Kombinované namáhání 2

Načtení potřebných knihoven:

%matplotlib inline
import sympy as sp
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D
from matplotlib import cm
from IPython.core.display import Image

Zavedení LaTeXovského výpisu výsledků:

sp.init_printing()

Zadání

Určete bezpečnost vhledem k meznímu stavu pružnosti u prutu podle obrázku, viz. obrázek.

Image(filename='zakrivene_q1.png')

Předpokládá se obdelníkový příčný průřez $b\times h$, přičemž je dáno: \begin{eqnarray} \sigma_{k}&=&350\,\mathrm{MPa},\ E&=&2.1\times10^{5}\,\mathrm{MPa},\ q&=&333\,\mathrm{N}\times\mathrm{mm}^{-1},\ R&=&350\,\mathrm{mm},\ h&=&50\,\mathrm{mm,}\ b&=&15\,\mathrm{mm}. \end{eqnarray}

Řešení:

Poznámka: Vnitřní účinky jsou zde řešeny diferencálním způsobem v křivočarých souřadnicích. Z praktického hlediska jde o velmi pracnou metodu, ikdyž její pochopení člověka jen obohatí. Proto je vhodné zde obdržené výsledné vnitřní účinky konfrontovat s integrálním přístupem.

Úkol: Vyjádřete standardně integrálním způsobem níže vyjádřené výsledné vnitřní učinky.

V řešení úlohy využijeme její symetrie. Úloha je $1\times$ staticky neurčitá a symetrická. Toho se využije tak, že se bude řešit jen levá část prutu jako vetknutý prut s částečným uvolněním podle obrázku výše, tj.

$$ w_A=0. $$

Nejdříve si zavedeme potředné proměnné:

T,N,M=sp.Function('T'),sp.Function('N'),sp.Function('M')
s,theta_1,theta_2,phi,phi0=sp.symbols(r's \theta_1 \theta_2 \varphi \varphi_0',real=True)
a,b,c=sp.symbols('a b c')
l=sp.symbols('s')
R=sp.symbols('R',real=True,positive=True)
p=sp.symbols('p')
q=sp.symbols('q',real=True)
E,J,S=sp.symbols('E J S')
C_1,C_2,D_1,D_2=sp.symbols('C_1 C_2 D_1 D_2',complex=True)
C_3,D_3=sp.symbols('C_3 D_3',real=True)
F_A,F,M_A=sp.symbols('F_A F M_A',real=True)

Diferenciální rovnice vnitřních účinků,

\begin{eqnarray} \frac{\mathrm{d}T(s)}{\mathrm{d}s}+\frac{N(s)}{R} &=& -q(s), \\ \frac{\mathrm{d}N(s)}{\mathrm{d}s} &=& \frac{T(s)}{R}, \\ \frac{\mathrm{d}M(s)}{\mathrm{d}s} &=& T(s), \end{eqnarray}

kde $s$ je délka oblouku měřená ve směru hodinových ručiček (nemusí být nutně kruhový), $R$ je poloměr střednice prutu a $q(s)$ je liniové zatížení podél oblouku $s$. Hledáme řešení pro dva úseky. Na prvním úseku pro $s_1\in[0,\pi/3]$ platí nehomogenní tvar první rovnice, protože $q(s)=q=konst$. Na druhém úseku pro $s_2\in[0,\pi/6]$ platí homogenní tvar první rovnice, protože $q(s)=0$.

V sympy se předchozí rovnice mohou zapsat následovně,

deqn1=T(s).diff(s)+q+N(s)/R
deqn2=N(s).diff(s)-T(s)/R
deqn3=M(s).diff(s)-T(s)
deqn1,deqn2,deqn3

$$\left ( q + \frac{d}{d s} T{\left (s \right )} + \frac{1}{R} N{\left (s \right )}, \quad \frac{d}{d s} N{\left (s \right )} - \frac{1}{R} T{\left (s \right )}, \quad - T{\left (s \right )} + \frac{d}{d s} M{\left (s \right )}\right )$$

Derivováním druhé rovnice podle $s$ a její dosazení do rovnice první se dostane obyčejná diferemciální rovnice druhého řádu pro normálovou složku $N(s)$,

\begin{equation} R\frac{\mathrm{d}^{2}N(s)}{\mathrm{d}s^{2}}+\frac{N(s)}{R}=-q(s). \end{equation}

Sympy ji také umí spočítat,

deqn2s=deqn2.diff(s)
sol1=sp.solve(deqn2s,T(s).diff(s))
deqn10=deqn1.subs(T(s).diff(s),sol1[0])
deqn10

$$R \frac{d^{2}}{d s^{2}} N{\left (s \right )} + q + \frac{1}{R} N{\left (s \right )}$$

Pro úsek $s_1\in[0,\pi/3]$ se řešení se hledá ve tvaru,

\begin{equation} N(s_1)=\hat{N}(s_1)+\tilde{N}(s_1), \end{equation}

kde $\hat{N}(s)$ je homogenní řešení a $\tilde{N}(s)$ je partikulární řešení. Homogenní řešení se hledá ve tvaru,

$$ \hat{N}(s)=\mathrm{e}^{ps}, $$

kde $p$ je obecně komplexní číslo. Partikulární řešení se hledá ve tvaru,

$$ \tilde{N}(s)=as^2+bs+c, $$

kde $a$, $b$ a $c$ jsou reálné konstanty. Pro úsek $s_2\in[0,\pi/6]$ je diferenciální rovnice homogenní a řešení se hledá ve tvaru,

\begin{equation} N(s_2)=\hat{N}(s_2). \end{equation}

Vše vyřešíme pomocí sympy.

Homogenní řešení:

Nejdříve se dosadí předpokládaný tvar řešení $\hat{N}(s)$ do diferenciální rovnice pro $N(s)$ a $q=0$. Charakteristická rovnice pro $p$ má pak tvar,

#charakteristicka rovnice a jeji reseni
deqn11=deqn10.subs({N(s):sp.exp(p*s),q:0})
deqn12=deqn11.doit()
eqn3=sp.collect(deqn12,sp.exp(p*s),evaluate=False)
eqn4=eqn3[sp.exp(p*s)]
eqn4

$$R p^{2} + \frac{1}{R}$$

Její řešení je,

sol3=sp.solve(eqn4,p)
sol3

$$\left [ - \frac{i}{R}, \quad \frac{i}{R}\right ]$$

Dosazením těchto hodnot do $\hat{N}(s)$ za $p$ se dostane obecný tvar homogenní části řešení $N(s)$,

#predpokladany tvar reseni pro N
N0=C_1*sp.expand_complex(sp.exp(sol3[0]*s))+C_2*sp.expand_complex(sp.exp(sol3[1]*s))
N0

$$C_{1} \left(- i \sin{\left (\frac{s}{R} \right )} + \cos{\left (\frac{s}{R} \right )}\right) + C_{2} \left(i \sin{\left (\frac{s}{R} \right )} + \cos{\left (\frac{s}{R} \right )}\right)$$

Konstanty $C_1$ a $C_2$ jsou obecně komplexní a musí se určit z okrajových podmínek, jinými slovy z úplného uvolnění.

Partikulární řešení:

Předpokládaný tvar řešení $\tilde{N}(s)$ se dosadí do diferenciální rovnice pro $N(s)$, ale s nenulovou hodnotou $q$. Tím se dostane rovnice,

deqn11=deqn10.subs({N(s):a*s**2+b*s+c})
deqn12=deqn11.doit()
deqn12

$$2 R a + q + \frac{1}{R} \left(a s^{2} + b s + c\right)$$

Srovnáním koeficientů u $s^2$, $s$ a $1$ se dostane soustava rovnic

eqn5=sp.collect(sp.expand(deqn12),[s**2,s,1],evaluate=False)
eqn6=[eqn5[s**2],eqn5[s],eqn5[1]]
eqn6

$$\left [ \frac{a}{R}, \quad \frac{b}{R}, \quad 2 R a + q + \frac{c}{R}\right ]$$

a její řešení,

sol4=sp.linsolve(eqn6,[a,b,c])
sol4

$$\left\{\left ( 0, \quad 0, \quad - R q\right )\right\}$$

Takže partikulární řešení $\tilde{N}(s)$ má tvar,

a_,b_,c_=next(iter(sol4))
N0p=a_*s**2+b_*s+c_
N0p

$$- R q$$

Okrajové podmínky

K sestavení okrajových podmínek (uvolnění vazeb $A$ a $B$) je nutné znát statickou ekvivalenci liniového zatížení, viz. obrázek výše. Pro výslednici $F_q$ platí,

$$ F_q=\int_{s_1}^{s_2}q(s)\mathrm{d}s=\int_{-\frac{\varphi_0}{2}}^\frac{\varphi_0}{2}q\cos\varphi R\mathrm{d}\varphi. $$

Po integraci se pro $F_q$ dostane,

Fq=sp.integrate(q*R*sp.cos(phi),[phi,-phi0/2,phi0/2])
Fq

$$2 R q \sin{\left (\frac{\varphi_0}{2} \right )}$$

Okrajové podmínky pro $N(s)$ se mohou napsat následovně,

\begin{eqnarray} N_1(s_1) &=& -F_q\sin\frac{\pi}{6}=-2Rq\sin\frac{\pi}{6}\sin\frac{\pi}{6}=-Rq\left( 1-\cos\frac{\pi}{3}\right) \quad\mathrm{pro}\quad s_1=0, \\ N_1(s_1) &=& N_2(s_2)\quad\mathrm{pro}\quad s_1=\frac{R\pi}{3}\ \mathrm{a}\ s_2=0, \\ T_1(s_1)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}s_1}N_1(s_1) &=& \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}s_2}N_2(s_2)=T_2(s_2)\quad\mathrm{pro}\quad s_1=\frac{R\pi}{3}\ \mathrm{a}\ s_2=0, \\ N_2(s_2) &=& F_A-F_q\cos\left( \frac{\pi}{6}\right) =F_A-2Rq\sin\frac{\pi}{6}\cos\left(\frac{\pi}{6}\right)\quad\mathrm{pro}\quad s_2=\frac{R\pi}{6}, \end{eqnarray}

druhá a třetí podmínka znamená spojitost normálových a smykových vnitřních účinků na rozhraní úseků $1$ a $2$ a kde $F_A$ je neznámá síla, která se určí z deformační podmínky,

$$ w_A=\frac{\partial W}{\partial F_A}=0, $$

kde $w_A$ je průhyb ve směru síly $F_A$ a $W$ je deformační potenciální energie prutu. Výše napsané okrajové podmínky vedou na soustavu algebraických rovnic,

#sestaveni okrajovych podminek
N1=N0+N0p
dN1=N1.diff(s)
N2=N0.subs({C_1:D_1,C_2:D_2})
dN2=N2.diff(s)
bc=[sp.re(N1.subs(s,0)+Fq.subs(phi0,sp.pi/3)*sp.sin(sp.pi/6)), \
    sp.re(N1.subs(s,R*sp.pi/3)-N2.subs(s,0)), \
    sp.re(dN1.subs(s,R*sp.pi/3)-dN2.subs(s,0)), \
    sp.re(N2.subs(s,R*sp.pi/6)-F_A+Fq.subs(phi0,sp.pi/3)*sp.cos(sp.pi/6)), 
    sp.im(N1.subs(s,0)+Fq.subs(phi0,sp.pi/3)*sp.sin(sp.pi/6)), \
    sp.im(N1.subs(s,R*sp.pi/3)-N2.subs(s,0)), \
    sp.im(dN1.subs(s,R*sp.pi/3)-dN2.subs(s,0)), \
    sp.im(N2.subs(s,R*sp.pi/6)-F_A+Fq.subs(phi0,sp.pi/3)*sp.cos(sp.pi/6))]
bc  

$$\left [ - \frac{R q}{2} + \Re{C_{1}} + \Re{C_{2}}, \quad - R q + \frac{\Re{C_{1}}}{2} + \frac{\Re{C_{2}}}{2} - \Re{D_{1}} - \Re{D_{2}} + \frac{\sqrt{3} \Im{C_{1}}}{2} - \frac{\sqrt{3} \Im{C_{2}}}{2}, \quad - \frac{\sqrt{3} \Re{C_{1}}}{2 R} - \frac{\sqrt{3} \Re{C_{2}}}{2 R} + \frac{\Im{C_{1}}}{2 R} - \frac{\Im{C_{2}}}{2 R} - \frac{\Im{D_{1}}}{R} + \frac{\Im{D_{2}}}{R}, \quad - F_{A} + \frac{R q}{2} \sqrt{3} + \frac{\sqrt{3} \Re{D_{1}}}{2} + \frac{\sqrt{3} \Re{D_{2}}}{2} + \frac{\Im{D_{1}}}{2} - \frac{\Im{D_{2}}}{2}, \quad \Im{C_{1}} + \Im{C_{2}}, \quad - \frac{\sqrt{3} \Re{C_{1}}}{2} + \frac{\sqrt{3} \Re{C_{2}}}{2} + \frac{\Im{C_{1}}}{2} + \frac{\Im{C_{2}}}{2} - \Im{D_{1}} - \Im{D_{2}}, \quad - \frac{\Re{C_{1}}}{2 R} + \frac{\Re{C_{2}}}{2 R} + \frac{\Re{D_{1}}}{R} - \frac{\Re{D_{2}}}{R} - \frac{\sqrt{3} \Im{C_{1}}}{2 R} - \frac{\sqrt{3} \Im{C_{2}}}{2 R}, \quad - \frac{\Re{D_{1}}}{2} + \frac{\Re{D_{2}}}{2} + \frac{\sqrt{3} \Im{D_{1}}}{2} + \frac{\sqrt{3} \Im{D_{2}}}{2}\right ]$$

Jejich řešením jsou veličiny $\Re{C_1}$, $\Im{C_1}$, $\Re{C_2}$, $\Im{C_2}$, $\Re{D_1}$, $\Im{D_1}$, $\Re{D_2}$ a $\Im{D_2}$,

#a jejich reseni vcetne reseni pro N
sol4=sp.solve(bc,[sp.re(C_1),sp.im(C_1),sp.re(C_2),sp.im(C_2),sp.re(D_1),sp.im(D_1),sp.re(D_2),sp.im(D_2)])
sol4

$$\left \{ \Re{C_{1}} : \frac{R q}{4}, \quad \Re{C_{2}} : \frac{R q}{4}, \quad \Re{D_{1}} : \frac{\sqrt{3} F_{A}}{4} - \frac{3 q}{8} R, \quad \Re{D_{2}} : \frac{\sqrt{3} F_{A}}{4} - \frac{3 q}{8} R, \quad \Im{C_{1}} : \frac{F_{A}}{2}, \quad \Im{C_{2}} : - \frac{F_{A}}{2}, \quad \Im{D_{1}} : \frac{F_{A}}{4} - \frac{R q}{8} \sqrt{3}, \quad \Im{D_{2}} : - \frac{F_{A}}{4} + \frac{R q}{8} \sqrt{3}\right \}$$

Po jejich dosazení zpět do $N_1(s)$ a $N_2(s)$ se dostane,

N1_solved=N1.subs({C_1:sol4[sp.re(C_1)]+sp.I*sol4[sp.im(C_1)],C_2:sol4[sp.re(C_2)]+sp.I*sol4[sp.im(C_2)]})
N2_solved=N2.subs({D_1:sol4[sp.re(D_1)]+sp.I*sol4[sp.im(D_1)],D_2:sol4[sp.re(D_2)]+sp.I*sol4[sp.im(D_2)]})
N1=sp.expand(N1_solved)
N2=sp.expand(N2_solved)
N1,N2

$$\left ( F_{A} \sin{\left (\frac{s}{R} \right )} + \frac{R q}{2} \cos{\left (\frac{s}{R} \right )} - R q, \quad \frac{F_{A}}{2} \sin{\left (\frac{s}{R} \right )} + \frac{\sqrt{3} F_{A}}{2} \cos{\left (\frac{s}{R} \right )} - \frac{R q}{4} \sqrt{3} \sin{\left (\frac{s}{R} \right )} - \frac{3 q}{4} R \cos{\left (\frac{s}{R} \right )}\right )$$

Pro $T_1(s)$ a $T_2(s)$ platí,

#vysledne reseni pro T
T1=R*N1.diff(s)
T2=R*N2.diff(s)
T1,T2

$$\left ( R \left(\frac{F_{A}}{R} \cos{\left (\frac{s}{R} \right )} - \frac{q}{2} \sin{\left (\frac{s}{R} \right )}\right), \quad R \left(- \frac{\sqrt{3} F_{A}}{2 R} \sin{\left (\frac{s}{R} \right )} + \frac{F_{A}}{2 R} \cos{\left (\frac{s}{R} \right )} + \frac{3 q}{4} \sin{\left (\frac{s}{R} \right )} - \frac{\sqrt{3} q}{4} \cos{\left (\frac{s}{R} \right )}\right)\right )$$

Pro momenty $M_1(s)$ a $M_2(s)$ na základě výše uvedených Schwedlerových vztahů platí,

$$ M_1(s)=\int T_1(s)\mathrm{d}s+C_3,\qquad M_2(s)=\int T_2(s)\mathrm{d}s+D_3, $$

kde $C_3$ a $D_3$ jsou reálné konstanty, které se určí z okrajových podmínek,

\begin{eqnarray} M_1(s_1) &=& 0 \quad\mathrm{pro}\quad s_1=0, \\ M_1(s_1) &=& M_2(s_2) \quad \mathrm{pro}\quad s_1=\frac{R\pi}{3}\ \mathrm{a}\ s_2=0. \end{eqnarray}

Výše uvedené okrajové podmínky pro momenty $M_1(s)$ a $M_2(s)$ vedou na soustavu algebraických rovnic,

#okrajove podminky pro M1 a M2
M1=sp.integrate(T1,s)+C_3
M2=sp.integrate(T2,s)+D_3
bc=[M1.subs(s,0),M1.subs(s,R*sp.pi/3)-M2.subs(s,0)]
bc

$$\left [ C_{3} + \frac{R^{2} q}{2}, \quad C_{3} - D_{3} - R \left(\frac{\sqrt{3} F_{A}}{2} - \frac{3 q}{4} R\right) + R \left(\frac{\sqrt{3} F_{A}}{2} + \frac{R q}{4}\right)\right ]$$

Řešení předchozí soustavy,

sol5=sp.linsolve(bc,[C_3,D_3])
C_3_solved,D_3_solved=next(iter(sol5))
C_3_solved,D_3_solved

$$\left ( - \frac{R^{2} q}{2}, \quad \frac{R^{2} q}{2}\right )$$

Pro $M_1(s)$ a $M_2(s)$ pak platí,

M1=sp.expand(M1.subs(C_3,C_3_solved))
M2=sp.expand(M2.subs(D_3,D_3_solved))
M1,M2

$$\left ( F_{A} R \sin{\left (\frac{s}{R} \right )} + \frac{R^{2} q}{2} \cos{\left (\frac{s}{R} \right )} - \frac{R^{2} q}{2}, \quad \frac{F_{A} R}{2} \sin{\left (\frac{s}{R} \right )} + \frac{F_{A} R}{2} \sqrt{3} \cos{\left (\frac{s}{R} \right )} - \frac{\sqrt{3} q}{4} R^{2} \sin{\left (\frac{s}{R} \right )} - \frac{3 q}{4} R^{2} \cos{\left (\frac{s}{R} \right )} + \frac{R^{2} q}{2}\right )$$

Konečný tvar výsledných vnitřních účinků pro $\theta=s/R$ je následující,

Normálové složky $N_1(\theta_1)$ a $N_2(\theta_2)$, kde $\theta_1\in[0,\pi/3]$ a $\theta_2\in[0,\pi/6]$,

N1t=N1.subs(s,theta_1*R)
N2t=N2.subs(s,theta_2*R)
N1t,N2t

$$\left ( F_{A} \sin{\left (\theta_1 \right )} + \frac{R q}{2} \cos{\left (\theta_1 \right )} - R q, \quad \frac{F_{A}}{2} \sin{\left (\theta_2 \right )} + \frac{\sqrt{3} F_{A}}{2} \cos{\left (\theta_2 \right )} - \frac{R q}{4} \sqrt{3} \sin{\left (\theta_2 \right )} - \frac{3 q}{4} R \cos{\left (\theta_2 \right )}\right )$$

Smykové složky $T_1(\theta_1)$ a $T_2(\theta_2)$, kde $\theta_1\in[0,\pi/3]$ a $\theta_2\in[0,\pi/6]$,

T1t=T1.subs(s,theta_1*R)
T2t=T2.subs(s,theta_2*R)
T1t,T2t

$$\left ( R \left(\frac{F_{A}}{R} \cos{\left (\theta_1 \right )} - \frac{q}{2} \sin{\left (\theta_1 \right )}\right), \quad R \left(- \frac{\sqrt{3} F_{A}}{2 R} \sin{\left (\theta_2 \right )} + \frac{F_{A}}{2 R} \cos{\left (\theta_2 \right )} + \frac{3 q}{4} \sin{\left (\theta_2 \right )} - \frac{\sqrt{3} q}{4} \cos{\left (\theta_2 \right )}\right)\right )$$

Momentové složky $M_1(\theta_1)$ a $M_2(\theta_2)$, kde $\theta_1\in[0,\pi/3]$ a $\theta_2\in[0,\pi/6]$,

M1t=M1.subs(s,theta_1*R)
M2t=M2.subs(s,theta_2*R)
M1t,M2t

$$\left ( F_{A} R \sin{\left (\theta_1 \right )} + \frac{R^{2} q}{2} \cos{\left (\theta_1 \right )} - \frac{R^{2} q}{2}, \quad \frac{F_{A} R}{2} \sin{\left (\theta_2 \right )} + \frac{F_{A} R}{2} \sqrt{3} \cos{\left (\theta_2 \right )} - \frac{\sqrt{3} q}{4} R^{2} \sin{\left (\theta_2 \right )} - \frac{3 q}{4} R^{2} \cos{\left (\theta_2 \right )} + \frac{R^{2} q}{2}\right )$$

Odstranění statické neurčitosti:

Odstranění statické neurčitosti vede na vyřešení deformační podmínky,

$$ w_A=\frac{\partial W}{\partial F_A}=\int_{0}^{\pi/3}\frac{M_1(\theta_1)}{EJ}\frac{\partial M_1(\theta_1)}{\partial F_A}R\mathrm{d}\theta_1+\int_{0}^{\pi/6}\frac{M_2(\theta_2)}{EJ}\frac{\partial M_2(\theta_2)}{\partial F_A}R\mathrm{d}\theta_2=0. $$

Pomocí sympy se tato rovnice jednoduše vyjádří následovně,

dM1tdF_A=M1t.diff(F_A)
dM2tdF_A=M2t.diff(F_A)
eqn=sp.integrate(M1t/E/J*dM1tdF_A*R,(theta_1,0,sp.pi/3))+sp.integrate(M2t/E/J*dM2tdF_A*R,(theta_2,0,sp.pi/6))
eqn

$$\frac{R^{2}}{E J} \left(- \frac{F_{A} R}{8} \sqrt{3} + \frac{\pi F_{A}}{6} R + \frac{3 q}{16} R^{2}\right) + \frac{R}{E J} \left(\frac{\sqrt{3} F_{A}}{8} R^{2} + \frac{\pi F_{A}}{12} R^{2} - \frac{\pi q}{24} \sqrt{3} R^{3} - \frac{3 q}{16} R^{3}\right)$$

Jde o nikterak složitou linární rovnici o jedné neznámé $F_A$. Její řešení je následující,

sol6=sp.solveset(eqn,F_A)
F_A_solved=sp.collect(next(iter(sol6)),R*q)
F_A_solved

$$\frac{R q}{6} \sqrt{3}$$

Dosazením zadaných hodnot pro $R$ a $q$ se vnitřní účinky mohou vykreslit,

#vykreselni vnitrnich ucinku
#jejich vycisleni
bodu=50
meritko=5.
theta_=np.pi/3.
R_=350
q_=333

theta=np.linspace(0,np.pi/2.,bodu)

strednice_x=[-np.cos(ii) for ii in theta]
strednice_y=[np.sin(ii) for ii in theta]

grid_x=[[0,0],[0,-(1+1/(meritko-1))*np.cos(np.pi/3.)],[0,(-1-1/(meritko-1))]]
grid_y=[[0,(1+1/(meritko-1))],[0,(1+1/(meritko-1))*np.sin(np.pi/3.)],[0,0]]

N_plot=[float(N1t.subs({theta_1:ii,F_A:F_A_solved,R:R_,q:q_})) if ii<theta_ \
        else float(N2t.subs({theta_2:ii-theta_,F_A:F_A_solved,R:R_,q:q_})) for ii in theta]
N_plot_max=abs(max(N_plot))
N_plot_x=[(N_plot[ii]/meritko/N_plot_max+1)*strednice_x[ii] for ii in range(bodu)]
N_plot_y=[(N_plot[ii]/meritko/N_plot_max+1)*strednice_y[ii] for ii in range(bodu)]

T_plot=[float(T1t.subs({theta_1:ii,F_A:F_A_solved,R:R_,q:q_})) if ii<theta_ \
        else float(T2t.subs({theta_2:ii-theta_,F_A:F_A_solved,R:R_,q:q_})) for ii in theta]
T_plot_max=abs(max(T_plot))
T_plot_x=[(T_plot[ii]/meritko/T_plot_max+1)*strednice_x[ii] for ii in range(bodu)]
T_plot_y=[(T_plot[ii]/meritko/T_plot_max+1)*strednice_y[ii] for ii in range(bodu)]

M_plot=[float(M1t.subs({theta_1:ii,F_A:F_A_solved,R:R_,q:q_})) if ii<theta_ \
        else float(M2t.subs({theta_2:ii-theta_,F_A:F_A_solved,R:R_,q:q_})) for ii in theta]
M_plot_max=abs(max(M_plot))
M_plot_x=[(M_plot[ii]/meritko/M_plot_max+1)*strednice_x[ii] for ii in range(bodu)]
M_plot_y=[(M_plot[ii]/meritko/M_plot_max+1)*strednice_y[ii] for ii in range(bodu)]

#vykresleni
fig,axs=plt.subplots(2,2,figsize=(15,15))

ax=axs[0,0]
ax.axis("equal")
ax.tick_params(
    which='both',      # both major and minor ticks are affected
    bottom='off',      # ticks along the bottom edge are off
    top='off',         # ticks along the top edge are off
    labelbottom='off',
    left='off',
    right='off',
    labelleft='off') # labels along the bottom edge are off
ax.set_ylim(-0.05,1.3)
ax.set_title('Normalova slozka $N$ '+r'$[\mathrm{N}]$')
ax.plot(N_plot_x,N_plot_y,color="red",label='N',lw=2)
for ii in grid_x:
  ax.plot(ii,grid_y[grid_x.index(ii)],color="grey",lw=0.5)
for ii in range(bodu):
  pointx=[strednice_x[ii],N_plot_x[ii]]
  pointy=[strednice_y[ii],N_plot_y[ii]]
  ax.plot(pointx,pointy,color="red",lw=1)
  ax.text(pointx[1],pointy[1],str(int(N_plot[ii])), \
          horizontalalignment="left",fontsize=8,color="grey", \
          rotation=(-180.*theta[ii]/np.pi))
ax.plot(strednice_x,strednice_y,color="blue",label="strednice",lw=3)
ax.legend(loc='upper left')

ax=axs[0,1]
ax.axis("equal")
ax.tick_params(
    which='both',      # both major and minor ticks are affected
    bottom='off',      # ticks along the bottom edge are off
    top='off',         # ticks along the top edge are off
    labelbottom='off',
    left='off',
    right='off',
    labelleft='off') # labels along the bottom edge are off
ax.set_ylim(-0.05,1.3)
ax.set_title('Tecna slozka $T$ '+r'$[\mathrm{N}]$')
ax.plot(T_plot_x,T_plot_y,color="red",label='T',lw=2)
for ii in grid_x:
  ax.plot(ii,grid_y[grid_x.index(ii)],color="grey",lw=0.5)
for ii in range(bodu):
  pointx=[strednice_x[ii],T_plot_x[ii]]
  pointy=[strednice_y[ii],T_plot_y[ii]]
  ax.plot(pointx,pointy,color="red",lw=1)
  ax.text(pointx[1],pointy[1],str(int(T_plot[ii])), \
          horizontalalignment="left",fontsize=8,color="grey", \
          rotation=(-180.*theta[ii]/np.pi))
ax.plot(strednice_x,strednice_y,color="blue",label="strednice",lw=3)
ax.legend(loc='upper left')

ax=axs[1,0]
ax.axis("equal")
ax.tick_params(
    which='both',      # both major and minor ticks are affected
    bottom='off',      # ticks along the bottom edge are off
    top='off',         # ticks along the top edge are off
    labelbottom='off',
    left='off',
    right='off',
    labelleft='off') # labels along the bottom edge are off
ax.set_ylim(-0.05,1.3)
ax.set_title('Momentova slozka $M$ '+r'$[\mathrm{Nmm}]$')
ax.plot(M_plot_x,M_plot_y,color="red",label='M',lw=2)
for ii in grid_x:
  ax.plot(ii,grid_y[grid_x.index(ii)],color="grey",lw=0.5)
for ii in range(bodu):
  pointx=[strednice_x[ii],M_plot_x[ii]]
  pointy=[strednice_y[ii],M_plot_y[ii]]
  ax.plot(pointx,pointy,color="red",lw=1)
  ax.text(pointx[1],pointy[1],str(int(M_plot[ii])), \
          horizontalalignment="left",fontsize=8,color="grey", \
          rotation=(-180.*theta[ii]/np.pi))
ax.plot(strednice_x,strednice_y,color="blue",label="strednice",lw=3)
ax.legend(loc='upper left')

ax=axs[1,1]
ax.axis("equal")
ax.tick_params(
    which='both',      # both major and minor ticks are affected
    bottom='off',      # ticks along the bottom edge are off
    top='off',         # ticks along the top edge are off
    labelbottom='off',
    left='off',
    right='off',
    labelleft='off') # labels along the bottom edge are off
ax.plot([0,1],[0,1],color="red")
ax.plot([0,1],[1,0],color="red")

[<matplotlib.lines.Line2D at 0x7f4a9bdc8990>]

Kontrola mezního stavu pružnosti

Poslední část příkladu se věnuje meznímu stavu pružnosti prutu. Jednotlivé složky napětí v libovolném bodě příčného průřezu se spočítají podle vztahů,

\begin{eqnarray} \sigma^N_{s} &=& \frac{N}{S}, \\ \tau_{sz} &=& \frac{6T}{bh^{3}}\left(\frac{h^{2}}{4}-z^{2}\right), \\ \sigma^M_{s} &=& \frac{M}{J_{y}}z, \end{eqnarray}

kde $S$ je plocha průřezu a $J_y$ je kvadratický moment průřezu,

$$ J_y=\frac{1}{12}bh^3. $$

Druhý z výše napsaných vztahů je vztah Žuravského pro obdélníkový příčný průřez. Jednotlivé průběhy napětí v příčném průřezu pro $\theta=\pi/4$ se mohou pomocí knihovny matplotlib vykreslit následovně,

Vykreslení rozložení napětí v příčných průřezech

Poznámka: šedý obdélník značí příčný průřez a polohu nulových hodnot vnitřních účinků.

b,h=15,50

#vykresleni rozlozeni napeti
#sx - N
x,y,z=[],[],[]
for ii in np.linspace(-b/2.,b/2.,15): 
  for jj in np.linspace(-h/2.,h/2.,50):
    x.append(ii)
    y.append(jj)
    z.append(float(N1t.subs({theta_1:np.pi/4.,F_A:F_A_solved,R:R_,q:q_}))/b/h)
fig = plt.figure(figsize=(15,15))
ax = fig.gca(projection='3d')
ax.set_xlim3d(-1.1*h,1.1*h)
ax.set_ylim3d(-1.1*h,1.1*h)
#ax.set_zlim3d(-150,150)
ax.set_xlabel('$y$'+' '+r'$[\mathrm{mm}]$').set_fontsize(18)
ax.set_ylabel('$z$'+' '+r'$[\mathrm{mm}]$').set_fontsize(18)
ax.set_zlabel('$\sigma^N_s$'+' '+r'$[\mathrm{MPa}]$').set_fontsize(18)
ax.set_title('Normalove napeti $\sigma_s$\n od normalovych vnitrnich ucinku '+r'$N$' \
             +'\nv pricnem prurezu '+r'$\theta=\frac{\pi}{4}$').set_fontsize(18)
ax.plot([-b/2,-b/2,b/2,b/2,-b/2],[-h/2,h/2,h/2,-h/2,-h/2],color='grey')
ax.plot_trisurf(x, y, z, cmap=cm.jet, linewidth=0.2)

#txz - T
x,y,z=[],[],[]
meze_z=(-40,40)
for ii in np.linspace(-b/2,b/2,15): 
  for jj in np.linspace(-h/2,h/2,50):
    x.append(ii)
    y.append(jj)
    z.append(6*float(T1t.subs({theta_1:np.pi/4.,F_A:F_A_solved,R:R_,q:q_}))/b/h**3*(h**2/4-jj**2)) #tzv. Zuravskeho vzorec pro obdelnik
fig = plt.figure(figsize=(15,15))
ax = fig.gca(projection='3d')
ax.set_xlim3d(-1.1*h,1.1*h)
ax.set_ylim3d(-1.1*h,1.1*h)
ax.set_zlim3d(meze_z[0],meze_z[1])
ax.set_xlabel('$y$'+' '+r'$[\mathrm{mm}]$').set_fontsize(18)
ax.set_ylabel('$z$'+' '+r'$[\mathrm{mm}]$').set_fontsize(18)
ax.set_zlabel(r'$\tau^T_{xz}$'+' '+r'$[\mathrm{MPa}]$').set_fontsize(18)
ax.set_title('Smykove napeti '+r'$\tau_{sz}$'+'\n od posouvajicich vnitrnich ucinku '+r'$T_z$' \
             +'\nv pricnem prurezu '+r'$\theta=\frac{\pi}{4}$').set_fontsize(18)
ax.plot([-b/2,-b/2,b/2,b/2,-b/2],[-h/2,h/2,h/2,-h/2,-h/2],color='grey')
ax.plot_trisurf(x, y, z, cmap=cm.jet, linewidth=0.2)

#sx - M
x,y,z=[],[],[]
meze_z=(-600,600)
J_=1./12.*b*h**3 #<- kvadraticky moment plochy
for ii in np.linspace(-b/2,b/2,15): 
  for jj in np.linspace(-h/2,h/2,50):
    x.append(ii)
    y.append(jj)
    z.append(float(M1t.subs({theta_1:np.pi/4.,F_A:F_A_solved,R:R_,q:q_}))/J_*jj) 
fig = plt.figure(figsize=(15,15))
ax = fig.gca(projection='3d')
ax.set_xlim3d(-1.1*h,1.1*h)
ax.set_ylim3d(-1.1*h,1.1*h)
ax.set_zlim3d(meze_z[0],meze_z[1])
ax.set_xlabel('$y$'+' '+r'$[\mathrm{mm}]$').set_fontsize(18)
ax.set_ylabel('$z$'+' '+r'$[\mathrm{mm}]$').set_fontsize(18)
ax.set_zlabel('$\sigma^M_x$'+' '+r'$[\mathrm{MPa}]$').set_fontsize(18)
ax.set_title('Normalove napeti $\sigma_x$\n od momentovych vnitrnich ucinku '+r'$M_y$' \
             +'\nv pricnem prurezu '+r'$\theta=\frac{\pi}{4}$').set_fontsize(18)
ax.plot([-b/2,-b/2,b/2,b/2,-b/2],[-h/2,h/2,h/2,-h/2,-h/2],color='grey')
ax.plot_trisurf(x, y, z, cmap=cm.jet, linewidth=0.2)

<mpl_toolkits.mplot3d.art3d.Poly3DCollection at 0x7f4a9bd1c1d0>

Z průběhů vnitřních účinků nejde poznat, který příčný průřez je kritický, proto si vykreslíme průběhý maximálích tahových, případně redukovaných napětí podél celé středice prutu.

V krajních vláknech příčného průřezu, tj. pro $z=\pm h/2$, je normálové napětí superozicí napětí od účinků $N(s)$ a $M(s)$,

$$ \sigma_{s,max}=\frac{N(s)}{S}\pm\frac{M(s)}{W_{o}}, $$

kde

$$ S=bh\quad a\quad W_{o}=\frac{1}{6}bh^2. $$

Na střednici prutu studovaného příčného průřezu, tj. pro $z=0$, je superozice normálového napětí od složky vnitřních účinků $N(s)$ a smykového napětí od složky vnitřních účinků $T(s)$. Redukované napětí se vyjádří podle Trescovy teorie,

$$ \sigma_{red}=\sqrt{\left(\sigma_s^N\right)^2+4\left(\tau_{sz}^T\right)^2}=\sqrt{\left(\frac{N(s)}{S}\right)^2+4\left(\frac{3T(s)}{2S}\right)^{2}}. $$

S=b*h
Wo=1./6.*b*h**2
s_max_plus=N1t/S+M1t/Wo
s_max_minus=N1t/S-M1t/Wo
s_red=sp.sqrt((N1t/S)**2+4*(3*T1t/2/S)**2)

Vykreslení průběhu maximálních a redukovaných napětí podél střednice. Není nutné průběhy vykreslovat na zakřivené střednici, dokonce i v případě vnitřních účinků je to zbytečné a možná i matouci, protože člověk prostě křivočaře neuvažuje,

s_max_plus_plot=[float(s_max_plus.subs({theta_1:ii,F_A:F_A_solved,R:R_,q:q_})) for ii in theta]
s_max_minus_plot=[float(s_max_minus.subs({theta_1:ii,F_A:F_A_solved,R:R_,q:q_})) for ii in theta]
s_red_plot=[float(s_red.subs({theta_1:ii,F_A:F_A_solved,R:R_,q:q_})) for ii in theta]

fig,axs=plt.subplots(2,2,figsize=(15,15))

ax=axs[0,0]
ax.set_xticks((0.,np.pi/8,np.pi/4,3*np.pi/8,np.pi/2))
ax.set_xticklabels((r'$0$',r'$\pi/8$',r'$\pi/4$',r'$\pi/8$',r'$\pi/2$'),fontsize=14)
ax.set_xlabel(r'$\theta$'+' $\mathrm{[rad]}$').set_fontsize(16)
ax.set_ylabel(r'$\sigma_s^N+\sigma_s^M$'+' $\mathrm{[MPa]}$').set_fontsize(16)
ax.grid()
ax.plot(theta,s_max_plus_plot,lw=2)

ax=axs[0,1]
ax.set_xticks((0.,np.pi/8,np.pi/4,3*np.pi/8,np.pi/2))
ax.set_xticklabels((r'$0$',r'$\pi/8$',r'$\pi/4$',r'$\pi/8$',r'$\pi/2$'),fontsize=14)
ax.set_xlabel(r'$\theta$'+' $\mathrm{[rad]}$').set_fontsize(16)
ax.set_ylabel(r'$\sigma_s^N-\sigma_s^M$'+' $\mathrm{[MPa]}$').set_fontsize(16)
ax.grid()
ax.plot(theta,s_max_minus_plot,lw=2)

ax=axs[1,0]
ax.set_xticks((0.,np.pi/8,np.pi/4,3*np.pi/8,np.pi/2))
ax.set_xticklabels((r'$0$',r'$\pi/8$',r'$\pi/4$',r'$\pi/8$',r'$\pi/2$'),fontsize=14)
ax.set_xlabel(r'$\theta$'+' $\mathrm{[rad]}$').set_fontsize(16)
ax.set_ylabel(r'$\sigma_{red}$'+' $\mathrm{[MPa]}$').set_fontsize(16)
ax.grid()
ax.plot(theta,s_red_plot,lw=2)

ax=axs[1,1]
ax.axis("equal")
ax.tick_params(
    which='both',      # both major and minor ticks are affected
    bottom='off',      # ticks along the bottom edge are off
    top='off',         # ticks along the top edge are off
    labelbottom='off',
    left='off',
    right='off',
    labelleft='off') # labels along the bottom edge are off
ax.plot([0,1],[0,1],color="red")
ax.plot([0,1],[1,0],color="red")

[<matplotlib.lines.Line2D at 0x7f4a98d82ed0>]

Z obrázků jeden nahlédne, že extrémní napětí jsou v příčném průřezu $\pi/2$ a to tlaková pro případ superpozice normálových napětí $\sigma_s^N+\sigma_s^M$ a tahová pro případ superpozice $\sigma_s^N-\sigma_s^M$. Protože se předpokládá, že mez kluzu použitého materiálu je je stejná jak v tlaku, taki v tahu, bezpečnost se určí podle vztahu,

$$ k=\frac{\sigma_k}{\sigma_s^N+\sigma_s^M}. $$

Takže,

sk=350
k=np.abs(float(sk/s_max_plus.subs({theta_1:ii,F_A:F_A_solved,R:R_,q:q_})))
k

$$0.234928495372$$

Bezpečnost je naprosto nedostatečná, proto je nutné provést korekce v návrhu prutu.

Úkol: Modifikujte materiál prutu případně jeho příčný průřez tak, aby splnil podmínku mezního stavu pružnosti!!