Kvadratické momenty plochy¶

Kvadratické momenty plochy k hlavnímu centrálnímu souřadnicovému systému

J_{y}^{◯} = J_{z}^{◯} = \frac{π d^{4}}{64},

$J_y^{\bigcirc}=J_z^{\bigcirc}=\frac{\pi d^4}{64},$

\begin{array}{rcl} J_{y}^{◻} & = & \frac{1}{12} b h^{3}, \\ J_{z}^{◻} & = & \frac{1}{12} b^{3} h . \end{array}

$\begin{eqnarray} J_y^{\square} &=& \frac{1}{12}bh^3, \\ J_z^{\square} &=& \frac{1}{12}b^3h. \end{eqnarray}$

Steinerovy věty

\begin{array}{rcl} J_{y} & = & J_{y_{T}} + z_{T}^{2} S, \\ J_{z} & = & J_{z_{T}} + y_{T}^{2} S, \\ J_{y} z & = & J_{y_{T} z_{T}} + y_{T} z_{T} S . \end{array}

$\begin{eqnarray} J_y &=& J_{y_T}+z_T^2S, \\ J_z &=& J_{z_T}+y_T^2S, \\ J_yz &=& J_{y_Tz_T}+y_Tz_TS. \end{eqnarray}$

Poznámka: Jestliže je posunutí středu souřadnic ve směru 2. a 4. kvadrantu, je nutné v deviační části Steinerových vět změnit znaménko u součinu $y_Tz_TS$ .

Kvadratické momenty pro obdélník.

function j□(b,h)
    jy=b*h^3/12.
    jz=b^3*h/12.
    return jy,jz
end

j□ (generic function with 1 method)

V případě, že chceme použít Steinerovy věty, stačí přidat hodnoty pro translaci souřadnic a vytvoříme funkci s dvěmi metodami.

function j□(b,h,yt,zt)
    jy=j□(b,h)[1]+zt^2*b*h
    jz=j□(b,h)[2]+yt^2*b*h
    jyz=yt*zt*b*h
    return jy,jz,jyz
end

j□ (generic function with 2 methods)

Podobně to uděláme s kruhovým průřezem.

function j○(d)
    jx=pi*d^4/64.
end

j○ (generic function with 1 method)

function j○(d,yt,zt)
    jy=j○(d)+zt^2*pi*d^2/4.
    jz=j○(d)+yt^2*pi*d^2/4.
    jyz=zt*yt*pi*d^2/4.
    return jy,jz,jyz
end

j○ (generic function with 2 methods)

Hondota hlavních kvadratických momentů plochy pro kruh o průměru $d=25$ .

j○(25)

19174.759848570513

Hondota kvadratických momentů kruhové plochy o průměru $d=25$ avšak k souřadnicovému systému s posunutým počátkem o $y_T=5$ a $z_T=6$ ve směru $I$ a $III$ kvadrantu vzhledem ke středu kruhové plochy.

j○(25,5,6)

(36846.2185250131, 31446.606151655644, 14726.215563702153)

Hondoty hlavních kvadratických momentů obdélníkové plochy $5\times10$

j□(5,10)

(416.6666666666667, 104.16666666666667)

Hondoty kvadratických momentů obdélníku $5\times10$ vzhledem k souřadnicovému systému, jehož počátek je posunutý o $y_T=2$ a $z_T=3$ vzhledem k těžisti obdélníku ve směru $I$ a $III$ kvadrantu.

j□(5,10,2,3)

(866.6666666666667, 304.1666666666667, 300)