Složená tělesa I

Zadání

U těles podle obrázku proveďte napjatostní analýzu.

Řešení

Nutné knihovny Pythonu a nastavení matematické sazby.

import sympy as sp
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
sp.init_printing()

Uvolnění s využitím symetrie.

Použité konstanty a symboly.

Nz=sp.symbols('N_z')
p,F=sp.symbols('p F')
rI2,hI=sp.symbols('r^I_2 h^I')
R,hII=sp.symbols('R h_II')
E,B,mu,beta=sp.symbols('E B mu beta')
AI,BI=sp.symbols('A^I B^I')
C1,C2=sp.symbols('C1 C2')
z,r=sp.symbols('z r')

Stěna:

Základní vztahy pro normalová napětí $\sigma_r$, tangenciální napětí $\sigma_t$ a radiální posuvy $u$ jsou následující

\begin{equation} \begin{split} \sigma_r^I &= A^I-B^I\frac{1}{r^2}, \\ \sigma_t^I &= A^I+B^I\frac{1}{r^2}, \\ u^I &=\frac{(1+\mu)(1-2\mu)}{E}A^Ir+\frac{1+\mu}{E}B^I\frac{1}{r}. \end{split} \end{equation}

sr=AI-BI/r**2
st=AI+BI/r**2
uI=(1+mu)*(1-2*mu)/E*AI*r+(1+mu)/E/r*BI
sr,st,uI

$\displaystyle \left( A^{I} - \frac{B^{I}}{r^{2}}, \ A^{I} + \frac{B^{I}}{r^{2}}, \ \frac{A^{I} r \left(1 - 2 \mu\right) \left(\mu + 1\right)}{E} + \frac{B^{I} \left(\mu + 1\right)}{E r}\right)$

Okrajové podmínky stěny jsou tyto

\begin{equation} \begin{split} \sigma_r^I &= -\frac{\mathcal{2F}}{h^I}\quad\mathrm{pro}\,r=r_1=R, \\ \sigma_r^I &= 0\quad\mathrm{pro}\,r=r_2. \end{split} \end{equation}

beqnI1=sr.subs(r,R)+2*F/hI
beqnI2=sr.subs(r,rI2)
beqnI1,beqnI2

$\displaystyle \left( A^{I} - \frac{B^{I}}{R^{2}} + \frac{2 F}{h^{I}}, \ A^{I} - \frac{B^{I}}{\left(r^{I}_{2}\right)^{2}}\right)$

Z nich plynou hondoty konstant $A^I$ a $B^I$.

solbI=sp.linsolve([beqnI1,beqnI2],[AI,BI])
solbI

$\displaystyle \left\{\left( - \frac{2 F R^{2}}{h^{I} \left(R^{2} - \left(r^{I}_{2}\right)^{2}\right)}, \ - \frac{2 F R^{2} \left(r^{I}_{2}\right)^{2}}{h^{I} \left(R^{2} - \left(r^{I}_{2}\right)^{2}\right)}\right)\right\}$

Skořepina:

Základní vztahy pro posuvy $u$, natočení $\vartheta$, momenty $\mathcal{M}_z$, $\mathcal{M}_t$, posouvající síly $\mathcal{T}$ a normálové síly $\mathcal{N}_t$ u skořepiny jsou následující

\begin{equation} \begin{split} u^{II} &= \mathrm{e}^{-\beta z}\big(C_1\sin\beta z+C_2\cos\beta z\big)+u_p, \\ \vartheta &= \frac{\partial u^II}{\partial z}, \\ \mathcal{M}_z &= -B\frac{\partial^2 u^{II}}{\partial z^2}, \\ \mathcal{M}_t &= \mu\mathcal{M}_z, \\ \mathcal{T} &= -B\frac{\partial^3 u^{II}}{\partial z^3}, \\ \mathcal{N}_t &= R\Bigg[p-B\frac{\partial^4 u^{II}}{\partial z^4}\Bigg], \end{split} \end{equation}

kde $u_p$ je partikulární řešení

\begin{equation} u_p=\frac{R^2p}{Eh^{II}}. \end{equation}

up=R**2/E/hII*p
uII=sp.exp(-beta*z)*(C1*sp.sin(beta*z)+C2*sp.cos(beta*z))+up
t=uII.diff(z)
Mz=-B*uII.diff(z,2)
Mt=mu*Mz
T=-B*uII.diff(z,3)
Nt=R*(p-B*uII.diff(z,4))
uII,t,Mz,Mt,T,Nt

$\displaystyle \left( \left(C_{1} \sin{\left(\beta z \right)} + C_{2} \cos{\left(\beta z \right)}\right) e^{- \beta z} + \frac{R^{2} p}{E h_{II}}, \ - \beta \left(C_{1} \sin{\left(\beta z \right)} + C_{2} \cos{\left(\beta z \right)}\right) e^{- \beta z} + \left(C_{1} \beta \cos{\left(\beta z \right)} - C_{2} \beta \sin{\left(\beta z \right)}\right) e^{- \beta z}, \ - B \beta^{2} \left(- 2 C_{1} \cos{\left(\beta z \right)} + 2 C_{2} \sin{\left(\beta z \right)}\right) e^{- \beta z}, \ - B \beta^{2} \mu \left(- 2 C_{1} \cos{\left(\beta z \right)} + 2 C_{2} \sin{\left(\beta z \right)}\right) e^{- \beta z}, \ - B \beta^{3} \left(2 C_{1} \sin{\left(\beta z \right)} + 2 C_{1} \cos{\left(\beta z \right)} - 2 C_{2} \sin{\left(\beta z \right)} + 2 C_{2} \cos{\left(\beta z \right)}\right) e^{- \beta z}, \ R \left(- B \beta^{4} \left(- 4 C_{1} \sin{\left(\beta z \right)} - 4 C_{2} \cos{\left(\beta z \right)}\right) e^{- \beta z} + p\right)\right)$

Předepsáné okrajové podmínky pro skořepinu jsou

\begin{equation} \begin{split} \vartheta &= 0\quad\mathrm{pro}\,z=0, \\ \mathcal{T} &= \mathcal{F}\quad\mathrm{pro}\,z=0. \end{split} \end{equation}

benqII1=t.subs(z,0)
benqII2=T.subs(z,0)-F
benqII1,benqII2

$\displaystyle \left( C_{1} \beta - C_{2} \beta, \ - B \beta^{3} \left(2 C_{1} + 2 C_{2}\right) - F\right)$

Jejich řešením jsou konstanty $C_1$ a $C_2$.

solbII=sp.linsolve([benqII1,benqII2],[C1,C2])
solbII

$\displaystyle \left\{\left( - \frac{F}{4 B \beta^{3}}, \ - \frac{F}{4 B \beta^{3}}\right)\right\}$

Deformační podmínka pro vyjádření $\mathcal{F}$

\begin{equation} u^I(r)+u^{II}(z)=0\quad\mathrm{pro}\,r=r_1=R\wedge z=0. \end{equation}

eqnd=uI.subs({AI:solbI.args[0][0],BI:solbI.args[0][1],r:R})+ \
     uII.subs({C1:solbII.args[0][0],C2:solbII.args[0][1],z:0})
eqnd

$\displaystyle - \frac{2 F R^{3} \left(1 - 2 \mu\right) \left(\mu + 1\right)}{E h^{I} \left(R^{2} - \left(r^{I}_{2}\right)^{2}\right)} - \frac{2 F R \left(r^{I}_{2}\right)^{2} \left(\mu + 1\right)}{E h^{I} \left(R^{2} - \left(r^{I}_{2}\right)^{2}\right)} + \frac{R^{2} p}{E h_{II}} - \frac{F}{4 B \beta^{3}}$

Řešení deformační podmínky pro sílu $\mathcal{F}$.

sold=sp.solveset(eqnd,F)
sold

$\displaystyle \left\{- \frac{4 B R^{2} \beta^{3} h^{I} p \left(R - r^{I}_{2}\right) \left(R + r^{I}_{2}\right)}{h_{II} \left(16 B R^{3} \beta^{3} \mu^{2} + 8 B R^{3} \beta^{3} \mu - 8 B R^{3} \beta^{3} - 8 B R \beta^{3} \mu \left(r^{I}_{2}\right)^{2} - 8 B R \beta^{3} \left(r^{I}_{2}\right)^{2} - E R^{2} h^{I} + E h^{I} \left(r^{I}_{2}\right)^{2}\right)}\right\}$

Numerický příklad:

Zadané parametry:

rI2_,hI_=200,10
R_,hII_=100.,2.
E_,mu_=2.1e5,0.3
p_=30.

Dosazení zadaných parametrů do $B$,$\beta$, $\mathcal{F}$, $A^I$, $B^I$, $C_1$ a $C_2$.

B_=E_*hII_**3/12./(1.-mu_)
beta_=(3.*(1.-mu_**2)/R_**2/hII_**2)**(1./4.)
F_=float(sold.args[0].subs({R:R_,rI2:rI2_,hI:hI_,hII:hII_,E:E_,mu:mu_,p:p_, \
         B:B_,beta:beta_}))
AI_=float(solbI.args[0][0].subs({R:R_,rI2:rI2_,hI:hI_,F:F_}))
BI_=float(solbI.args[0][1].subs({R:R_,rI2:rI2_,hI:hI_,F:F_}))
C1_=float(solbII.args[0][0].subs({F:F_,B:B_,beta:beta_}))
C2_=float(solbII.args[0][1].subs({F:F_,B:B_,beta:beta_}))
B_,beta_,F_,AI_,BI_,C1_,C2_

$\displaystyle \left( 200000.0, \ 0.09089200086327263, \ 481.61624962006505, \ 32.10774997467101, \ 1284309.9989868405, \ -0.8017411094548182, \ -0.8017411094548182\right)$

Stěna:

Převedení $u^I$, $\sigma^I_r$ a $\sigma^I_t$ na funkce.

uI_=sp.lambdify((r,E,mu,AI,BI),uI)
sr_=sp.lambdify((r,AI,BI),sr)
st_=sp.lambdify((r,AI,BI),st)

Vykreslení $u^I$, $\sigma^I_r$ a $\sigma^I_t$.

r_=np.linspace(R_,rI2_,100)
uIplot=[uI_(ii,E_,mu_,AI_,BI_) for ii in r_]
srplot=[sr_(ii,AI_,BI_) for ii in r_]
stplot=[st_(ii,AI_,BI_) for ii in r_]

fig,ax=plt.subplots(figsize=(5,6))
plt.title('Těleso $I$ - stěna').set_fontsize(14)
ax.set_ylabel(r'$r$ [mm]').set_fontsize(12)
ax.set_xlabel(r'$u$ [mm]').set_fontsize(12)
ax.plot(uIplot,r_,lw=2)
ax.grid(True)
plt.show()

fig,ax=plt.subplots(figsize=(5,6))
plt.title('Těleso $I$ - stěna').set_fontsize(14)
ax.set_xlabel(r'$\sigma$ [MPa]').set_fontsize(12)
ax.set_ylabel(r'$r$'+' [mm]').set_fontsize(12)
ax.plot(srplot,r_,lw=2,label=r'$\sigma_r$')
ax.plot(stplot,r_,lw=2,label=r'$\sigma_t$')
ax.legend(loc='best')
ax.grid(True)
plt.show()

Skořepina:

Převedení $u^{II}$, $\sigma^{II}_r$ a $\sigma^{II}_t$ na funkce.

uII_=sp.lambdify((z,R,p,E,hII,beta,C1,C2),uII)
Mz_=sp.lambdify((z,B,beta,C1,C2),Mz)
Mt_=sp.lambdify((z,mu,B,beta,C1,C2),Mt)
Nt_=sp.lambdify((z,R,p,B,beta,C1,C2),Nt)

A jejich vykreslení.

z_=np.linspace(0,2*R_,100)
uIIplot=[uII_(ii,R_,p_,E_,hII_,beta_,C1_,C2_) for ii in z_]
szplot=[6*Mz_(ii,B_,beta_,C1_,C2_)/hII_**2 for ii in z_]
stplot=[Nt_(ii,R_,p_,B_,beta_,C1_,C2_)/hII_- \
        6*Mt_(ii,mu_,B_,beta_,C1_,C2_)/hII_**2 for ii in z_]

fig,ax=plt.subplots()
plt.title('Těleso $II$ - skořepina').set_fontsize(14)
plt.ylabel(r'$u$ [mm]').set_fontsize(12)
plt.xlabel(r'$z$ [mm]').set_fontsize(12)
ax.plot(z_,uIIplot,lw=2)
ax.grid(True)
plt.show()

fig,ax=plt.subplots()
plt.title('Těleso $II$ - skořepina').set_fontsize(14)
plt.ylabel(r'$\sigma$ [MPa]').set_fontsize(12)
plt.xlabel(r'$z$ [mm]').set_fontsize(12)
ax.plot(z_,szplot,lw=2,label=r'$\sigma_z$')
ax.plot(z_,stplot,lw=2,label=r'$\sigma_r$')
ax.grid(True)
ax.legend(loc='best')
plt.show()