Prostý tah

Vypracoval: Filip Horák, 2017/2018

U prutu dle obrázku stanovte bezpečnost vůči meznímu stavu pružnosti.

Řešení

Ze začátku je nutné naimportovat potřebné knihovny.

import numpy as np
import sympy as sp
from IPython.core.display import Image
sp.init_printing()

Vyvoláme obrázek úlohy.

Image(filename='02-tt-prosty-1.png', width=350)

Provedeme částečné uvolnění a sestavíme deformační podmínku:

Image(filename='02-tt-prosty-2.png', width=350)

$$\begin{align} u^1_{p} & = u^T_{p} - u^F_{p}\\ u^2_{p} & = c_{p}F_P \\ u^1_{p} & = u^2_{p} \end{align}$$

Zavedeme potřebné proměnné jako symboly.

x,a,b,c=sp.symbols('x a b c')
Da,Db,dc=sp.symbols('D_a D_b d_c')
E=sp.symbols('E')
cp,dT,aT=sp.symbols('c_p \Delta\!T alpha_T')
F,FP=sp.symbols('F F_P')
x1,x2,x3=sp.symbols('x1 x2 x3')

Vyjádříme vnitřní účinky pro jednotlivé úseky.

N1=-FP
N2=F-FP
N3=F-FP
N1,N2,N3

$$\left ( - F_{P}, \quad F - F_{P}, \quad F - F_{P}\right )$$

Vyjádříme obsahy průřezů jednotlivých úseků.

S1=sp.pi/4*(Db**2-dc**2)
S2=sp.pi*Db**2/4
S3=sp.pi*Da**2/4
S1,S2,S3

$$\left ( \frac{\pi}{4} \left(D_{b}^{2} - d_{c}^{2}\right), \quad \frac{\pi D_{b}^{2}}{4}, \quad \frac{\pi D_{a}^{2}}{4}\right )$$

Vyjádříme potenciální energii soustavy.

dW1=N1**2/2/E/S1
dW2=N2**2/2/E/S2
dW3=N3**2/2/E/S3
W=sp.Integral(dW1,[x,0,c])+sp.Integral(dW2,[x,0,b])+sp.Integral(dW3,[x,0,a])
W

$$\int_{0}^{a} \frac{2 \left(F - F_{P}\right)^{2}}{\pi D_{a}^{2} E}\, dx + \int_{0}^{b} \frac{2 \left(F - F_{P}\right)^{2}}{\pi D_{b}^{2} E}\, dx + \int_{0}^{c} \frac{2 F_{P}^{2}}{\pi E \left(D_{b}^{2} - d_{c}^{2}\right)}\, dx$$

Vyjádříme parciální derivaci energie napjatosti podle síly $F_p$.

dWFP=W.diff(FP)
dWFP

$$\int_{0}^{a} \frac{2}{\pi D_{a}^{2} E} \left(- 2 F + 2 F_{P}\right)\, dx + \int_{0}^{b} \frac{2}{\pi D_{b}^{2} E} \left(- 2 F + 2 F_{P}\right)\, dx + \int_{0}^{c} \frac{4 F_{P}}{\pi E \left(D_{b}^{2} - d_{c}^{2}\right)}\, dx$$

Sestavíme rovnici dle deformační podmínky: $$\begin{align} u^1_{p} & = u^2_{p} \\ u^T_{p} - u^F_{p} & = c_{p}F_P \\ \alpha_{T}\Delta T l - \frac{\partial W}{\partial F_p} & = c_{p}F_P \end{align}$$

eqn=(a+b+c)*aT*dT-dWFP-cp*FP
eqn

$$- F_{P} c_{p} + \Delta\!T \alpha_{T} \left(a + b + c\right) - \int_{0}^{a} \frac{2}{\pi D_{a}^{2} E} \left(- 2 F + 2 F_{P}\right)\, dx - \int_{0}^{b} \frac{2}{\pi D_{b}^{2} E} \left(- 2 F + 2 F_{P}\right)\, dx - \int_{0}^{c} \frac{4 F_{P}}{\pi E \left(D_{b}^{2} - d_{c}^{2}\right)}\, dx$$

Rovnici zintegrujeme.

eqn_=eqn.doit()
eqn_

$$- F_{P} c_{p} + \Delta\!T \alpha_{T} \left(a + b + c\right) - \frac{4 F_{P} c}{\pi E \left(D_{b}^{2} - d_{c}^{2}\right)} - \frac{2 b}{\pi D_{b}^{2} E} \left(- 2 F + 2 F_{P}\right) - \frac{2 a}{\pi D_{a}^{2} E} \left(- 2 F + 2 F_{P}\right)$$

Vyjádříme sílu $F_p$.

sol=sp.solve([eqn_],[FP])
sol

$$\left \{ F_{P} : \frac{1}{\pi D_{a}^{2} D_{b}^{4} E c_{p} - \pi D_{a}^{2} D_{b}^{2} E c_{p} d_{c}^{2} + 4 D_{a}^{2} D_{b}^{2} b + 4 D_{a}^{2} D_{b}^{2} c - 4 D_{a}^{2} b d_{c}^{2} + 4 D_{b}^{4} a - 4 D_{b}^{2} a d_{c}^{2}} \left(\pi D_{a}^{2} D_{b}^{4} E \Delta\!T a \alpha_{T} + \pi D_{a}^{2} D_{b}^{4} E \Delta\!T \alpha_{T} b + \pi D_{a}^{2} D_{b}^{4} E \Delta\!T \alpha_{T} c - \pi D_{a}^{2} D_{b}^{2} E \Delta\!T a \alpha_{T} d_{c}^{2} - \pi D_{a}^{2} D_{b}^{2} E \Delta\!T \alpha_{T} b d_{c}^{2} - \pi D_{a}^{2} D_{b}^{2} E \Delta\!T \alpha_{T} c d_{c}^{2} + 4 D_{a}^{2} D_{b}^{2} F b - 4 D_{a}^{2} F b d_{c}^{2} + 4 D_{b}^{4} F a - 4 D_{b}^{2} F a d_{c}^{2}\right)\right \}$$

Zavedeme číselné hodnoty veličin: $$\begin{align} a & = 40\, \mathrm{mm} \\ b & = 10\, \mathrm{mm} \\ c & = 20\, \mathrm{mm} \\ D_a & = 30\, \mathrm{mm} \\ D_b & = 25\, \mathrm{mm} \\ d_c & = 20\, \mathrm{mm} \\ r_1 & = 1\, \mathrm{mm} \\ R_2 & = 2,5\, \mathrm{mm} \\ d_3 & = 7\, \mathrm{mm} \\ F & = 1000\, \mathrm{N} \\ E & = 2.1\cdot 10^5\, \mathrm{MPa} \\ c_{p} & = 5\cdot 10^{-6}\, \mathrm{mm/N} \\ \Delta T & = 100\, \mathrm{°C} \\ \alpha_T & = 1,2\times 10^{-5}\, \mathrm{K^{-1}} \\ \sigma_K & = 350\, \mathrm{MPa} \end{align}$$

a_,b_,c_=40.,10.,20.
Da_,Db_,dc_=30.,25,20.
r1_,R2_,d3_=1.,2.5,7.
F_=1000.
E_=2.1e5
cp_=0.05/10000
dT_=100.
aT_=1.2e-5
sigma_k=350.

Dosadíme číselné hodnoty do rovnice síly $F_p$.

FP_sol=sol[FP].subs({a:a_,b:b_,c:c_,dc:dc_,Db:Db_,Da:Da_,F:F_,E:E_,cp:cp_,dT:dT_,aT:aT_})
sp.N(FP_sol,8)

$$14286.292$$

Spočteme jednotlivé vnitřní účinky.

N1_=N1.subs({F:F_,FP:FP_sol})
N2_=N2.subs({F:F_,FP:FP_sol})
N3_=N3.subs({F:F_,FP:FP_sol})
sp.N(N1_,8),sp.N(N2_,8),sp.N(N3_,8)

$$\left ( -14286.292, \quad -13286.292, \quad -13286.292\right )$$

Spočteme číselné hodnoty jednotlivých průřezů.

S1_=S1.subs({dc:dc_,Db:Db_})
S2_=S2.subs(Db,Db_)
S3_=S3.subs(Da,Da_)
sp.N(S1_,6),sp.N(S2_,6),sp.N(S3_,6)

$$\left ( 176.715, \quad 490.874, \quad 706.858\right )$$

Vypočítáme nominální napětí jednotlivých úseků. $$\sigma_1=\frac{N_1}{S_1},\quad\sigma_2=\frac{N_2}{S_2}\quad\mathrm{a}\quad\sigma_3=\frac{4N_3}{D^2_a\Big[\pi - 2\Big(\frac{d_3}{D_a}\Big)-\mathrm{sin^2}\Big(\frac{d_3}{D_a}\Big)\Big]}$$

sigma1=N1_/S1_
sigma2=N2_/S1_
sigma3=sigma3_=4*N3_/((sp.pi-2*(d3_/Da_)-sp.sin(d3_/Da_)**2)*Da_**2)
sp.N(sigma1,5),sp.N(sigma2,5),sp.N(sigma3,5)

$$\left ( -80.844, \quad -75.185, \quad -22.526\right )$$

Zavedeme součinitele koncentrace napětí. $$\begin{align} \frac{D_b}{d_c} = 1,25;\, \frac{r_1}{d_c} = 0,05 \Rightarrow \alpha_1 & \approx 2,07 \\ \frac{D_a}{D_b} = 1,2;\;\, \frac{R_2}{D_b} = 0,1\,\; \Rightarrow \alpha_2 & \approx 1,71 \\ \frac{d_3}{D_a} = 0,2\overline{3} \Rightarrow \alpha_3 & \approx 2 \end{align}$$

alfa_1=2.07
alfa_2=1.71
alfa_3=2

Spočteme skutečná napětí v rizikových místech.

sigma1_sk=sigma1*alfa_1
sigma2_sk=sigma2*alfa_2
sigma3_sk=sigma3*alfa_3
sp.N(sigma1_sk,6),sp.N(sigma2_sk,6),sp.N(sigma3_sk,5)

$$\left ( -167.347, \quad -128.566, \quad -45.051\right )$$

Vyjádříme maximální napětí v prutu.

sigma_max=(max(np.absolute([sigma1_sk,sigma2_sk,sigma3_sk])))
sp.N(sigma_max,6)

$$167.347$$

Spočteme bezpečnost vůči meznímu stavu pružnosti.

Kk=sigma_k/sigma_max
sp.N(Kk,4)

$$2.091$$