Kvadratické momenty plochy

Př1:

Určete kvadratické momenty průřezu na obrázku k osám $y$ a $z$.

Řešení

Načtení potřebných knihoven,

In [8]:
from IPython.core.display import Image
import sympy as sp
from sympy.matrices import Matrix
sp.init_printing()
In [2]:
Image(filename='prurez1_.png')
Out[2]:

Zavedení potřebných symbolů,

In [3]:
r,phi=sp.symbols('r varphi')
R,d=sp.symbols('R d')

Protože jde o rotačně symterický průřez, je výhodné zavést polární souřadnice místo kartézských, tj.

\begin{eqnarray} y&=&r\cos\varphi, \\ z&=&r\sin\varphi, \end{eqnarray}
In [4]:
y=r*sp.cos(phi)
z=r*sp.sin(phi)
y,z
Out[4]:
$$\left ( r \cos{\left (\varphi \right )}, \quad r \sin{\left (\varphi \right )}\right )$$

včetně Jacobiánu a jeho determinantu

$$ \det\left( \boldsymbol{J}\right) = \left| \begin{array}{cc} \frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial \varphi} \\ \frac{\partial z}{\partial r} & \frac{\partial z}{\partial \varphi} \end{array} \right|= \left| \begin{array}{cc} \cos\varphi & -r\sin\varphi \\ \sin\varphi & r\cos\varphi \end{array} \right|=r $$
In [12]:
Jac=Matrix([[y.diff(r),y.diff(phi)],[z.diff(r),z.diff(phi)]])
Jac
Out[12]:
$$\left[\begin{matrix}\cos{\left (\varphi \right )} & - r \sin{\left (\varphi \right )}\\\sin{\left (\varphi \right )} & r \cos{\left (\varphi \right )}\end{matrix}\right]$$
In [13]:
detJac=Jac.det()
detJac
Out[13]:
$$r \sin^{2}{\left (\varphi \right )} + r \cos^{2}{\left (\varphi \right )}$$

a po úpravě

In [14]:
detJac=sp.collect(r,detJac)
detJac
Out[14]:
$$r$$

Osový kvadratický moment k ose $y$

$$ J_y=\int_\Omega z^2\mathrm{d}S. $$
In [17]:
Jy=sp.Integral(sp.Integral(z**2*detJac,[r,0,R]),[phi,0,2*sp.pi])
Jy
Out[17]:
$$\int_{0}^{2 \pi}\int_{0}^{R} r^{3} \sin^{2}{\left (\varphi \right )}\, dr\, d\varphi$$

a hodnota integrálu pro $r=R$ a $r=d/2$,

In [19]:
Jy_eval=Jy.doit()
Jy_eval,Jy_eval.subs(R,d/2)
Out[19]:
$$\left ( \frac{\pi R^{4}}{4}, \quad \frac{\pi d^{4}}{64}\right )$$

Osový kvadratický moment k ose $z$

$$ J_z=\int_\Omega y^2\mathrm{d}S. $$
In [20]:
Jz=sp.Integral(sp.Integral(y**2*detJac,[r,0,R]),[phi,0,2*sp.pi])
Jz
Out[20]:
$$\int_{0}^{2 \pi}\int_{0}^{R} r^{3} \cos^{2}{\left (\varphi \right )}\, dr\, d\varphi$$

a hodnota integrálu pro $r=R$ a $r=d/2$,

In [21]:
Jz_eval=Jz.doit()
Jz_eval,Jz_eval.subs(R,d/2)
Out[21]:
$$\left ( \frac{\pi R^{4}}{4}, \quad \frac{\pi d^{4}}{64}\right )$$

Deviační kvadratický moment k ose $y$ a $z$

$$ J_{yz}=\int_\Omega yz\mathrm{d}S. $$
In [23]:
Jyz=sp.Integral(sp.Integral(y*z*detJac,[r,0,R]),[phi,0,2*sp.pi])
Jyz
Out[23]:
$$\int_{0}^{2 \pi}\int_{0}^{R} r^{3} \sin{\left (\varphi \right )} \cos{\left (\varphi \right )}\, dr\, d\varphi$$

a hodnota integrálu pro $r=R$ a $r=d/2$,

In [24]:
Jyz_eval=Jyz.doit()
Jyz_eval,Jyz_eval.subs(R,d/2)
Out[24]:
$$\left ( 0, \quad 0\right )$$

Př2:

Najděte hlavní souřadnicový systém a hlavní centrální souřadnicový systém.

In [26]:
Image(filename='prurez2_.png')
Out[26]:

Řešení

Zavedení potřebných symbolů,

In [27]:
y,z=sp.symbols('y z')
a,b=sp.symbols('a b')

Osové momenty a deviační moment k osám $y$ a $z$. Nejdříve osový moment $J_y$,

$$ J_y = \int_\Omega z^2\mathrm{d}S, $$
In [28]:
Jy2=sp.Integral(sp.Integral(z**2,[z,0,b]),[y,0,a])
Jy2
Out[28]:
$$\int_{0}^{a}\int_{0}^{b} z^{2}\, dz\, dy$$

po integraci se dostane,

In [29]:
Jy2_eval=Jy2.doit()
Jy2_eval
Out[29]:
$$\frac{a b^{3}}{3}$$

Další je osový moment k ose $z$,

$$ J_z = \int_\Omega y^2\mathrm{d}S, $$
In [30]:
Jz2=sp.Integral(sp.Integral(y**2,[z,0,b]),[y,0,a])
Jz2
Out[30]:
$$\int_{0}^{a}\int_{0}^{b} y^{2}\, dz\, dy$$

po integraci se dostane,

In [31]:
Jz2_eval=Jz2.doit()
Jz2_eval
Out[31]:
$$\frac{a^{3} b}{3}$$

Poslední zbývá deviační moment,

$$ J_{yz} = \int_\Omega yz\mathrm{d}S, $$
In [32]:
Jyz2=sp.Integral(sp.Integral(y*z,[z,0,b]),[y,0,a])
Jyz2
Out[32]:
$$\int_{0}^{a}\int_{0}^{b} y z\, dz\, dy$$

který má po integraci hodnotu,

In [33]:
Jyz2_eval=Jyz2.doit()
Jyz2_eval
Out[33]:
$$\frac{a^{2} b^{2}}{4}$$

Natočení hlavního souřadnicového systému, viz obrázek, na kterém je naznačena kladná orientace úhlu $\alpha$. Natočení hlavního souřadnicového sytému se vyjádří vzorcem,

$$ \alpha=\frac{1}{2}\arctan \frac{2\left| J_{yz}\right| }{J_y-J_z}, $$

čímž se dostane hodnota $\alpha\in\left[ -\pi/4,\pi/4\right]$. Pro v absolutní hodnotě větší úhly $\alpha$ dojde k vzájemné záměně hlavních os.

In [34]:
alpha2=sp.Rational(1,2)*sp.atan(abs(2*Jyz2_eval)/(Jy2_eval-Jz2_eval))
alpha2
Out[34]:
$$\frac{1}{2} \operatorname{atan}{\left (\frac{\left|{a^{2} b^{2}}\right|}{- \frac{2 b}{3} a^{3} + \frac{2 a}{3} b^{3}} \right )}$$

Po dosazení za $a=2$ a $b=1$ se dostane úhel,

In [35]:
alpha2_eval=alpha2.subs({a:2,b:1})
alpha2_eval,float(alpha2_eval)
Out[35]:
$$\left ( - \frac{\pi}{8}, \quad -0.392699081699\right )$$

Hlavní hodnoty osových momentů se vypočítají podle vztahů,

$$ J_{1,2}=\frac{J_y+J_z}{2}\pm\sqrt{\left( \frac{J_y-J_z}{2}\right)^2+J_{yz}^2}. $$

Tedy

In [36]:
J2_1=(Jy2_eval+Jz2_eval)/2+sp.sqrt((Jy2_eval-Jz2_eval)**2/4+Jyz2_eval**2)
J2_2=(Jy2_eval+Jz2_eval)/2-sp.sqrt((Jy2_eval-Jz2_eval)**2/4+Jyz2_eval**2)
J2_1,J2_2
Out[36]:
$$\left ( \frac{a^{3} b}{6} + \frac{a b^{3}}{6} + \sqrt{\frac{a^{4} b^{4}}{16} + \frac{1}{4} \left(- \frac{a^{3} b}{3} + \frac{a b^{3}}{3}\right)^{2}}, \quad \frac{a^{3} b}{6} + \frac{a b^{3}}{6} - \sqrt{\frac{a^{4} b^{4}}{16} + \frac{1}{4} \left(- \frac{a^{3} b}{3} + \frac{a b^{3}}{3}\right)^{2}}\right )$$

Po dosazení za $a=2$ a $b=1$ se dostane,

In [37]:
J2_1_eval=J2_1.subs({a:2,b:1})
J2_2_eval=J2_2.subs({a:2,b:1})
float(J2_1_eval),float(J2_2_eval)
Out[37]:
$$\left ( 3.08088022904, \quad 0.252453104294\right )$$

Př3:

Najděte hlavní centrální souřadnicový systém pro příčný průřez podle obrázku.

In [38]:
Image(filename='prurez3_.png')
Out[38]:

Řešení

Zavedení proměnných,

In [40]:
L,h,t=sp.symbols('L h t')

Nejdříve je nutné spočítat polohu těžiště příčného průřezu. Příčný průřez rozdělíme tím nejhorším způsobem na dva obdélníky a jeden čtverec, abychom si procvičili tzv. Steinerovy věty,

\begin{eqnarray} J_y&=&J_{y_T}+z_t^2S, \\ J_z&=&J_{z_T}+y_t^2S, \\ J_{yz}&=&J_{y_Tz_T}+z_ty_tS, \end{eqnarray}

kde $S$ je plocha průřezu, $J_{y_T}$, $J_{z_T}$ a $J_{y_Tz_T}$ jsou kvadratické momenty k centrálnímu souřadnicovému systému a $y_t$ a $z_t$ jsou vzdálenosti počátku souřadnic $o_{yz}$ od počátku centrálního souřadnicového systému $o_{y_Tz_T}$ ve směru osy $y$ a $z$.

Nejdříve těžiště,

In [43]:
yT=((L-t)/2*t*(L-t)-t/2*t*t-t/2*(h-t)*t)/(t*(L-t)+t*t+(h-t)*t)
zT=(-t/2*t*(L-t)-t/2*t*t+(h-t)/2*(h-t)*t)/(t*(L-t)+t*t+(h-t)*t)
yT,zT
Out[43]:
$$\left ( \frac{- \frac{t^{3}}{2} - \frac{t^{2}}{2} \left(h - t\right) + t \left(\frac{L}{2} - \frac{t}{2}\right) \left(L - t\right)}{t^{2} + t \left(L - t\right) + t \left(h - t\right)}, \quad \frac{- \frac{t^{3}}{2} - \frac{t^{2}}{2} \left(L - t\right) + t \left(\frac{h}{2} - \frac{t}{2}\right) \left(h - t\right)}{t^{2} + t \left(L - t\right) + t \left(h - t\right)}\right )$$

Dosazením za $t=1$, $h=20$ a $L=10$ se pro $y_T$ a $z_T$ dostane,

In [44]:
yT_eval=yT.subs({t:1,h:20,L:10})
zT_eval=zT.subs({t:1,h:20,L:10})
yT_eval,zT_eval,float(yT_eval),float(zT_eval)
Out[44]:
$$\left ( \frac{61}{58}, \quad \frac{351}{58}, \quad 1.05172413793, \quad 6.05172413793\right )$$

První obdélník má kde svému hlavnímu centrálnímu souřadnicovému systému následující kvadratické momenty, které se spočítají podle vztahů (viz. Př2),

\begin{eqnarray} &&J_{y_{T_1}}=\frac{bh^3}{12}, \\ &&J_{z_{T_1}}=\frac{b^3h}{12}, \\ &&J_{y_{T_1}z_{T_1}}=0, \end{eqnarray}

kde $b$ a $h$ jsou šířka a výška tohot průřezu.

In [45]:
Jy31=(L-t)*t**3/12
Jz31=(L-t)**3*t/12
Jyz31=0
Jy31,Jz31,Jyz31
Out[45]:
$$\left ( \frac{t^{3}}{12} \left(L - t\right), \quad \frac{t}{12} \left(L - t\right)^{3}, \quad 0\right )$$

Posunutí počátků souřadnic nutných k použití Steinerových vět. Posunutí počátku $o_{y_{T_1}z_{T_1}}$ vzhledem k $o_{y_Tz_T}$ je ve směru osy $y_T$ v záporném smyslu, proto hodnota $y_{t_1}$ musí být záporná. Je možnost se také orientovat podle kvadrantů. Protože počátek $o_{y_{T_1}z_{T_1}}$ leží ve 4. kvadrantu souřadnicového systému $y_Tz_T$, musí být hodnota posunutí $y_{t_1}<0$ a $z_{t_1}>0$.

In [46]:
yt1=-((L-t)/2-yT_eval)
zt1=t/2+zT_eval
yt1,zt1
Out[46]:
$$\left ( - \frac{L}{2} + \frac{t}{2} + \frac{61}{58}, \quad \frac{t}{2} + \frac{351}{58}\right )$$

Hodnota osových a deviačního momentu prvního obdélníku k souřadnicovému systému $y_Tz_T$ vyjádřená pomocí Steinerových vět,

In [49]:
Jy31T=Jy31+zt1**2*((L-t)*t)
Jz31T=Jz31+yt1**2*((L-t)*t)
Jyz31T=Jyz31+yt1*zt1*((L-t)*t)
Jy31T,Jz31T,Jyz31T
Out[49]:
$$\left ( \frac{t^{3}}{12} \left(L - t\right) + t \left(L - t\right) \left(\frac{t}{2} + \frac{351}{58}\right)^{2}, \quad \frac{t}{12} \left(L - t\right)^{3} + t \left(L - t\right) \left(- \frac{L}{2} + \frac{t}{2} + \frac{61}{58}\right)^{2}, \quad t \left(L - t\right) \left(\frac{t}{2} + \frac{351}{58}\right) \left(- \frac{L}{2} + \frac{t}{2} + \frac{61}{58}\right)\right )$$

Dosazením za $t=1$, $h=20$ a $L=10$ se pro $J^1_{y_T}$, $J^1_{z_T}$ a $J^1_{y_Tz_T}$ dostane,

In [51]:
Jy31T_eval=Jy31T.subs({L:10,t:1,h:20})
Jz31T_eval=Jz31T.subs({L:10,t:1,h:20})
Jyz31T_eval=Jyz31T.subs({L:10,t:1,h:20})
float(Jy31T_eval),float(Jz31T_eval),float(Jyz31T_eval)
Out[51]:
$$\left ( 387.075802616, \quad 167.765457788, \quad -203.329369798\right )$$

Kvadratické momenty $J_{y_{T_2}}$, $J_{z_{T_2}}$ a $J_{y_{T_2}z_{T_2}}$ k vlastnímu hlavnímu souřadnicovému systému pro druhý obdélník,

In [52]:
Jy32=t**4/12
Jz32=t**4/12
Jyz32=0
Jy32,Jz32,Jyz32y_{T_2}
Out[52]:
$$\left ( \frac{t^{4}}{12}, \quad \frac{t^{4}}{12}, \quad 0\right )$$

Posunutí počátků souřadnic nutných k použití Steinerových vět. Obě posunutí počátku $o_{y_{T_2}z_{T_2}}$ vzhledem k $o_{y_Tz_T}$ jsou kladná, protože počátek $o_{y_{T_2}z_{T_2}}$ leží ve 3. kvadrantu souřadnicového systému $y_Tz_T$.

In [53]:
yt2=t/2+yT_eval
zt2=t/2+zT_eval
yt2,zt2
Out[53]:
$$\left ( \frac{t}{2} + \frac{61}{58}, \quad \frac{t}{2} + \frac{351}{58}\right )$$

Steinerovy vztahy pro druhý obdélník (čtverec),

In [58]:
Jy32T=Jy32+zt2**2*(t*t)
Jz32T=Jz32+yt2**2*(t*t)
Jyz32T=Jyz32+yt2*zt2*(t*t)
Jy32T,Jz32T,Jyz32T
Out[58]:
$$\left ( \frac{t^{4}}{12} + t^{2} \left(\frac{t}{2} + \frac{351}{58}\right)^{2}, \quad \frac{t^{4}}{12} + t^{2} \left(\frac{t}{2} + \frac{61}{58}\right)^{2}, \quad t^{2} \left(\frac{t}{2} + \frac{61}{58}\right) \left(\frac{t}{2} + \frac{351}{58}\right)\right )$$

Dosazením za $t=1$, $h=20$ a $L=10$ se pro $J^2_{y_T}$, $J^2_{z_T}$ a $J^2_{y_Tz_T}$ dostane,

In [55]:
Jy32T_eval=Jy32T.subs({L:10,t:1,h:20})
Jz32T_eval=Jz32T.subs({L:10,t:1,h:20})
Jyz32T_eval=Jyz32T.subs({L:10,t:1,h:20})
float(Jy32T_eval),float(Jz32T_eval),float(Jyz32T_eval)
Out[55]:
$$\left ( 43.0084225129, \quad 2.49118113357, \quad 10.1664684899\right )$$

Kvadratické momenty $J_{y_{T_3}}$, $J_{z_{T_3}}$ a $J_{y_{T_3}z_{T_3}}$ k vlastnímu hlavnímu souřadnicovému systému pro třetí obdélník,

In [56]:
Jy33=t*(h-t)**3/12
Jz33=t**3*(h-t)/12
Jyz33=0
Jy33,Jz33,Jyz33
Out[56]:
$$\left ( \frac{t}{12} \left(h - t\right)^{3}, \quad \frac{t^{3}}{12} \left(h - t\right), \quad 0\right )$$

Posunutí počátků souřadnic nutných k použití Steinerových vět. Obě posunutí počátku $o_{y_{T_3}z_{T_3}}$ vzhledem k $o_{y_Tz_T}$ jsou různých znamének, protože počátek $o_{y_{T_3}z_{T_3}}$ leží ve 2. kvadrantu souřadnicového systému $y_Tz_T$. Přesněji $y_{t_3}>0$ a $z_{t_3}<0$.

In [57]:
yt3=t/2+yT_eval
zt3=-((h-t)/2-zT_eval)
yt3,zt3
Out[57]:
$$\left ( \frac{t}{2} + \frac{61}{58}, \quad - \frac{h}{2} + \frac{t}{2} + \frac{351}{58}\right )$$

Odpovídající Steinerovy vztahy pro třetí obdélník,

In [59]:
Jy33T=Jy33+zt3**2*((h-t)*t)
Jz33T=Jz33+yt3**2*((h-t)*t)
Jyz33T=Jyz33+yt2*zt3*((h-t)*t)
Jy33T,Jz33T,Jyz33T
Out[59]:
$$\left ( \frac{t}{12} \left(h - t\right)^{3} + t \left(h - t\right) \left(- \frac{h}{2} + \frac{t}{2} + \frac{351}{58}\right)^{2}, \quad \frac{t^{3}}{12} \left(h - t\right) + t \left(h - t\right) \left(\frac{t}{2} + \frac{61}{58}\right)^{2}, \quad t \left(h - t\right) \left(\frac{t}{2} + \frac{61}{58}\right) \left(- \frac{h}{2} + \frac{t}{2} + \frac{351}{58}\right)\right )$$

Dosazením za $t=1$, $h=20$ a $L=10$ se pro $J^2_{y_T}$, $J^2_{z_T}$ a $J^2_{y_Tz_T}$ dostane,

In [60]:
Jy33T_eval=Jy33T.subs({L:10,t:1,h:20})
Jz33T_eval=Jz33T.subs({L:10,t:1,h:20})
Jyz33T_eval=Jyz33T.subs({L:10,t:1,h:20})
float(Jy33T_eval),float(Jz33T_eval),float(Jyz33T_eval)
Out[60]:
$$\left ( 797.504855331, \quad 47.3324415379, \quad -101.664684899\right )$$

Celkové momenty (celého příčného průřezu),

In [61]:
Jy3T=float(Jy31T_eval+Jy32T_eval+Jy33T_eval)
Jz3T=float(Jz31T_eval+Jz32T_eval+Jz33T_eval)
Jyz3T=float(Jyz31T_eval+Jyz32T_eval+Jyz33T_eval)
Jy3T,Jz3T,Jyz3T
Out[61]:
$$\left ( 1227.58908046, \quad 217.58908046, \quad -294.827586207\right )$$

Hlavní souřadnicový systém

Úhel natočení hlavního centrálního souřadnicového systému, viz obrázek,

In [63]:
alpha3=sp.Rational(1,2)*sp.atan(abs(2*Jyz3T)/(Jy3T-Jz3T))
alpha3,float(alpha3/sp.pi*180)
Out[63]:
$$\left ( 0.264217622354679, \quad 15.1385546339\right )$$

Hodnoty osových momentů v hlavním souřadnicovém systému,

In [ ]:
#dodelat :-)