Prostý krut

Vypracoval: Filip Horák, 2017/2018

U prutů dle obrázku určete bezpečnost vůči meznímu stavu pružnosti a natočení v bodě A.

Řešení

Ze začátku je nutné naimportovat potřebné knihovny.

In [1]:
import sympy as sp
from IPython.core.display import Image
sp.init_printing()

Vyvoláme obrázek úlohy.

In [2]:
Image(filename='07-k-soustava-1.png', width=650)
Out[2]:

Částečně uvolníme a sestavíme deformační podmínku: $$\varphi^{1,2}_B = \varphi^{3}_B$$

In [3]:
Image(filename='07-k-soustava-2.png', width=650)
Out[3]:

Zavedeme potřebné proměnné jako symboly.

In [4]:
a,b,c,d,e,x=sp.symbols('a b c d e x')
d1,d2,D2,d3=sp.symbols('d_1 d_2 D_2 d_3')
G=sp.symbols('G')
M,MB=sp.symbols('M M_B')
x1,x2,x3,x4=sp.symbols('x1 x2 x3 x4')

Vyjádříme momentové vnitřní účiny jednotlivých úseků.

In [5]:
Mk1=-MB
Mk2=M-MB
Mk3=M-MB
Mk4=-MB
Mk1,Mk2,Mk3,Mk4
Out[5]:
$$\left ( - M_{B}, \quad M - M_{B}, \quad M - M_{B}, \quad - M_{B}\right )$$

Vyjádříme polární momenty jednotlivých průřezů.

In [6]:
Jp1=sp.pi*d1**4/32
Jp2=sp.pi*(d2**4-D2**4)/32
Jp3=sp.pi*d3**4/32
Jp1,Jp2,Jp3
Out[6]:
$$\left ( \frac{\pi d_{1}^{4}}{32}, \quad \frac{\pi}{32} \left(- D_{2}^{4} + d_{2}^{4}\right), \quad \frac{\pi d_{3}^{4}}{32}\right )$$

Vyjádříme potenciální energie těles 1,2 $W_{1,2}$ a tělesa 3 $W_3$.

In [7]:
dW1=Mk1**2/2/G/Jp2
dW2=Mk2**2/2/G/Jp2
dW3=Mk3**2/2/G/Jp1
dW4=Mk4**2/2/G/Jp3
W12=sp.Integral(dW1,[x,0,c+d])+sp.Integral(dW2,[x,0,c])+sp.Integral(dW3,[x,0,a+b])
W3=sp.Integral(dW4,[x,0,e])
W12,W3
Out[7]:
$$\left ( \int_{0}^{c + d} \frac{16 M_{B}^{2}}{\pi G \left(- D_{2}^{4} + d_{2}^{4}\right)}\, dx + \int_{0}^{a + b} \frac{16 \left(M - M_{B}\right)^{2}}{\pi G d_{1}^{4}}\, dx + \int_{0}^{c} \frac{16 \left(M - M_{B}\right)^{2}}{\pi G \left(- D_{2}^{4} + d_{2}^{4}\right)}\, dx, \quad \int_{0}^{e} \frac{16 M_{B}^{2}}{\pi G d_{3}^{4}}\, dx\right )$$

Vyjádříme parciální derivace energií napjatosti $W_{1,2}$ a $W_3$ podle momentu $M_B$.

In [8]:
dW12=W12.diff(MB)
dW3=W3.diff(MB)
dW12,dW3
Out[8]:
$$\left ( \int_{0}^{c + d} \frac{32 M_{B}}{\pi G \left(- D_{2}^{4} + d_{2}^{4}\right)}\, dx + \int_{0}^{a + b} \frac{16}{\pi G d_{1}^{4}} \left(- 2 M + 2 M_{B}\right)\, dx + \int_{0}^{c} \frac{16 \left(- 2 M + 2 M_{B}\right)}{\pi G \left(- D_{2}^{4} + d_{2}^{4}\right)}\, dx, \quad \int_{0}^{e} \frac{32 M_{B}}{\pi G d_{3}^{4}}\, dx\right )$$

Sestavíme deformační podmínku: $$-\frac{\partial W_{1,2}}{\partial M_B} = \frac{\partial W_{3}}{\partial M_B}$$

In [9]:
eqn=-dW3-dW12
eqn
Out[9]:
$$- \int_{0}^{e} \frac{32 M_{B}}{\pi G d_{3}^{4}}\, dx - \int_{0}^{c + d} \frac{32 M_{B}}{\pi G \left(- D_{2}^{4} + d_{2}^{4}\right)}\, dx - \int_{0}^{a + b} \frac{16}{\pi G d_{1}^{4}} \left(- 2 M + 2 M_{B}\right)\, dx - \int_{0}^{c} \frac{16 \left(- 2 M + 2 M_{B}\right)}{\pi G \left(- D_{2}^{4} + d_{2}^{4}\right)}\, dx$$

Rovnice zintegrujeme a vyjádříme $M_B$.

In [10]:
eqn_=eqn.doit()
sol=sp.solve([eqn_],[MB])
MB_solved=sol[MB]
MB_solved
Out[10]:
$$\frac{M d_{3}^{4} \left(D_{2}^{4} a + D_{2}^{4} b - a d_{2}^{4} - b d_{2}^{4} - c d_{1}^{4}\right)}{D_{2}^{4} a d_{3}^{4} + D_{2}^{4} b d_{3}^{4} + D_{2}^{4} d_{1}^{4} e - a d_{2}^{4} d_{3}^{4} - b d_{2}^{4} d_{3}^{4} - 2 c d_{1}^{4} d_{3}^{4} - d d_{1}^{4} d_{3}^{4} - d_{1}^{4} d_{2}^{4} e}$$

Zavedeme číselné hodnoty veličin: $$\begin{align} a & = 40\, \mathrm{mm} \\ b & = 10\, \mathrm{mm} \\ c & = 20\, \mathrm{mm} \\ d & = 30\, \mathrm{mm} \\ e & = 25\, \mathrm{mm} \\ d_1 = D_2 = d_3 & = 30\, \mathrm{mm} \\ d_2 & = 40\, \mathrm{mm} \\ R_2 & = 2,5\, \mathrm{mm} \\ d_3 & = 7\, \mathrm{mm} \\ M & = 150000\, \mathrm{Nmm} \\ E & = 2.1\cdot 10^5\, \mathrm{MPa} \\ \mu & = 0,3 \\ G & = \frac{E}{2(1+\mu)} \approx 80769\, \mathrm{MPa}\\ \sigma_K & = 350\, \mathrm{MPa}\\ \tau_K & = \frac{\sigma_K}{2} = 175\, \mathrm{MPa}\\ \end{align}$$

In [11]:
a_=150.
b_=20.
c_=70.
d_=50.
e_=120.
d1_=d3_=D2_=20.
d2_=25.
M_=650000.
E_=2.1e5
u_=0.3
G=E_/(2*(1+u_))
sigma_k=350.
tau_k=sigma_k/2

Dosadíme hodnoty do rovnice $M_B$ a získáme jeho hodnotu v [Nmm].

In [12]:
MB_=MB_solved.subs({a:a_,b:b_,c:c_,d:d_,e:e_,d1:d1_,d2:d2_,D2:D2_,d3:d3_,M:M_})
sp.N(MB_,9)
Out[12]:
$$336797.302$$

Vyjádříme číselné hodnoty vnitřních účinků jednotlivých úseků.

In [13]:
Mk1_=Mk1.subs({a:a_,b:b_,c:c_,d:d_,e:e_,d1:d1_,d2:d2_,D2:D2_,d3:d3_,M:M_,MB:MB_})
Mk2_=Mk2.subs({a:a_,b:b_,c:c_,d:d_,e:e_,d1:d1_,d2:d2_,D2:D2_,d3:d3_,M:M_,MB:MB_})
Mk3_=Mk3.subs({a:a_,b:b_,c:c_,d:d_,e:e_,d1:d1_,d2:d2_,D2:D2_,d3:d3_,M:M_,MB:MB_})
Mk4_=Mk4.subs({a:a_,b:b_,c:c_,d:d_,e:e_,d1:d1_,d2:d2_,D2:D2_,d3:d3_,M:M_,MB:MB_})
sp.N(Mk1_,9),sp.N(Mk2_,9),sp.N(Mk3_,9),sp.N(Mk4_,9)
Out[13]:
$$\left ( -336797.302, \quad 313202.698, \quad 313202.698, \quad -336797.302\right )$$

Spočtemé smykové napětí jednotlivých úseků.

In [14]:
tau1=(Mk1_/Jp1.subs({d1:d1_}))*(d1_/2)
tau2=(Mk2_/Jp2.subs({d2:d2_,D2:D2_}))*(D2_/2)
tau3=(Mk3_/Jp2.subs({d2:d2_,D2:D2_}))*(D2_/2)
tau4=(Mk4_/Jp3.subs({d3:d3_}))*(d3_/2)
sp.N(tau1,6),sp.N(tau2,6),sp.N(tau3,6),sp.N(tau4,6)
Out[14]:
$$\left ( -214.412, \quad 138.331, \quad 138.331, \quad -214.412\right )$$

Spočteme bezpečnost úseku s největším smykovým napětím.

In [15]:
tau=abs(tau1),abs(tau2),abs(tau3),abs(tau4)
tau_max=float(max(tau))
Kk=sigma_k/(2*tau2)
sp.N(Kk,4)
Out[15]:
$$1.265$$

Sestavíme rovnici pro natočení $\varphi_A$ v bodě $A$ a dosadíme číselné hodnoty. Výpočtem dostaneme natočení ve [°]. $$\varphi_A = \frac{M\frac{a}{2}}{GJ_{P1}} - \frac{M_B\frac{a}{2}}{GJ_{P1}}$$

In [16]:
fiA=-MB*(a/2)/G/Jp1+M*(a/2)/G/Jp1
fiArad=fiA.subs({a:a_,d1:d1_,M:M_,MB:MB_})
fiA_=fiArad*180/sp.pi
sp.N(fiA_,4)
Out[16]:
$$1.061$$