Prostý tah

Načtení potřebných knihoven a spuštění sázeného textu:

In [2]:
%matplotlib inline
import sympy as sp
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from IPython.core.display import Image
sp.init_printing()

Př2:

U prutové soustavy podle obrázku stanovte bezpečnost vzhledem k meznímu stavu pružnosti.

In [4]:
Image(filename='tah2_a.png')
Out[4]:

Úloha je $2\times$ staticky neurčitá.

Úkol: Zkontrolujte statickou určitost/neurčitost.

Ze statické neurčitosti plyne následující čístečné uvolnění, viz. obrázek,

In [11]:
Image(filename='tah2_b.png')
Out[11]:

s deformačními podmínkami,

$$ u_A=0\quad\mathrm{a}\quad u_B=0. $$

U prutových soustav neuvolňujeme pruty, ale styčníky. Jejich uvolnění je na následujícím obrázku,

In [6]:
Image(filename='tah2_c.png')
Out[6]:

K výpočtu musíme podle značení v obrázku zavést následující symboly,

In [39]:
FAx,FAy,FB,FE,F=sp.symbols('F_Ax F_Ay F_B F_E F')
F2,F3,F4,F5,F6,F7,F8,F9=sp.symbols('F2 F3 F4 F5 F6 F7 F8 F9')
E=sp.symbols('E')
S=sp.symbols('S')
a=sp.symbols('a')
delta,sk=sp.symbols('delta sigma_k')

Z rovnic rovnováhy jednotlivých styčníků se dostane následující soustava rovnic,

In [13]:
eqn1=FAx+F3+F8*sp.sqrt(2)/2
eqn2=FAy+F2+F8*sp.sqrt(2)/2
eqn3=-F3-F7*sp.sqrt(2)/2+F4
eqn4=FB+F7*sp.sqrt(2)/2+F9
eqn5=-F4-F5*sp.sqrt(2)/2
eqn6=-F+F5*sp.sqrt(2)/2
eqn7=-F6-F8*sp.sqrt(2)/2+F5*sp.sqrt(2)/2
eqn8=-F8*sp.sqrt(2)/2-F9-F5*sp.sqrt(2)/2
eqn9=FE+F6+F7*sp.sqrt(2)/2
eqn10=-F2-F7*sp.sqrt(2)/2
eqn1,eqn2,eqn3,eqn4,eqn5
Out[13]:
$$\left ( F_{3} + \frac{\sqrt{2} F_{8}}{2} + F_{Ax}, \quad F_{2} + \frac{\sqrt{2} F_{8}}{2} + F_{Ay}, \quad - F_{3} + F_{4} - \frac{\sqrt{2} F_{7}}{2}, \quad \frac{\sqrt{2} F_{7}}{2} + F_{9} + F_{B}, \quad - F_{4} - \frac{\sqrt{2} F_{5}}{2}\right )$$
In [14]:
eqn6,eqn7,eqn8,eqn9,eqn10
Out[14]:
$$\left ( - F + \frac{\sqrt{2} F_{5}}{2}, \quad \frac{\sqrt{2} F_{5}}{2} - F_{6} - \frac{\sqrt{2} F_{8}}{2}, \quad - \frac{\sqrt{2} F_{5}}{2} - \frac{\sqrt{2} F_{8}}{2} - F_{9}, \quad F_{6} + \frac{\sqrt{2} F_{7}}{2} + F_{E}, \quad - F_{2} - \frac{\sqrt{2} F_{7}}{2}\right )$$

Řešení soustavy rovnic - úloha je 2x staticky neurčitá, jako parametry jsou zvoleny síly $F_B$ a $F_8$, viz. obrázek částečného uvolnění,

In [16]:
sol=sp.linsolve([eqn1,eqn2,eqn3,eqn4,eqn5,eqn6,eqn7,eqn8,eqn9,eqn10], \
             [F2,F3,F4,F5,F6,F7,F9,FAx,FAy,FE],)
sol
Out[16]:
$$\left\{\left ( - F - \frac{\sqrt{2} F_{8}}{2} + F_{B}, \quad - 2 F - \frac{\sqrt{2} F_{8}}{2} + F_{B}, \quad - F, \quad \sqrt{2} F, \quad F - \frac{\sqrt{2} F_{8}}{2}, \quad \sqrt{2} F + F_{8} - \sqrt{2} F_{B}, \quad - F - \frac{\sqrt{2} F_{8}}{2}, \quad 2 F - F_{B}, \quad F - F_{B}, \quad - 2 F + F_{B}\right )\right\}$$

Výsledky se přiřadí jednotlivým vnitřním účinkům a reakcím ve vazbách,

In [20]:
N2,N3,N4,N5,N6,N7,N9,FAx_,FAy_,FE_=next(iter(sol))
N8=F8

Závislost jednotlivých vnitřních účinků na parametrech $F_8$ a $F_B$,

In [21]:
N=N2,N3,N4,N5,N6,N7,N8,N9
N
Out[21]:
$$\left ( - F - \frac{\sqrt{2} F_{8}}{2} + F_{B}, \quad - 2 F - \frac{\sqrt{2} F_{8}}{2} + F_{B}, \quad - F, \quad \sqrt{2} F, \quad F - \frac{\sqrt{2} F_{8}}{2}, \quad \sqrt{2} F + F_{8} - \sqrt{2} F_{B}, \quad F_{8}, \quad - F - \frac{\sqrt{2} F_{8}}{2}\right )$$

Délky jednotlivých prutů,

In [22]:
l=a,a,a,a,a,sp.sqrt(2)*a,sp.sqrt(2)*a,a
l
Out[22]:
$$\left ( a, \quad a, \quad a, \quad a, \quad a, \quad \sqrt{2} a, \quad \sqrt{2} a, \quad a\right )$$

Potenciální energie soustavy prutů,

In [24]:
w=[]
for ii in enumerate(N):
  w.append(ii[1]**2*l[ii[0]]/2/E/S)
W=sum(w)
W
Out[24]:
$$\frac{3 F^{2} a}{2 E S} + \frac{\sqrt{2} F_{8}^{2} a}{2 E S} + \frac{a \left(- F - \frac{\sqrt{2} F_{8}}{2}\right)^{2}}{2 E S} + \frac{a \left(F - \frac{\sqrt{2} F_{8}}{2}\right)^{2}}{2 E S} + \frac{a}{2 E S} \left(- 2 F - \frac{\sqrt{2} F_{8}}{2} + F_{B}\right)^{2} + \frac{a}{2 E S} \left(- F - \frac{\sqrt{2} F_{8}}{2} + F_{B}\right)^{2} + \frac{\sqrt{2} a}{2 E S} \left(\sqrt{2} F + F_{8} - \sqrt{2} F_{B}\right)^{2}$$

Derivace

\begin{equation} \frac{\partial W}{\partial F_8}\quad \mathrm{a} \quad \frac{\partial W}{\partial F_B} \end{equation}

a sestavení deformačních podmínek

\begin{equation} u_8=\frac{\partial W}{\partial F_8}=0 \quad \mathrm{a} \quad u_B=\frac{\partial W}{\partial F_B}=0. \end{equation}

In [25]:
eqn1=W.diff(F8)
eqn2=W.diff(FB)
eqn1,eqn2
Out[25]:
$$\left ( \frac{\sqrt{2} F_{8} a}{E S} - \frac{\sqrt{2} a}{2 E S} \left(- F - \frac{\sqrt{2} F_{8}}{2}\right) - \frac{\sqrt{2} a \left(F - \frac{\sqrt{2} F_{8}}{2}\right)}{2 E S} - \frac{\sqrt{2} a}{2 E S} \left(- 2 F - \frac{\sqrt{2} F_{8}}{2} + F_{B}\right) - \frac{\sqrt{2} a}{2 E S} \left(- F - \frac{\sqrt{2} F_{8}}{2} + F_{B}\right) + \frac{\sqrt{2} a}{2 E S} \left(2 \sqrt{2} F + 2 F_{8} - 2 \sqrt{2} F_{B}\right), \quad \frac{a}{2 E S} \left(- 4 F - \sqrt{2} F_{8} + 2 F_{B}\right) + \frac{a}{2 E S} \left(- 2 F - \sqrt{2} F_{8} + 2 F_{B}\right) - \frac{2 a}{E S} \left(\sqrt{2} F + F_{8} - \sqrt{2} F_{B}\right)\right )$$

Řešení soustavy rovnic a nalezení neznámých $F_8$ a $F_B$:

In [34]:
sol1=sp.linsolve([sp.expand(eqn1),sp.expand(eqn2)],[F8,FB])
sol1
Out[34]:
$$\left\{\left ( 0, \quad \frac{F}{2} + \frac{\sqrt{2} F}{2}\right )\right\}$$

Síla $F_8$ a tedy i vnitřní účinek $N_8$ jsou nulové. Z toho plyne, že prut číslo $8$ je zbytečný a může být odstraněn.

Zpětné dosazení $F_8$ a $F_B$ do vnitřních účinků:

In [35]:
F8_,FB_=next(iter(sol1))
In [36]:
N2_=N2.subs({F8:F8_,FB:FB_})
N3_=N3.subs({F8:F8_,FB:FB_})
N4_=N4.subs({F8:F8_,FB:FB_})
N5_=N5.subs({F8:F8_,FB:FB_})
N6_=N6.subs({F8:F8_,FB:FB_})
N7_=N7.subs({F8:F8_,FB:FB_})
N8_=N8.subs({F8:F8_,FB:FB_})
N9_=N9.subs({F8:F8_,FB:FB_})
N_=N2_,N3_,N4_,N5_,N6_,N7_,N8_,N9_
N_
Out[36]:
$$\left ( - \frac{F}{2} + \frac{\sqrt{2} F}{2}, \quad - \frac{3 F}{2} + \frac{\sqrt{2} F}{2}, \quad - F, \quad \sqrt{2} F, \quad F, \quad \sqrt{2} F - \sqrt{2} \left(\frac{F}{2} + \frac{\sqrt{2} F}{2}\right), \quad 0, \quad - F\right )$$

Dosazením za $F=1$ zjistíme, který prut je nejvíce namáhaný,

In [37]:
N2_1=N2_.subs(F,1.)
N3_1=N3_.subs(F,1.)
N4_1=N4_.subs(F,1.)
N5_1=N5_.subs(F,1.)
N6_1=N6_.subs(F,1.)
N7_1=N7_.subs(F,1.)
N8_1=N8_.subs(F,1.)
N9_1=N9_.subs(F,1.)
N_1=abs(N2_1),abs(N3_1),abs(N4_1),abs(N5_1),abs(N6_1),abs(N7_1),abs(N8_1),abs(N9_1)
n_max=N_1.index(max(N_1))
In [38]:
print 'nejvetsi napětí je v prutu {}'.format(n_max+2)
N_[n_max]

nejvetsi napětí je v prutu 5
Out[38]:
$$\sqrt{2} F$$

Bezpečnost k meznímu stavu pružnosti se následně spočítá podle vztahu,

$$ k=\frac{\sigma_k}{\sigma_{max}}, $$

kde

$$ \sigma_{max}=\frac{N_{max}}{S}, $$

tedy,

In [41]:
k=sk/(N_[n_max]/S)
k
Out[41]:
$$\frac{\sqrt{2} S \sigma_{k}}{2 F}$$