Rotující kruhová stěna

Základní vztahy

Radiální a tečné napětí (obojí jsou hlavní napětí),

\begin{eqnarray} \sigma_r(r)&=&A-\frac{B}{r^2}-\frac{3+\mu}{8}\rho r^2\omega^2, \\ \sigma_t(r)&=&A+\frac{B}{r^2}-\frac{1+3\mu}{8}\rho r^2\omega^2, \end{eqnarray}

kde $\mu$ je Poissonovo číslo, $\rho$ hustota a $\omega$ úhlová rychlost. Napětí $\sigma_z(x)$ zanedbáme za předpokladu $h<r$. Pro posuvy v radiálním směru platí,

\begin{equation} u(r)=\frac{1-\mu}{E}Ar+\frac{1+\mu}{E}\frac{B}{r}-\frac{1-\mu^2}{8E}\rho r^3\omega^2, \end{equation}

kde $E$ je Youngův modul pružnosti v tahu.

%matplotlib inline
import sympy as sp
from numpy import linspace
from math import pi
import matplotlib.pyplot as plt
from IPython.core.display import Image
sp.init_printing()

Př.1

Stanovte redukované napětí pro rotující stěnu.

$n=5000\,\mathrm{ot}\times\mathrm{min}^{-1}$,

$p=10\times 10^6\,\mathrm{Pa}$,

$r_1=50\,\mathrm{mm}$,

$r_2=200\,\mathrm{mm}$,

$\mu=0.3$,

$\rho=7800\,\mathrm{kg}\times\mathrm{m}^3.$

Image(filename='rotujici_stena1.png',width=300)

Zavedení potřebných symbolů,

A,B=sp.symbols('A B')
p=sp.symbols('p')
r,r1,r2=sp.symbols('r r1 r2')
mu,rho,omega=sp.symbols('mu rho omega')

Vztahy pro radiální a tečná napětí,

sigma_r=A-B/r**2-(3+mu)/8*rho*r**2*omega**2
sigma_t=A+B/r**2-(1+3*mu)/8*rho*r**2*omega**2
sigma_r,sigma_t

$\displaystyle \left( A - \frac{B}{r^{2}} - \omega^{2} r^{2} \rho \left(\frac{\mu}{8} + \frac{3}{8}\right), \ A + \frac{B}{r^{2}} - \omega^{2} r^{2} \rho \left(\frac{3 \mu}{8} + \frac{1}{8}\right)\right)$

Okrajové podmínky,

\begin{eqnarray} \sigma_r=-p\quad&\mathrm{pro}&\,r=r_1, \\ \sigma_r=0\quad&\mathrm{pro}&\,r=r_1 \end{eqnarray}

a z nich vyplývající soustava algebraických rovnic pro neznámé $A$ a $B$.

bc1=sigma_r.subs({r:r1})+p
bc2=sigma_r.subs({r:r2})
bc1,bc2

$\displaystyle \left( A - \frac{B}{r_{1}^{2}} - \omega^{2} r_{1}^{2} \rho \left(\frac{\mu}{8} + \frac{3}{8}\right) + p, \ A - \frac{B}{r_{2}^{2}} - \omega^{2} r_{2}^{2} \rho \left(\frac{\mu}{8} + \frac{3}{8}\right)\right)$

Řešení předchozí soustavy rovnic,

sol=sp.linsolve([bc1,bc2],[A,B])
sol

$\displaystyle \left\{\left( - \frac{- \mu \omega^{2} r_{1}^{4} \rho + \mu \omega^{2} r_{2}^{4} \rho - 3 \omega^{2} r_{1}^{4} \rho + 3 \omega^{2} r_{2}^{4} \rho + 8 p r_{1}^{2}}{8 r_{1}^{2} - 8 r_{2}^{2}}, \ \frac{r_{1}^{2} r_{2}^{2} \left(\mu \omega^{2} r_{1}^{2} \rho - \mu \omega^{2} r_{2}^{2} \rho + 3 \omega^{2} r_{1}^{2} \rho - 3 \omega^{2} r_{2}^{2} \rho - 8 p\right)}{8 \left(r_{1}^{2} - r_{2}^{2}\right)}\right)\right\}$

Dosazení zadaných hodnot a vykreslení průběhu napětí $\sigma_r(r)$ a $\sigma_t(r)$ v závislosti na souřadnici $r$,

n_,p_=5000,10e6
r1_,r2_=50e-3,200e-3
mu_,rho_=0.3,7800
omega_=2*n_*pi/60
n_,p_

$\displaystyle \left( 5000, \ 10000000.0\right)$

A1=sol.args[0][0].subs({p:p_,r1:r1_,r2:r2_,omega:omega_,rho:rho_,mu:mu_})
B1=sol.args[0][1].subs({p:p_,r1:r1_,r2:r2_,omega:omega_,rho:rho_,mu:mu_})
A1,B1

$\displaystyle \left( 38155742.1339295, \ 114876.256001403\right)$

sigma_rf=sigma_r.subs({A:A1,B:B1,mu:mu_,omega:omega_,rho:rho_})
sigma_tf=sigma_t.subs({A:A1,B:B1,mu:mu_,omega:omega_,rho:rho_})
sigma_rf,sigma_tf

$\displaystyle \left( - 882095893.347361 r^{2} + 38155742.1339295 - \frac{114876.256001403}{r^{2}}, \ - 507873393.13939 r^{2} + 38155742.1339295 + \frac{114876.256001403}{r^{2}}\right)$

rls=linspace(r1_,r2_)
srplot=[sigma_rf.evalf(subs={r:ii}) for ii in rls]
stplot=[sigma_tf.evalf(subs={r:ii}) for ii in rls]

fig,ax=plt.subplots()
ax.set_ylabel(r'$\sigma$ [Pa]')
ax.set_xlabel(r'$r$ [m]')
ax.plot(rls,srplot,label=r'$\sigma_r$')
ax.plot(rls,stplot,label=r'$\sigma_t$')
ax.legend(loc='best')
ax.grid(True)

Složky tenzoru napětí $\sigma_r$ i $\sigma_t$ jsou hlavní a tudíž s Trescovy teorie můžeme vyhádřit redukované napětí jako,

\begin{equation} \sigma_{red}=|\sigma_r-\sigma_t|. \end{equation}

Z grafu plyne, že jeho nejvetší hodnota je v místě $r=r_1$.

sigma_red=sigma_tf.subs(r,r1_)-sigma_rf.subs(r,r2_)
sigma_red

$\displaystyle 82836561.0516422$