Napětí v bodě¶
Př. 2¶
Napjatost v bodě $A$ je dána složkami tenzoru napětí $\sigma_{x}=30\text{ }\mathrm{MPa}$, $\sigma_{y}=10\,\mathrm{MPa}$, $\sigma_{z}=20\,\mathrm{MPa}$, $\tau_{xy}=10\,\mathrm{MPa}$, $\tau_{xz}=20\,\mathrm{MPa}$, $\tau_{yz}=20\,\mathrm{MPa}$. Určete hlavní napětí, hlavní směry a typ napjatosti.
Řešení¶
Nutné knihovny a spuštění parádního tisku
%matplotlib inline
import numpy as np
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D
import matplotlib.pyplot as plt
from matplotlib import cm
Pythonovský zápis zadaných hodnot složek tenzotu napětí $\boldsymbol{T}_\sigma\left( A\right)$,
sx,sy,sz,txy,txz,tyz=30,10,20,10,20,20
Výpočet hlavních vektorů pomocí nástrojů lineární algebry knihovny Numpy,
nejdříve se zavede tenzor $\boldsymbol{T}_\sigma\left(A\right)$ jako Numpy-pole,
T=np.array([[sx,txy,txz],[txy,sy,tyz],[txz,tyz,sz]])
T
array([[30, 10, 20],
[10, 10, 20],
[20, 20, 20]])
Hlavni napětí a odpovídající hlavní směry jako vlastní vektory se jednoduše naleznou pomocí jediného příkazu linalg.eig knihovny numpy.
Úkol: Najděte vlastní napětí a vlastní směry pomocí charakteristické rovnice napětí a vztahů pro vlastní směry tak, jak jsou uvedeny ve skriptech Pružnosti a pevnosti II a srovnejte s níže uvedenými výsledky.
sigma,n=np.linalg.eig(T)
print 'hlavni napeti a odpovidajici hlavni smery:'
for ii in range(3):
print 'sigma{:1d}={:9.5E}'.format(ii+1,sigma[ii])
print ' [{:9.5E}]'.format(n[0,ii])
print ' n{:1d}=[{:9.5E}]'.format(ii+1,n[1,ii])
print ' [{:9.5E}]'.format(n[2,ii])
hlavni napeti a odpovidajici hlavni smery:
sigma1=5.50466E+01
[6.62600E-01]
n1=[4.21859E-01]
[6.18866E-01]
sigma2=1.13536E+01
[7.28518E-01]
n2=[-5.54808E-01]
[-4.01808E-01]
sigma3=-6.40023E+00
[-1.73846E-01]
n3=[-7.17093E-01]
[6.74948E-01]
Vykreslení kvadriky napětí v bodě¶
Protože žádné z hlavních napětí není nulové jde o prostorovou kvadriku a vzhledem k tomu, že hlavní napětí $\sigma_1\neq\sigma_2$ a $\sigma_3<0$ je tato kvadrika eliptický hyperboloid s hlavní osou ve směru $x_3$,
$$ \sigma_1 x_1^2+\sigma_2 x_2^2-\left|\sigma_3\right| x_3^2=\pm1, $$
kde $+1$ a $-1$ na pravé straně rovnice odpovídá jednodílnému a dvoudílnému hyperboloidu.
Parametricky se jednodílný hyperboloid dá v hlavním souřadnicovém systému $x_1x_2x_3$ popsat rovnicemi,
\begin{eqnarray} x_1&=&\frac{1}{\sqrt{\sigma_1}}\cosh(\varphi)\cos(\psi), \\ x_2&=&\frac{1}{\sqrt{\sigma_2}}\cosh(\varphi)\sin(\psi), \\ x_3&=&\frac{1}{\sqrt{\sigma_3}}\sinh(\varphi). \end{eqnarray}
V Pythonu se tyto rovnice mohou zapsat následovně,
def hyperboloid1(u,v,coefs):
rx,ry,rz=1/np.sqrt(coefs)
x=rx*np.cosh(u)*np.cos(v)
y=ry*np.cosh(u)*np.sin(v)
z=rz*np.sinh(u)
return np.array([x,y,z])
Dvojdílný hyperboloid se v hlavním souřadnicovém systému $x_1x_2x_3$ popíše rovnicemi,
\begin{eqnarray} x_1&=&\frac{1}{\sqrt{\sigma_1}}\sinh(\varphi)\cos(\psi), \\ x_2&=&\frac{1}{\sqrt{\sigma_2}}\sinh(\varphi)\sin(\psi), \\ x_3&=&\pm\frac{1}{\sqrt{\sigma_3}}\cosh(\varphi). \end{eqnarray}
V Pythonu se tyto rovnice mohou zapsat následovně,
def hyperboloid2a(u,v,coefs):
rx,ry,rz=1/np.sqrt(coefs)
x=rx*np.sinh(u)*np.cos(v)
y=ry*np.sinh(u)*np.sin(v)
z=rz*np.cosh(u)
return np.array([x,y,z])
def hyperboloid2b(u,v,coefs):
rx,ry,rz=1/np.sqrt(coefs)
x=rx*np.sinh(u)*np.cos(v)
y=ry*np.sinh(u)*np.sin(v)
z=-rz*np.cosh(u)
return np.array([x,y,z])
Podobně jako v Př1, natočení hyperboloidu v původním souřadnicovém systému na základě vztahů,
$$ \left[ \begin{array}{c} x\\y\\z \end{array} \right]= \left[ \begin{array}{ccc} \boldsymbol{n}_1&\boldsymbol{n}_2&\boldsymbol{n}_3 \end{array} \right]\left[ \begin{array}{c} x_1\\x_2\\x_3 \end{array} \right]=\left[ \begin{array}{ccc} \cos\alpha_1&\cos\alpha_2&\cos\alpha_3\\ \cos\beta_1&\cos\beta_2&\cos\beta_3\\ \cos\gamma_1&\cos\gamma_2&\cos\gamma_3\\ \end{array} \right]\left[ \begin{array}{c} x_1\\x_2\\x_3 \end{array}\right], $$
kde $\alpha_i$, $\beta_i$ a $\gamma_i$ jsou úhly, jež svírají hlavní směry kvadriky napětí se souřadnicovými osami $x$, $y$ a $z$, provedeme pomocí dekorátoru,
def natoceni(krivka,n):
mC=np.array([[float(n[0][0]),float(n[1][0]),float(n[2][0])], \
[float(n[0][1]),float(n[1][1]),float(n[2][1])], \
[float(n[0][2]),float(n[1][2]),float(n[2][2])]])
def inner(u,v,coefs):
x0,y0,z0=krivka(u,v,coefs)
i,j=x0.shape[0],x0.shape[1]
x,y,z=np.zeros((i,j)),np.zeros((i,j)),np.zeros((i,j))
for ii in range(i):
for jj in range(j):
a=np.array([x0[ii,jj],y0[ii,jj],z0[ii,jj]])
b=np.dot(mC,a)
x[ii,jj]=b[0]
y[ii,jj]=b[1]
z[ii,jj]=b[2]
return x,y,z
return inner
Vykreslení kvadriky napětí v hlavním souřadnicovém systému,
#parametrizace hyperboloidu
u=np.linspace(-1.2,1.2,200)
v=np.linspace(np.pi/4,1.2*np.pi,60)
[u1,v1]=np.meshgrid(u,v)
u=np.linspace(0.,1.2,60)
v=np.linspace(0,2*np.pi,60)
[u2,v2]=np.meshgrid(u,v)
#parametry hyperboloidu
coefs=(sigma[0],sigma[1],abs(sigma[2]))
#vykresleni kvadriky v hlavnim souradnicovem systemu
fig=plt.figure(figsize=(10,10))
ax=fig.add_subplot(111, projection='3d')
ax.set_xlim(-0.6,0.6)
ax.set_ylim(-0.6,0.6)
ax.set_zlim(-0.6,0.6)
ax.set_title('Kvadrika napeti v hlavnim souradnicovem systemu').set_fontsize(16)
ax.set_xlabel(r'$1$').set_fontsize(12)
ax.set_ylabel(r'$2$').set_fontsize(12)
ax.set_zlabel(r'$3$').set_fontsize(12)
x,y,z=hyperboloid1(u1,v1,coefs)
ax.plot_surface(x,y,z,rstride=4,cstride=4,cmap=cm.jet)
x,y,z=hyperboloid2a(u2,v2,coefs)
ax.plot_surface(x,y,z,rstride=4,cstride=4,cmap=cm.jet)
x,y,z=hyperboloid2b(u2,v2,coefs)
ax.plot_surface(x,y,z,rstride=4,cstride=4,cmap=cm.jet)
<mpl_toolkits.mplot3d.art3d.Poly3DCollection at 0x7f0f00d55cd0>
Vykreslení kvadriky napětí v původním souřadnicovém systému $xyz$,
#ykresleni kvadriky v hlavni v puvodnim souradnicovem systemu
fig = plt.figure(figsize=(10,10))
ax = fig.add_subplot(111, projection='3d')
hyperboloid1=natoceni(hyperboloid1,n)
hyperboloid2a=natoceni(hyperboloid2a,n)
hyperboloid2b=natoceni(hyperboloid2b,n)
ax.set_xlim(-0.6,0.6)
ax.set_ylim(-0.6,0.6)
ax.set_zlim(-0.6,0.6)
ax.set_title('Kvadrika napeti v puvodnim souradnicovem systemu')
ax.set_xlabel(r'$x$').set_fontsize(12)
ax.set_ylabel(r'$y$').set_fontsize(12)
ax.set_zlabel(r'$z$').set_fontsize(12)
x,y,z=hyperboloid1(u1,v1,coefs)
ax.plot_surface(x,y,z,rstride=4,cstride=4,cmap=cm.jet)
x,y,z=hyperboloid2a(u2,v2,coefs)
ax.plot_surface(x,y,z,rstride=4,cstride=4,cmap=cm.jet)
x,y,z=hyperboloid2b(u2,v2,coefs)
ax.plot_surface(x,y,z,rstride=4,cstride=4,cmap=cm.jet)
plt.show()
