 10^5\,\mathrm{MPa}\\ J&=&\frac{bh^3}{12}=\frac{20\times 50^3}{12}=208333\,\mathrm{mm}^4\\ q&=&10,20,30\,\mathrm{Nmm} \end{eqnarray}

Zapsáno Pythonovsky,

L_in=1000
E_in=2.1e5
b=20
h=50
J_in=b*h**3/12

Samotné vykreslení pro různé hodnoty $\boldsymbol{q}$,

xI=np.linspace(0,L_in/3,20)
wI10=[-w1_solved.evalf(subs={x1:ii,q:10,L:L_in,E:E_in,J:J_in}) for ii in xI]
wI20=[-w1_solved.evalf(subs={x1:ii,q:20,L:L_in,E:E_in,J:J_in}) for ii in xI]
wI30=[-w1_solved.evalf(subs={x1:ii,q:30,L:L_in,E:E_in,J:J_in}) for ii in xI]
xII=np.linspace(L_in/3,L_in,20)
wII10=[-w2_solved.evalf(subs={x2:ii-L/3,q:10,L:L_in,E:E_in,J:J_in}) for ii in xII]
wII20=[-w2_solved.evalf(subs={x2:ii-L/3,q:20,L:L_in,E:E_in,J:J_in}) for ii in xII]
wII30=[-w2_solved.evalf(subs={x2:ii-L/3,q:30,L:L_in,E:E_in,J:J_in}) for ii in xII]
x=[]

for ii in xI:
    x.append(ii)
    
for ii in xII:
    x.append(ii)
    
w10=wI10+wII10
w20=wI20+wII20
w30=wI30+wII30
fig,ax=plt.subplots()
plt.ylabel(r'$-w\ \mathrm{[mm]}$').set_fontsize(16)
plt.xlabel(r'$x\ \mathrm{[mm]}$').set_fontsize(16)
ax.plot(x,w10,label=r'$q=10\ \mathrm{Nmm}$',lw=2)
ax.plot(x,w20,label=r'$q=20\ \mathrm{Nmm}$',lw=2)
ax.plot(x,w30,label=r'$q=20\ \mathrm{Nmm}$',lw=2)
ax.legend(loc='upper center')
ax.grid(True)

Nejvíce prohnutý příčný průřez se dostane ze vztahu,

\begin{equation} \frac{\mathrm{d}w_2(x_2)}{\mathrm{d}x_2}=0\Rightarrow x_{w_{max}} \end{equation}

xI10_sol=sp.solve(dw2_solved.subs({q:10,L:L_in,E:E_in,J:J_in}),x2)
x10=L_in/3+xI10_sol[0]
wmax10=w2_solved.subs({q:10,L:L_in,E:E_in,J:J_in,x2:xI10_sol[0]})
xI20_sol=sp.solve(dw2_solved.subs({q:20,L:L_in,E:E_in,J:J_in}),x2)
x20=L_in/3+xI20_sol[0]
wmax20=w2_solved.subs({q:20,L:L_in,E:E_in,J:J_in,x2:xI20_sol[0]})
xI30_sol=sp.solve(dw2_solved.subs({q:30,L:L_in,E:E_in,J:J_in}),x2)
x30=L_in/3+xI30_sol[0]
wmax30=w2_solved.subs({q:30,L:L_in,E:E_in,J:J_in,x2:xI30_sol[0]})
print 'x10={} mm: wmax={} mm\nx20={} mm: wmax={} mm\nx30={} mm: wmax={} mm'.format(x10,wmax10,x20,wmax20,x30,wmax30)

x10=438.583058979885 mm: wmax=0.747672866327559 mm
x20=438.583058979884 mm: wmax=1.49534573265512 mm
x30=438.583058979885 mm: wmax=2.24301859898268 mm