Bezmomentová skořepina I

Zadání

U skořepiny podle obrázku proveďte napjatostní analýzu.

Řešení

Načtení potřebných knihoven a iniciace kvalitního výpisu.

%matplotlib inline
from sympy import pi,init_printing,symbols,Integral,integrate,sin,cos,solveset,lambdify,sqrt,Rational
from numpy import linspace
from matplotlib.pyplot import subplots,xlabel,ylabel
import math as math

init_printing()

Zavedení potřebných symbolů.

rho,g=symbols('rho q')
h,phi,phi1,R,r0,r_theta,r_phi=symbols('h varphi varphi1 R r0 r_theta r_varphi')
N_phi,N_theta=symbols('N_varphi N_theta')

Tíhová síla $F_g$.

r0=R*sin(phi)
F_g=rho*g*h*Integral(2*pi*r0*R,[phi,0,phi])
r0,F_g

$$\left ( R \sin{\left (\varphi \right )}, \quad h q \rho \int_{0}^{\varphi} 2 \pi R^{2} \sin{\left (\varphi \right )}\, d\varphi\right )$$

F_g=F_g.doit()
F_g

$$h q \rho \left(- 2 \pi R^{2} \cos{\left (\varphi \right )} + 2 \pi R^{2}\right)$$

Silová rovnováha v ose $z$ a meridiánová síla $N_\varphi$.

eqn=2*pi*r0*N_phi*sin(phi)+F_g
eqn

$$2 \pi N_{\varphi} R \sin^{2}{\left (\varphi \right )} + h q \rho \left(- 2 \pi R^{2} \cos{\left (\varphi \right )} + 2 \pi R^{2}\right)$$

sol=solveset(eqn,N_phi)
N_phi_solved=sol.args[0]
N_phi_solved

$$\frac{h q \rho \left(\pi R^{2} \cos{\left (\varphi \right )} - \pi R^{2}\right)}{\pi R \sin^{2}{\left (\varphi \right )}}$$

Rovnice \begin{equation} \frac{N_\varphi}{r_\varphi}+\frac{N_\theta}{r_\theta}=p \end{equation} a její řešení pro $N_\theta$ a $r_\varphi=r_\theta=R$ a \begin{equation} p=-\frac{F_g\cos(\varphi)}{S}=-\rho gh\cos(\varphi). \end{equation}

r_theta,r_phi=R,R
eqn=N_phi/r_phi+N_theta/r_theta+rho*g*h*cos(phi)
eqn

$$\frac{N_{\theta}}{R} + \frac{N_{\varphi}}{R} + h q \rho \cos{\left (\varphi \right )}$$

sol=solveset(eqn,N_theta)
N_theta_solved=sol.args[0].subs({N_phi:N_phi_solved})
N_theta_solved

$$- R \left(h q \rho \cos{\left (\varphi \right )} + \frac{h q \rho \left(\pi R^{2} \cos{\left (\varphi \right )} - \pi R^{2}\right)}{\pi R^{2} \sin^{2}{\left (\varphi \right )}}\right)$$

Numerický příklad pro hodnoty, \begin{eqnarray} R&=&1\;\mathrm{m}, \\ h&=&20\;\mathrm{mm}, \\ \alpha&=&\frac{\pi}{2}, \\ g&=&10\;\mathrm{m}\times\mathrm{s}^{-2}, \\ \rho&=&\;7200\;\mathrm{kg}\times\mathrm{m}^{-3}. \end{eqnarray}

R_,h_,g_,rho_,alpha_=1,20.e-3,10,7200,math.pi/2

Pro meridiánové a tečné napětí platí, \begin{equation} \sigma_\varphi=\frac{N_\varphi}{h}\quad a\quad\sigma_\theta=\frac{N_\theta}{h}. \end{equation}

sigma_phi_=lambdify((phi,R,h,g,rho),N_phi_solved/h)
sigma_theta_=lambdify((phi,R,h,g,rho),N_theta_solved/h)
sigma_phi_,sigma_theta_

(<function _lambdifygenerated(varphi, R, h, q, rho)>,
 <function _lambdifygenerated(varphi, R, h, q, rho)>)

Vykreslení průběhů skožek napětí $\sigma_r$ a $\sigma_\varphi$.

phi_=linspace(0.01,alpha_,50)
plot1=[sigma_phi_(ii,R_,h_,g_,rho_) for ii in phi_]
plot2=[sigma_theta_(ii,R_,h_,g_,rho_) for ii in phi_]

fig,ax=subplots()
ylabel(r'$\sigma$ [Pa]').set_fontsize(12)
xlabel(r'$\varphi$ [rad]').set_fontsize(12)
ax.ticklabel_format(style="sci",axis="y",scilimits=(0,0))
ax.plot(phi_,plot1,lw=2,label=r'$\sigma_{\varphi}$')
ax.plot(phi_,plot2,lw=2,label=r'$\sigma_{\theta}$')
ax.legend(loc='best')
ax.grid(True)