Rotující kruhová stěna

Základní vztahy

Radiální a tečné napětí (obojí jsou hlavní napětí),

\begin{eqnarray} \sigma_r(r)&=&A-\frac{B}{r^2}-\frac{3+\mu}{8}\rho r^2\omega^2, \\ \sigma_t(r)&=&A+\frac{B}{r^2}-\frac{1+3\mu}{8}\rho r^2\omega^2, \end{eqnarray}

kde $\mu$ je Poissonovo číslo, $\rho$ hustota a $\omega$ úhlová rychlost. Napětí $\sigma_z(x)$ zanedbáme za předpokladu $h<r$. Pro posuvy v radiálním směru platí,

\begin{equation} u(r)=\frac{1-\mu}{E}Ar+\frac{1+\mu}{E}\frac{B}{r}-\frac{1-\mu^2}{8E}\rho r^3\omega^2, \end{equation}

kde $E$ je Youngův modul pružnosti v tahu.

%matplotlib inline
import sympy as sp
from numpy import linspace
from math import pi
import matplotlib.pyplot as plt
from IPython.core.display import Image
sp.init_printing()

Př.2

Stanovte otáčky, při kterých dojde k oddělení obou součástí. Součásti jsou na sebe nalisovány s přesahem $\Delta$.

$n=?\,\mathrm{min}^{-1}$,

$r_2^1=r_1^2=r_1=50\,\mathrm{mm}$, $r_2^2=r_2=200\,\mathrm{mm}$,

$\mu=0.3$, $\rho=7800\,\mathrm{kg}\times\mathrm{m}^3$,

$E=2.1\times 10^5\,\mathrm{MPa}$,

$\Delta=3.0\times 10^{-1}\,\mathrm{mm}$.

Image(filename='rotujici_stena2.png',width=500)

Zavedení potřebných konstant,

A1=sp.symbols('A1')
A2,B2=sp.symbols('A2 B2')
r12,r21,r22=sp.symbols('r12 r21 r22')
r,omega=sp.symbols('r omega')
E,mu,rho=sp.symbols('E mu rho')

Vztahy pro napětí $\sigma_r$, $\sigma_t$ a posuvy $u$ pro těleso 1 a 2,

sigma_1r=A1-(3+mu)/8*rho*r**2*omega**2
sigma_1t=A1-(1+3*mu)/8*rho*r**2*omega**2
u_1=(1-mu)/E*A1*r-(1-mu**2)/(8*E)*rho*r**3*omega**2
sigma_1r,sigma_1t,u_1

$\displaystyle \left( A_{1} - \omega^{2} r^{2} \rho \left(\frac{\mu}{8} + \frac{3}{8}\right), \ A_{1} - \omega^{2} r^{2} \rho \left(\frac{3 \mu}{8} + \frac{1}{8}\right), \ \frac{A_{1} r \left(1 - \mu\right)}{E} - \frac{\omega^{2} r^{3} \rho \left(1 - \mu^{2}\right)}{8 E}\right)$

sigma_2r=A2-B2/r**2-(3+mu)/8*rho*r**2*omega**2
sigma_2t=A2+B2/r**2-(1+3*mu)/8*rho*r**2*omega**2
u_2=(1-mu)/E*A2*r+(1+mu)/E*B2/r-(1-mu**2)/(8*E)*rho*r**3*omega**2
sigma_2r,sigma_2t,u_2

$\displaystyle \left( A_{2} - \frac{B_{2}}{r^{2}} - \omega^{2} r^{2} \rho \left(\frac{\mu}{8} + \frac{3}{8}\right), \ A_{2} + \frac{B_{2}}{r^{2}} - \omega^{2} r^{2} \rho \left(\frac{3 \mu}{8} + \frac{1}{8}\right), \ \frac{A_{2} r \left(1 - \mu\right)}{E} + \frac{B_{2} \left(\mu + 1\right)}{E r} - \frac{\omega^{2} r^{3} \rho \left(1 - \mu^{2}\right)}{8 E}\right)$

Při rozpojení obou součástí zmízí tlak na vnitřním stěně kotouče 2 a vnější stěně kotuče 1. Odtud plynou následující okrajové podmínky,

\begin{eqnarray} \sigma_r^1=0\quad&\mathrm{pro}&\,r=r_2^1, \\ \sigma_r^2=0\quad&\mathrm{pro}&\,r=r_1^2, \\ \sigma_r^2=0\quad&\mathrm{pro}&\,r=r_2^2 \end{eqnarray}

a z nich vyplývající soustava algebraických rovnic pro neznámé $A_1$, $A_2$ a $B_2$.

bc1=sigma_1r.subs({r:r12})
bc2=sigma_2r.subs({r:r21})
bc3=sigma_2r.subs({r:r22})
bc1,bc2,bc3

$\displaystyle \left( A_{1} - \omega^{2} r_{12}^{2} \rho \left(\frac{\mu}{8} + \frac{3}{8}\right), \ A_{2} - \frac{B_{2}}{r_{21}^{2}} - \omega^{2} r_{21}^{2} \rho \left(\frac{\mu}{8} + \frac{3}{8}\right), \ A_{2} - \frac{B_{2}}{r_{22}^{2}} - \omega^{2} r_{22}^{2} \rho \left(\frac{\mu}{8} + \frac{3}{8}\right)\right)$

Řešení předchozí soustavy,

sol1=sp.linsolve([bc1,bc2,bc3],[A1,A2,B2])
sol1

$\displaystyle \left\{\left( \frac{\omega^{2} r_{12}^{2} \rho \left(\mu + 3\right)}{8}, \ \frac{\omega^{2} \rho \left(\mu r_{21}^{2} + \mu r_{22}^{2} + 3 r_{21}^{2} + 3 r_{22}^{2}\right)}{8}, \ \frac{\omega^{2} r_{21}^{2} r_{22}^{2} \rho \left(\mu + 3\right)}{8}\right)\right\}$

Dosazením zadaných hodnot do řešení pro $A_1$, $A_2$ a $B_2$ zůstane jedna neznámá $\omega$,

E_=2.1e11
delta_=3e-4
r1_=50e-3
r2_=200e-3
mu_=0.3
rho_=7800

A1_=sol1.args[0][0].subs({r12:r1_,rho:rho_,mu:mu_})
A2_=sol1.args[0][1].subs({r21:r1_,r22:r2_,rho:rho_,mu:mu_})
B2_=sol1.args[0][2].subs({r21:r1_,r22:r2_,rho:rho_,mu:mu_})
A1_,A2_,B2_

$\displaystyle \left( 8.04375 \omega^{2}, \ 136.74375 \omega^{2}, \ 0.32175 \omega^{2}\right)$

$\omega$ se vyjádří dodatečně z deformačních podmínek obou těles při jejich "rozpojení", nejdříve se tedy vyjádří posuvy obou těles $u_1(r)$ a $u_2(r)$ v závislosti na $r$,

u_1o=u_1.subs({A1:A1_,mu:mu_,rho:rho_,E:E_})
u_2o=u_2.subs({A2:A2_,B2:B2_,mu:mu_,rho:rho_,E:E_})
u_1o,u_2o

$\displaystyle \left( - 4.225 \cdot 10^{-9} \omega^{2} r^{3} + 2.68125 \cdot 10^{-11} \omega^{2} r, \ - 4.225 \cdot 10^{-9} \omega^{2} r^{3} + 4.558125 \cdot 10^{-10} \omega^{2} r + \frac{1.99178571428571 \cdot 10^{-12} \omega^{2}}{r}\right)$

Deformační podmínka při rozložení obou těles je

\begin{equation} |u_2(r_2^1)|-|u_1(r_1^2)|=\Delta. \end{equation}

bc4=abs(u_2o.subs(r,r1_))-abs(u_1o.subs(r,r1_))-delta_
bc4

$\displaystyle 6.12857142857143 \cdot 10^{-11} \left|{\omega^{2}}\right| - 0.0003$

Z důvodů absolutních hodnot v předepsané podmínce, se nabídne víc řešení, která samozřejmě nedávají z mechanického hlediska smysl, proto se vybere jen to spravné - reálné a kladné,

sol2=sp.solveset(bc4,omega,sp.S.Reals)
sol2

$\displaystyle \left\{-2212.48839434355, 2212.48839434355\right\}$

které se snadno přepočítá na otáčky,

\begin{equation} n=\frac{60\omega}{2\pi}.\quad[\mathrm{min}^{-1}] \end{equation}

n=60*sol2.args[1]/(2*pi)
n

$\displaystyle 21127.7078695936$