Anizotropní pružnost - bi-materiálový vrub

Singulární člen

Lechnického, Eshelbyho a Strohův formalismus slouží k vyjádření posuvů a vektoru napětí podél polopřímky vycházející z počátku souřadnic pod úhlem \(\theta\) měřeného od kladné osy \(x\)

(1)\[\begin{split}\begin{equation} \begin{split} & \boldsymbol{u}^J(\theta) = \boldsymbol{A}^J\boldsymbol{Z}^J(\theta)\boldsymbol{v}^J +\overline{\boldsymbol{A}^J}\overline{\boldsymbol{Z}^J}(\theta)\boldsymbol{w}^J, \\ & \boldsymbol{T}^J(\theta) = \boldsymbol{L}^J\boldsymbol{Z}^J(\theta)\boldsymbol{v}^J +\overline{\boldsymbol{L}^J}\overline{\boldsymbol{Z}^J}(\theta)\boldsymbol{w}^J, \end{split} \end{equation}\end{split}\]

kde matice \(\boldsymbol{A}^J\) a \(\boldsymbol{L}^J\) závisí na elastických konstantách a vlastních číslech \(\mu_{1,2}^J\) materiálů \(J=I,II\)

(2)\[\begin{split}\begin{equation} \begin{split} & \boldsymbol{L}^J=\left[ \begin{array}{rr} -\mu_1^J & -\mu_2^J \\ 1 & 1 \end{array} \right], \\ & \boldsymbol{A}^J=\left[ \begin{array}{rr} s_{11}^\prime\mu_1^2+s_{12}^\prime & s_{11}^\prime\mu_2^2+s_{12}^\prime \\ s_{12}^\prime\mu_1+s_{22}^\prime/\mu_1 & s_{12}^\prime\mu_2+s_{22}^\prime/\mu_2 \end{array} \right]. \end{split} \end{equation}\end{split}\]

Vektory \(\boldsymbol{v}^J\) a \(\boldsymbol{w}^J\) jsou neznámé a musí se stanovit z okrajových podmínek úlohy. Nejdříve bude věnována pozornost obecnější úloze, tj. vrubu, jehož rozevření je dáno úhly \(\omega^I\in(0,\pi)\) a \(\omega^{II}\in(-\pi,0)\). Pro úhel \(\theta\) tedy platí

(3)\[\theta\in\big(\omega^{II},\omega^I\big).\]

V případě vrubu, má diagonální matice \(\boldsymbol{Z}^J\big(\omega^J\big)\) tvar

(4)\[\boldsymbol{Z}^J(\theta) = \mathrm{diag}\Big[\big(\cos\theta+\mu^J_1\sin\theta\big)^\delta, \big(\cos\theta+\mu^J_2\sin\theta\big)^\delta\Big].\]

Ve výše uvedených vztazích (1) je trošku podivnost v zápisu komplexně sdružené diagonální matice \(\overline{\boldsymbol{Z}^J}(\theta)\), kde se nesdružuje exponent \(\delta\) a pro kterou tedy platí

(5)\[\overline{\boldsymbol{Z}^J}(\theta) = \mathrm{diag}\Big[ \big(\cos\theta+\overline{\mu^J_1}\sin\theta\big)^\delta, \big(\cos\theta+\overline{\mu^J_2}\sin\theta\big)^\delta\Big].\]

V okolí kořene vrubu lze předepsat následující okrajové podmínky

(6)\[\begin{split}\begin{equation} \begin{split} & \boldsymbol{T}^I = \boldsymbol{T}^{II} = 0 \quad \mathrm{pro} \quad \theta=\omega^I,\omega^{II}, \\ & \boldsymbol{u}^I = \boldsymbol{u}^{II} \quad \mathrm{pro} \quad \theta=0, \\ & \boldsymbol{T}^I = \boldsymbol{T}^{II} \quad \mathrm{pro} \quad \theta=0. \end{split} \end{equation}\end{split}\]

Dosazením vztahů (1) do okrajových podmínek (6) se dostane homogenní systém algebraických rovnic, který se může napsat maticově následovně,

(7)\[\begin{split}\left[ \begin{array}{rrrr} \boldsymbol{X}^I & \overline{\boldsymbol{X}^I} & \boldsymbol{0} & \boldsymbol{0} \\ \boldsymbol{0} & \boldsymbol{0} & \boldsymbol{X}^{II} & \overline{\boldsymbol{X}^{II}} \\ \boldsymbol{I} & \boldsymbol{I} & -\boldsymbol{I} & -\boldsymbol{I} \\ \boldsymbol{B}^I & -\overline{\boldsymbol{B}^I} & -\boldsymbol{B}^{II} & \overline{\boldsymbol{B}^{II}} \end{array} \right] \left[ \begin{array}{r} \boldsymbol{L}^I\boldsymbol{v}^I \\ \overline{\boldsymbol{L}^I}\boldsymbol{w}^I \\ \boldsymbol{L}^{II}\boldsymbol{v}^{II} \\ \overline{\boldsymbol{L}^{II}}\boldsymbol{w}^{II} \end{array} \right] =\boldsymbol{0},\end{split}\]

kde

(8)\[\begin{split}\begin{equation} \begin{split} & \boldsymbol{B}^J = \mathrm{i}\boldsymbol{A}^J\big(\boldsymbol{L}^J\big)^{-1}, \\ & \boldsymbol{X}^J = \boldsymbol{L}^J\boldsymbol{Z}^J\big(\omega^J\big) \big(\boldsymbol{L}^J\big)^{-1}. \end{split} \end{equation}\end{split}\]

Soustava rovnic (7) ze může eliminací proměnných \(\overline{\boldsymbol{L}^I}\boldsymbol{w}^I\), \(\boldsymbol{L}^{II}\boldsymbol{v}^{II}\) a \(\overline{\boldsymbol{L}^{II}}\boldsymbol{w}^{II}\) přepsat do tvaru, viz [1],

(9)\[\boldsymbol{K}(\delta)\boldsymbol{L}^J\boldsymbol{v}^J=\boldsymbol{0},\]

kde matice \(\boldsymbol{K}\) má tvar

(10)\[\boldsymbol{K}=\boldsymbol{B}^I+\overline{\boldsymbol{B}^I}\boldsymbol{Y}^I -\Big(\boldsymbol{B}^{II} +\overline{\boldsymbol{B}^{II}}\boldsymbol{Y}^{II}\Big) \big(\boldsymbol{I}-\boldsymbol{Y}^{II}\big)^{-1} \big(\boldsymbol{I}-\boldsymbol{Y}^I\big)\]

a

(11)\[\boldsymbol{Y}^J = \Big(\overline{\boldsymbol{X}^J}\Big)^{-1} \boldsymbol{X}^J.\]

Zbývá poznamenat stanovení vektoru \(\boldsymbol{v}^{II}\) a \(\boldsymbol{w}^J\), které se určí pomocí vztahu

(12)\[\begin{split}\begin{equation} \begin{split} & \boldsymbol{v}^{II} = \big(\boldsymbol{L}^{II}\big)^{-1}\big(\boldsymbol{I}-\boldsymbol{Y}^{II}\big)^{-1} \big(\boldsymbol{I}-\boldsymbol{Y}^I\big)\boldsymbol{L}^I\boldsymbol{v}^I, \\ & \boldsymbol{w}^J = -\Big(\overline{\boldsymbol{L}^J}\Big)^{-1} \boldsymbol{Y}^J\boldsymbol{L}^J\boldsymbol{v}^J. \end{split} \end{equation}\end{split}\]

Aby soustava (9) měla řešení, musí platit

(13)\[\det\big(\boldsymbol{K}(\delta)\big)=0,\]

odkud se vyjádří exponent \(\delta\). Zpětným dosazením této hodnoty do (9) se spočítá vektor \(\boldsymbol{L}^I\boldsymbol{v}^I\) jako vlastní vektor matice \(\boldsymbol{K}(\delta)\) pro vlastní číslo \(0\). Ze vztahů (12) se následně dopočítají zbývající vektory \(\overline{\boldsymbol{L}^I}\boldsymbol{w}^I\), \(\boldsymbol{L}^{II}\boldsymbol{v}^{II}\) a \(\overline{\boldsymbol{L}^{II}}\boldsymbol{w}^{II}\).

\(T\)-napětí u trhliny na rozhraní

V případě stanovení vztahů pro vyjádření napětí a posuvů (1) v případě tzv. \(T\)-napětí u trhliny, tj. pro

(14)\[\omega^I=\pi \qquad\mathrm{a}\qquad \omega^{II}=-\pi,\]

je trošku komplikovanější, než v případě ostatních exponentů \(\delta\). \(T\)-napětí odpovídá exponent \(\delta=1\), který sice neodpovídá nulové hodnotě determinantu (13), avšak tento determinant je příliš specializovaný. V případě \(T\)-napětí je totiž automaticky splněna druhá rovnost v (6), tj. rovnost posuvů na rozhraní, a matice \(\boldsymbol{K}(\delta)\) soustava rovnic již nejde sestavit.

To, že je exponent \(\delta=1\) řešením úlohy dané okrajovými podmínkami (6), se ukáže velice snadno jeho dosazením do soustavy rovnic (7), jejíž maticový zápis bude mít tvar

(15)\[\begin{split}\left[ \begin{array}{rrrr} -\boldsymbol{I} & -\boldsymbol{I} & \boldsymbol{0} & \boldsymbol{0} \\ \boldsymbol{0} & \boldsymbol{0} & -\boldsymbol{I} & -\boldsymbol{I} \\ \boldsymbol{I} & \boldsymbol{I} & -\boldsymbol{I} & -\boldsymbol{I} \\ \boldsymbol{B}^I & -\overline{\boldsymbol{B}}^I & -\boldsymbol{B}^{II} & \overline{\boldsymbol{B}^{II}} \end{array} \right] \left[ \begin{array}{r} \boldsymbol{L}^I\boldsymbol{v}^I \\ \overline{\boldsymbol{L}^I}\boldsymbol{w}^I \\ \boldsymbol{L}^{II}\boldsymbol{v}^{II} \\ \overline{\boldsymbol{L}^{II}}\boldsymbol{w}^{II} \end{array} \right] =\boldsymbol{0}\end{split}\]

a která po převodu na horní trojúhelníkovou matici má tvar

(16)\[\begin{split}\left[ \begin{array}{rrrr} \boldsymbol{I} & \boldsymbol{I} & -\boldsymbol{I} & -\boldsymbol{I} \\ \boldsymbol{0} & -\overline{\boldsymbol{B}^I}-\boldsymbol{B}^I & -\boldsymbol{B}^{II}+\boldsymbol{B}^I & \overline{\boldsymbol{B}^{II}}+\boldsymbol{B}^I\\ \boldsymbol{0} & \boldsymbol{0} & \boldsymbol{I} & \boldsymbol{I} \\ \boldsymbol{0} & \boldsymbol{0} & \boldsymbol{0} & \boldsymbol{0} \end{array} \right].\end{split}\]

Z ní jde vidět, že determinant matice soustavy (15) je nulový a dále, že je tento exponent dvojnásobný. To dokazuje nulový poslední řádek v matici, který odpovídá faktu, že vlastní vektory matice \(\boldsymbol{L}^I\boldsymbol{v}^I\) závisí na vektoru \(\overline{\boldsymbol{L}^{II}}\boldsymbol{w}^{II}\) a naopak. Každý z těchto vektorů jde vyjádřit jako lineární kombinaci dvou nezávislých složek. Odtud násobnost exponentu \(\delta=1\). Lépe to jde vidět ze soustavy, která se získá eliminací \(\overline{\boldsymbol{L}^I}\boldsymbol{w}^I\) a \(\overline{\boldsymbol{L}^{II}}\boldsymbol{w}^{II}\)

(17)\[\Big(\boldsymbol{B}^I+\overline{\boldsymbol{B}^I}\Big)\boldsymbol{L}^I\boldsymbol{v}^I -\Big(\boldsymbol{B}^{II}+\overline{\boldsymbol{B}^{II}}\Big) \boldsymbol{L}^{II}\boldsymbol{v}^{II}=\boldsymbol{0}.\]

Vektor \(\boldsymbol{L}^I\boldsymbol{v}^I\) nebo \(\boldsymbol{L}^{II}\boldsymbol{v}^{II}\) se musí zvolit, aby se mohly zbývající vektory určit. V každém případě jde zvolit vždy dva lineárně nezávislé tvary těchto vektorů, tak např.

(18)\[\boldsymbol{L}^I\boldsymbol{v}^I = [\begin{array}{ll} \mathrm{i} & 0 \end{array}]^T\]

a

(19)\[\boldsymbol{L}^I\boldsymbol{v}^I = [\begin{array}{ll} 0 & \mathrm{i} \end{array}]^T.\]

Vektory \(\boldsymbol{L}^{II}\boldsymbol{v}^{II}\) se dostanou dosazením těchto vektorů do (17)

(20)\[\boldsymbol{L}^{II}\boldsymbol{v}^{II}= \Big(\boldsymbol{B}^{II}+\overline{\boldsymbol{B}^{II}}\Big)^{-1} \Big(\boldsymbol{B}^I+\overline{\boldsymbol{B}^I}\Big)\boldsymbol{L}^I\boldsymbol{v}^I\]

Zbývající vektory se dostanou z první a druhé soustavy rovnic matice (15),

(21)\[\overline{\boldsymbol{L}^I}\boldsymbol{w}^I=-\boldsymbol{L}^I\boldsymbol{v}^I\]

a

(22)\[\overline{\boldsymbol{L}^{II}}\boldsymbol{w}^{II}=-\boldsymbol{L}^{II}\boldsymbol{v}^{II}.\]

V [1] je uvedeno, že v případě reálného exponentu, což je i zde probíraný případ \(\delta=1\), platí

(23)\[\boldsymbol{w}^J=\overline{\boldsymbol{v}^J}.\]

Odtud a z (21) a (22) pro \(J=I,II\) plyne

(24)\[\overline{\boldsymbol{L}^J}\boldsymbol{w}^J=\overline{\boldsymbol{L}^J\boldsymbol{v}^J} =-\boldsymbol{L}^J\boldsymbol{v}^J,\]

nebo-li

(25)\[ \overline{\boldsymbol{L}^J\boldsymbol{v}^J}+\boldsymbol{L}^J\boldsymbol{v}^J=\Re\big\{\boldsymbol{L}^J\boldsymbol{v}^J\big\}=0.\]

Tedy \(\boldsymbol{L}^J\boldsymbol{v}^J\) jsou ryze imaginární. Odtud podivná volba komplexních jednotek v (18) a (19).

Složky napětí, včetně \(T\)-napětí, pro \(\delta=1\) se mohou vyjádřit následovně, viz [2],

(26)\[\begin{split}\begin{equation} \begin{split} \boldsymbol{\sigma}_1^J =& -\boldsymbol{L}^J\boldsymbol{M}^J\boldsymbol{I}\big(\boldsymbol{L}^J\big)^{-1} \boldsymbol{L}^J\boldsymbol{v}^J -\overline{\boldsymbol{L}^J}\overline{\boldsymbol{M}^J}\boldsymbol{I} \big(\overline{\boldsymbol{L}^J}\big)^{-1} \overline{\boldsymbol{L}^J}\overline{\boldsymbol{v}^J} \\ =& -\boldsymbol{L}^J\boldsymbol{M}^J\big(\boldsymbol{L}^J\big)^{-1} \boldsymbol{L}^J\boldsymbol{v}^J -\overline{\boldsymbol{L}^J}\overline{\boldsymbol{M}^J} \big(\overline{\boldsymbol{L}^J}\big)^{-1} \overline{\boldsymbol{L}^J}\overline{\boldsymbol{v}^J} \\ \boldsymbol{\sigma}_2^J =& \boldsymbol{L}^J\boldsymbol{I}\big(\boldsymbol{L}^J\big)^{-1} \boldsymbol{L}^J\boldsymbol{v}^J +\overline{\boldsymbol{L}^J}\boldsymbol{I} \big(\overline{\boldsymbol{L}^J}\big)^{-1} \overline{\boldsymbol{L}^J}\overline{\boldsymbol{v}^J} \\ =& \boldsymbol{L}^J\boldsymbol{v}^J +\overline{\boldsymbol{L}^J}\overline{\boldsymbol{v}^J}, \end{split} \end{equation}\end{split}\]

kde

(27)\[\begin{split}\boldsymbol{M}=\left[ \begin{array}{rr} \mu_1^J & 0 \\ 0 & \mu_2^J \end{array} \right].\end{split}\]

Jestliže se vezme v úvahu, že

(28)\[\begin{split}\boldsymbol{L}^J\boldsymbol{M}^J\big(\boldsymbol{L}^J\big)^{-1}= \left[ \begin{array}{rr} \mu_1^J+\mu_2^J & -\mu_1^J\mu_2^J \\ -1 & 0 \end{array} \right],\end{split}\]

pak na základě (18) a (19) se pro napětí \(\sigma_1^I\) a \(\sigma_2^I\) podle (26) může psát

(29)\[\begin{split}\begin{equation} \begin{split} \left[ \begin{array}{l} T^I \\ 0 \end{array} \right] =& -\left[ \begin{array}{rr} \mu_1^I+\mu_2^I & -\mu_1^I\mu_2^I \\ -1 & 0 \end{array} \right] \left(t_1\left[ \begin{array}{r} \mathrm{i} \\ 0 \end{array} \right]+t_2\left[ \begin{array}{r} 0 \\ \mathrm{i} \end{array} \right] \right) \\ & -\left[ \begin{array}{rr} \overline{\mu_1^I}+\overline{\mu_2^I} & -\overline{\mu_1^I}\overline{\mu_2^I} \\ -1 & 0 \end{array} \right] \left(\overline{t_1}\left[ \begin{array}{r} -\mathrm{i} \\ 0 \end{array} \right]+\overline{t_2}\left[ \begin{array}{r} 0 \\ -\mathrm{i} \end{array} \right] \right) \\ \left[ \begin{array}{l} 0 \\ 0 \end{array} \right] =& t_1\left[ \begin{array}{r} \mathrm{i} \\ 0 \end{array} \right]+t_2\left[ \begin{array}{r} 0 \\ \mathrm{i} \end{array} \right]+\overline{t_1}\left[ \begin{array}{r} -\mathrm{i} \\ 0 \end{array} \right]+\overline{t_2}\left[ \begin{array}{r} 0 \\ -\mathrm{i} \end{array} \right], \end{split} \end{equation}\end{split}\]

kde se obecně komplexní koeficienty \(t_1\) a \(t_2\) určí pomocí procedury dané \(\Psi\)-integrálem. Z druhé soustavy rovnic v (29) se dostane, že \(t_1\) a \(t_2\) jsou reálné

(30)\[\begin{split}\begin{equation} \begin{split} & 0 = t_1 - \overline{t_1} \quad \Rightarrow \quad \Im\big\{t_1\big\}=0, \\ & 0 = t_2 - \overline{t_2} \quad \Rightarrow \quad \Im\big\{t_2\big\}=0. \end{split} \end{equation}\end{split}\]

Druhá rovnice první soustavy rovnic (29) je pak splněna automaticky a z první rovnice plyne hodnota \(T^I\)-napětí

(31)\[T^I=2\Big(t_1\Im\big\{\mu_1^I+\mu_2^I\big\}-t_2\Im\big\{\mu_1^I\mu_2^I\big\}\Big).\]

K vyjádření \(T^{II}\)-napětí je nutné vyjádřit reálnou část matice \(\boldsymbol{B}^J\). Ta má tvar

(32)\[\begin{split}\boldsymbol{B}^J=\mathrm{i}\left[ \begin{array}{rr} -s_{11}^{\prime J}\big(\mu_1^J+\mu_2^J\big) & -s_{11}^{\prime J}\mu_1^J\mu_2^J+s_{12}^{\prime J} \\ -s_{12}^{\prime J}+s_{22}^{\prime J}/\mu_1^J\mu_2^J & s_{22}^{\prime J}\big(\mu_1^J+\mu_2^J\big)/\mu_1^J\mu_2^J \end{array} \right].\end{split}\]

Její reálná část a její inverze má tvar

(33)\[\begin{split}\boldsymbol{B}^J+\overline{\boldsymbol{B}^J} =2\left[ \begin{array}{rr} s_{11}^{\prime J}\Im\big\{\mu_1^J+\mu_2^J\big\} & s_{11}^{\prime J}\Im\big\{\mu_1^J\mu_2^J\big\} \\ -s_{22}^{\prime J}\Im\big\{1/\mu_1^J\mu_2^J\big\} & -s_{22}^{\prime J}\Im\big\{\big(\mu_1^J+\mu_2^J\big)/\mu_1^J\mu_2^J\big\} \end{array} \right],\end{split}\]
(34)\[\begin{split}\begin{equation} \begin{split} & \big(\boldsymbol{B}^J+\overline{\boldsymbol{B}^J}\big)^{-1} = \\ & \qquad = \frac{1}{\det\big(\boldsymbol{B}^J+\overline{\boldsymbol{B}^J}\big)} \left[ \begin{array}{rr} -s_{22}^{\prime J}\Im\big\{\big(\mu_1^J+\mu_2^J\big)/\mu_1^J\mu_2^J\big\} & s_{11}^{\prime J}\Im\big\{\mu_1^J\mu_2^J\big\} \\ -s_{22}^{\prime J}\Im\big\{1/\mu_1^J\mu_2^J\big\} & s_{11}^{\prime J}\Im\big\{\mu_1^J+\mu_2^J\big\} \end{array} \right], \end{split} \end{equation}\end{split}\]

kde

(35)\[\begin{split}\begin{equation} \begin{split} & \det\big(\boldsymbol{B}^J+\overline{\boldsymbol{B}^J}\big) = \\ & \qquad = 2s_{11}^{\prime J}s_{22}^{\prime J}\Bigg(-\Im\big\{\mu_1^J +\mu_2^J\big\}\Im\Bigg\{\frac{\mu_1^J+\mu_2^J}{\mu_1^J\mu_2^J}\Bigg\} +\Im\big\{\mu_1^J\mu_2^J\big\}\Im\Bigg\{\frac{1}{\mu_1^J\mu_2^J}\Bigg\}\Bigg). \end{split} \end{equation}\end{split}\]

Podle (20) potom pro \(\boldsymbol{L}^{II}\boldsymbol{v}^{II}\) platí

(36)\[\begin{split}\begin{equation} \begin{split} \boldsymbol{L}^{II}\boldsymbol{v}^{II} =& \big(\boldsymbol{B}^{II}+\overline{\boldsymbol{B}^{II}}\big)^{-1} \big(\boldsymbol{B}^I+\overline{\boldsymbol{B}^I}\big)\left(t_1\left[ \begin{array}{r} \mathrm{i} \\ 0 \end{array} \right]+t_2\left[ \begin{array}{r} 0 \\ \mathrm{i} \end{array} \right]\right) \\ =& \frac{2\mathrm{i}}{\det\big(\boldsymbol{B}^{II}+\overline{\boldsymbol{B}^{II}}\big)} \\ & \times \left(t_1\left[ \begin{array}{r} -s_{22}^{II}s_{11}^I\Im\big\{\big(\mu_1^{II}+\mu_2^{II}\big)/\mu_1^{II}\mu_2^{II}\big\} \Im\big\{\mu_1^I+\mu_2^I\big\} \\ s_{22}^{II}s_{11}^I\Im\big\{1/\mu_1^{II}\mu_2^{II}\big\} \Im\big\{\mu_1^I+\mu_2^I\big\} \end{array} \right. \right. \\ & \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \left. \begin{array}{r} +s_{11}^{II}s_{22}^I\Im\Big\{\mu_1^{II}\mu_2^{II}\Big\} \Im\big\{1/\mu_1^I\mu_2^I\big\} \\ -s_{11}^{II}s_{22}^I\Im\big\{\mu_1^{II}+\mu_2^{II}\big\} \Im\big\{1/\mu_1^I\mu_2^I\big\} \end{array} \right] \\ & \qquad +t_2\left[ \begin{array}{r} -s_{22}^{II}s_{11}^I\Im\big\{\big(\mu_1^{II}+\mu_2^{II}\big)/\mu_1^{II}\mu_2^{II}\big\} \Im\big\{\mu_1^I\mu_2^I\big\} \\ s_{22}^{II}s_{11}^I\Im\big\{1/\mu_1^{II}\mu_2^{II}\big\} \Im\big\{\mu_1^I\mu_2^I\big\} \end{array} \right. \\ & \left.\qquad\qquad\qquad \left. \begin{array}{r} +s_{11}^{II}s_{22}^I\Im\Big\{\mu_1^{II}\mu_2^{II}\Big\} \Im\big\{\big(\mu_1^I+\mu_2^I\big)/\mu_1^I\mu_2^I\big\} \\ +s_{11}^{II}s_{22}^I\Im\big\{\mu_1^{II}+\mu_2^{II}\big\} \Im\big\{\big(\mu_1^I+\mu_2^I\big)/\mu_1^I\mu_2^I\big\} \end{array} \right] \right) \end{split} \end{equation}\end{split}\]

Dosazením \(\boldsymbol{L}^{II}\boldsymbol{v}^{II}\) do první rovnice vztahu \(\boldsymbol{\sigma}_1^J\) v soustavě (26) se může podobně jako \(T^I\) vyjádřit také \(T^{II}\)-napětí

(37)\[T^{II}=2\Big(t_1^{II}\Im\big\{\mu_1^{II}+\mu_2^{II}\big\}-t_2^{II}\Im\big\{\mu_1^{II}\mu_2^{II}\big\}\Big),\]

kde

(38)\[\begin{split}\begin{equation} \begin{split} t_1^{II} =& \frac{2}{\det\big(\boldsymbol{B}^{II}+\overline{\boldsymbol{B}^{II}}\big)} \\ & \times \Big[ t_1 \big(-s_{22}^{II}s_{11}^I\Im\big\{\big(\mu_1^{II}+\mu_2^{II}\big)/\mu_1^{II}\mu_2^{II}\big\} \Im\big\{\mu_1^I+\mu_2^I\big\} \\ & \qquad +s_{11}^{II}s_{22}^I\Im\Big\{\mu_1^{II}\mu_2^{II}\Big\} \Im\big\{1/\mu_1^I\mu_2^I\big\}\big) \\ & \quad +t_2 \big(-s_{22}^{II}s_{11}^I\Im\big\{\big(\mu_1^{II}+\mu_2^{II}\big)/\mu_1^{II}\mu_2^{II}\big\} \Im\big\{\mu_1^I\mu_2^I\big\} \\ & \qquad +s_{11}^{II}s_{22}^I\Im\Big\{\mu_1^{II}\mu_2^{II}\Big\} \Im\big\{\big(\mu_1^I+\mu_2^I\big)/\mu_1^I\mu_2^I\big\}\big) \Big], \\ t_2^{II} =& \frac{2}{\det\big(\boldsymbol{B}^{II}+\overline{\boldsymbol{B}^{II}}\big)} \\ & \times \Big[ t_1 \big(s_{22}^{II}s_{11}^I\Im\big\{1/\mu_1^{II}\mu_2^{II}\big\} \Im\big\{\mu_1^I+\mu_2^I\big\} \\ & \qquad -s_{11}^{II}s_{22}^I\Im\big\{\mu_1^{II}+\mu_2^{II}\big\} \Im\big\{1/\mu_1^I\mu_2^I\big\}\big) \\ & \quad +t_2 \big(s_{22}^{II}s_{11}^I\Im\big\{1/\mu_1^{II}\mu_2^{II}\big\} \Im\big\{\mu_1^I\mu_2^I\big\} \\ & \qquad +s_{11}^{II}s_{22}^I\Im\big\{\mu_1^{II}+\mu_2^{II}\big\} \Im\big\{\big(\mu_1^I+\mu_2^I\big)/\mu_1^I\mu_2^I\big\}\big) \Big] \end{split} \end{equation}\end{split}\]

Pomocné řešení pro T-napětí u trhliny na rozhraní

Pomocné řešení pro \(T\)-napětí pro trhlinu na rozhraní má exponent \(\delta=-1\) a pro odpovídající vlastní vektory platí totožné vztahy (18)-(25) jako pro vlastní vektory standardního řešení. Postupnou aplikací těchto pomocných vektorů do algoritmu výpočtu \(\Psi\)-integrálu se vyjádří konstanta \(t_1\) u vektoru

(39)\[\boldsymbol{L}^I\boldsymbol{v}^I = [\begin{array}{ll} \mathrm{i} & 0 \end{array}]^T\]

a konstanta \(t_2\) u vektoru

(40)\[\boldsymbol{L}^I\boldsymbol{v}^I = [\begin{array}{ll} 0 & \mathrm{i} \end{array}]^T\]

standardního řešení. Na základě poznámek uvedených výše musí být tyto konstanty reálné.

Trhlina na rozhraní dvou monoklinických materiálů namáhaných čtyřbodovým ohybem a teplotním zatížením (FEniCS 2018.1.0)

Další příklad trhliny na rozhraní dvou anizotropních materiálů nabízí následující úloha. Prut (vzorek) složený ze tří vrstev anizotropních materiálů namáhaný čtyřbodovým ohybem má v nejnižší nejvíce namáhané vrstvě příčnou magistrální trhlinu, která se rozdělila do dvou marginálních trhlin šířících se podél rozhraní mezi vrstvami vzorku, viz následující obrázek.

_images/prut3v.png

Kromě mechanického zatížení je vzorek zatížený i teplotně. Při zatížení teplotou má Hookeův zákon v případě zobecněné rovinné deformace tvar

(41)\[\boldsymbol{\varepsilon}=\boldsymbol{S}\boldsymbol{\sigma}+\boldsymbol{\varepsilon}_{\Delta T},\]

kde

(42)\[\begin{split}\boldsymbol{\varepsilon}=\left[\begin{array}{l} \varepsilon_{xx} \\ \varepsilon_{yy} \\ 2\varepsilon_{xy} \end{array}\right], \quad \boldsymbol{\sigma}=\left[\begin{array}{l} \sigma_{xx} \\ \sigma_{yy} \\ \sigma_{xy} \end{array}\right], \quad \boldsymbol{\varepsilon}_{\Delta T}= \left[\begin{array}{l} \bigg(\alpha_L+\frac{\nu_{LT}\alpha_{T'}E_T}{E_L}\bigg)\Delta T \\ \big(\alpha_T+\nu_{TT'}\alpha_{T'}\big)\Delta T \\ 0 \end{array} \right],\end{split}\]
(43)\[\begin{split}\boldsymbol{S}=\left[\begin{array}{lll} \bigg(1-\frac{\nu_{LT}^2E_T}{E_L}\bigg)\frac{1}{E_L} & -\big(1+\nu_{TT'}\big)\frac{\nu_{LT}}{E_L} & 0 \\ -\big(1+\nu_{TT'}\big)\frac{\nu_{LT}}{E_L} & \big(1-\nu_{TT'}^2\big)\frac{1}{E_T} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{G_{LT}} \end{array}\right]\end{split}\]

kde \(\Delta T\), \(\alpha_L\), \(\alpha_T\) a \(\alpha_{T'}\) jsou rozdíl teplot a teplotní roztažnosti ve směrech os \(x\), \(y\) a \(z\). Pro FEniCS je nutné použít inverzní tvar výše uvedeného Hookeova zákona

(44)\[\boldsymbol{\sigma}=\boldsymbol{C}\big(\boldsymbol{\varepsilon}-\boldsymbol{\varepsilon}_{\Delta T}\big),\]

kde

(45)\[\boldsymbol{C}=\boldsymbol{S}^{-1}.\]

Slabá formulace úlohy se pak může napsat následovně

(46)\[\int_\Omega\boldsymbol{\sigma}:\delta\boldsymbol{\varepsilon}\mathrm{d}\Omega -\int_\Omega\boldsymbol{\sigma}_{\Delta T}:\delta\boldsymbol{\varepsilon}\mathrm{d}\Omega -\int_{\partial\Omega}\boldsymbol{t}\cdot\delta\boldsymbol{u}\mathrm{d}\partial\Omega=0,\]

kde

(47)\[\boldsymbol{\sigma}_{\Delta T}=\boldsymbol{C}\boldsymbol{\varepsilon}_{\Delta T}.\]

a

(48)\[\boldsymbol{t}=\boldsymbol{\sigma}\cdot\boldsymbol{n}\]

je vektor napětí, \(\boldsymbol{n}\) je vnější normála k hranici \(\delta\Omega\) a \(\boldsymbol{u}\) jsou posuvy, pro které platí

(49)\[\boldsymbol{\varepsilon}=\frac{1}{2}(\nabla\boldsymbol{u}+\boldsymbol{u}\nabla).\]

Asymptotický rozvoj napětí a posuvů před čelem trhliny

Posuvy a napětí před čelem trhliny se mohou napsat ve tvaru asymptotického rozvoje

(50)\[\begin{split}\begin{equation} \begin{split} \boldsymbol{\sigma}_1^J =& -2\Re\big\{H_\delta\boldsymbol{L}^J\boldsymbol{M}^J\boldsymbol{Z}_\delta^{\prime J} \boldsymbol{v}_\delta^J\big\} -2\Re\big\{H_{-\delta}\boldsymbol{L}^J\boldsymbol{M}^J\boldsymbol{Z}_{-\delta}^{\prime J} \boldsymbol{v}_{-\delta}^J\big\} \\ & +\boldsymbol{\sigma}_T^J-\boldsymbol{\sigma}_{\Delta T}^J, \\ \boldsymbol{\sigma}_2^J =& 2\Re\big\{H_\delta\boldsymbol{L}^J\boldsymbol{Z}_1^{\prime J}\boldsymbol{v}_\delta^J\big\} +2\Re\big\{H_{-\delta}\boldsymbol{L}^J\boldsymbol{Z}_{-\delta}^{\prime J}\boldsymbol{v}_{-\delta}^J\big\} \\ \boldsymbol{u}^J =& 2\Re\big\{H_\delta\boldsymbol{A}^J\boldsymbol{Z}_\delta^J \boldsymbol{v}_\delta^J\big\} +2\Re\big\{H_{-\delta}\boldsymbol{A}^J\boldsymbol{Z}_{-\delta}^J \boldsymbol{v}_{-\delta}^J\big\} +\boldsymbol{u}_T^J-\boldsymbol{u}_{\Delta T}^J, \end{split} \end{equation}\end{split}\]

kde

(51)\[\begin{split}\boldsymbol{\sigma}_T^J=\left[\begin{array}{l} T^J \\ 0 \end{array}\right],\quad \boldsymbol{\sigma}_{\Delta T}^J=\left[\begin{array}{l} \sigma_{\Delta Txx}^J \\ 0 \end{array}\right]\end{split}\]
(52)\[\sigma^J_{\Delta Txx}=C_{11}^J\bigg(\alpha_L^J+\frac{\nu_{LT}^J\alpha_{T'}^JE_T^J}{E_L^J}\bigg)\Delta T +C_{12}^J\big(\alpha_T^J+\nu_{TT'}^J\alpha_{T'}^J\big)\Delta T,\]
(53)\[\boldsymbol{u}_T^J=2\Re\big\{t_1^J\boldsymbol{A}^J\boldsymbol{Z}_1^J\boldsymbol{v}_1^J\big\} +2\Re\big\{t_2^J\boldsymbol{A}^J\boldsymbol{Z}_1^J\boldsymbol{v}_2^J\big\}\]
(54)\[\begin{split}\boldsymbol{u}_{\Delta T}^J= \left[\begin{array}{l} S_{11}^J\sigma_{\Delta Txx}x \\ S_{12}^J\sigma_{\Delta Txx}y \end{array}\right].\end{split}\]

Dále platí

(55)\[\begin{split}\begin{equation} \begin{split} \boldsymbol{Z}_{\pm\delta}^J =& \mathrm{diag}\Big[\big(x+\mu_1^Jy\big)^{\frac{1}{2}\pm\delta}, \big(x+\mu_2^Jy\big)^{\frac{1}{2}\pm\delta}\Big], \\ \boldsymbol{Z}_1^J =& \mathrm{diag}\Big[x+\mu_1^Jy,x+\mu_2^Jy\Big], \end{split} \end{equation}\end{split}\]

Hodnoty vlastních vektorů \(\boldsymbol{v}_{\pm\delta}^J\) se vyjádří z homogenní soustavy (9) a hodnoty vlastních vektorů \(\boldsymbol{v}_{1,2}^J\) jsou dány vztahy (18), (19), (20) a prvním vztahem z (12). \(T\)-napětí \(T^J\) jsou dány vztahy (31) a (37) a tenzor napětí \(\boldsymbol{\sigma}_{\Delta T}^J\) se složkou \(\sigma_{\Delta Txx}^J\) se vyjádří ze vztahu (47). Matice \(\boldsymbol{A}^J\), \(\boldsymbol{L}^J\) a \(\boldsymbol{M}^J\) jsou dány vztahy (2), (27).

Jestliže se přeznačí vektory \(\boldsymbol{\sigma}_T^J\) a \(\boldsymbol{\sigma}_{\Delta T}^J\) na tenzory

(56)\[\begin{split}\boldsymbol{\sigma}_T^J=\left[\begin{array}{ll} T^J & 0 \\ 0 & 0 \end{array}\right], \quad \boldsymbol{\sigma}_{\Delta T}^J=\left[\begin{array}{ll} \sigma_{\Delta Txx} & 0 \\ 0 & 0 \end{array}\right],\end{split}\]

a napětí \(\boldsymbol{\sigma}_{\pm\delta}\), \(\boldsymbol{\sigma}_{t_{1,2}}\) a posuvy \(\boldsymbol{u}_{\pm\delta}\), \(\boldsymbol{u}_{t_{1,2}}\) jako části napětí a posuvů odpovídající součinitelům intenzity napětí \(H_{\pm\delta}\) a součinitelům \(t_{1,2}\), pak se součinitele intenzity napětí \(H_{\pm\delta}\) a součinitele \(t_{1,2}\) se stanoví z \(\Psi\)-integrálu podél cesty \(C\) opisující kruhovou cestu kolem vrcholu trhliny

(57)\[H_{\pm\delta}=\frac{ \int_C\Big[\big(\boldsymbol{\sigma}^{FEM}\cdot\boldsymbol{n}\big) \cdot\hat{\boldsymbol{u}}_{\pm\delta} -\big(\hat{\boldsymbol{\sigma}}_{\pm\delta}\cdot\boldsymbol{n}\big) \cdot\boldsymbol{u}^{FEM}\Big]\mathrm{d}s }{ \int_C\Big[\big(\boldsymbol{\sigma}_{\pm\delta}\cdot\boldsymbol{n}\big) \cdot\hat{\boldsymbol{u}}_{\pm\delta} -\big(\hat{\boldsymbol{\sigma}}_{\pm\delta}\cdot\boldsymbol{n}\big) \cdot\boldsymbol{u}_{\pm\delta}\Big]\mathrm{d}s }\]
(58)\[\begin{split}\begin{equation} \begin{split} t_{1,2} =& \frac{ \int_C\Big[\Big(\big(\boldsymbol{\sigma}^{FEM}+\boldsymbol{\sigma}_{\Delta T}\big) \cdot\boldsymbol{n}\Big)\cdot\hat{\boldsymbol{u}}_{t_{1,2}} }{ \int_C\Big[\big(\boldsymbol{\sigma}_{t_{1,2}}\cdot\boldsymbol{n}\big) \cdot\hat{\boldsymbol{u}}_{t_{1,2}} -\big(\hat{\boldsymbol{\sigma}}_{t_{1,2}}\cdot\boldsymbol{n}\big) \cdot\boldsymbol{u}_{t_{1,2}}\Big]\mathrm{d}s } \\ & \frac{ -\big(\hat{\boldsymbol{\sigma}}_{t_{1,2}}\cdot\boldsymbol{n}\big) \cdot\big(\boldsymbol{u}^{FEM}+\boldsymbol{u}_{\Delta T}\big)\Big]\mathrm{d}s }{ \int_C\Big[\big(\boldsymbol{\sigma}_{t_{1,2}}\cdot\boldsymbol{n}\big) \cdot\hat{\boldsymbol{u}}_{t_{1,2}} -\big(\hat{\boldsymbol{\sigma}}_{t_{1,2}}\cdot\boldsymbol{n}\big) \cdot\boldsymbol{u}_{t_{1,2}}\Big]\mathrm{d}s } \end{split} \end{equation}\end{split}\]

kde symbol \(\hat{\square}\) značí pomocné řešení.

Použité skripty

  • bicrack1.py - pythonovský skript pro FEniCS

  • bicrack1-2_gmsh.py - pythonovský skript, který vytvoří a zkompiluje soubor bicrack1-2.geo a dále vytvoří konečnoprvkovou síť bicrack1-2.msh.

  • bicrack_2bo.py, mod_LES_Mirek3_T.py, mod_HSV_v4.py - pythonovské skripty a nutné moduly počítající exponenty singularity napětí, součinitele intenzity napětí a \(T\)-napětí na čele trhliny u mechanického a teplotního zatížení.

  • GSIFs.zip - grafy, součinitele intenzity napětí a \(T\)-napětí.

Formulace úlohy

Rozměry a materiál vzorku jsou

(59)\[a=2\ \mathrm{mm},\quad l=10\ \mathrm{mm},\]
(60)\[\begin{split}\begin{equation} \begin{split} E_L^1=809585\ \mathrm{MPa},\ &\ E_L^2=435930\ \mathrm{MPa} \\ E_T^1=74286\ \mathrm{MPa},\ &\ E_T^2=40000\ \mathrm{MPa} \\ \nu_{LT}^1=0.3,\ &\ \nu_{LT}^2=0.3 \\ \nu_{TT'}^1=0.3,\ &\ \nu_{TT'}^2=0.3 \\ G_{LT}^1=60759\ \mathrm{MPa},\ &\ G_{LT}^2=32716\ \mathrm{MPa} \\ \alpha_L^1=6.713\times 10^{-6}\ \mathrm{K^{-1}},\ &\ \alpha_L^2=-0.03006\times 10^{-6}\ \mathrm{K^{-1}} \\ \alpha_T^1=0.4718\times 10^{-6}\ \mathrm{K^{-1}},\ &\ \alpha_T^2=-0.43815\times 10^{-6}\ \mathrm{K^{-1}} \\ \alpha_{T'}^1=0.36296\times 10^{-6}\ \mathrm{K^{-1}},\ &\ \alpha_{T'}^2=-0.33704\times 10^{-6}\ \mathrm{K^{-1}} \end{split} \end{equation}\end{split}\]

Numerické výsledky

Úloha je řešena jako symetrická, přičemž jen pravá část byla modelována. Ukázka diskretizované oblasti s detaily konečnoprvkové sítě kolem kořene trhliny je na následujících třech obrázcích (kliknutím se daný obrázek zvětší).

_images/mesh1.png _images/mesh2.png _images/mesh3.png

Úloha mechanického zatížení

První úloha je pouze mechanická, kde byla aplikována síla \(F=50\ \mathrm{N}\). Rozložení posuvů a napětí v pravé části prutu je na následujících obrázcích (kliknutím se daný obrázek zvětší).

_images/posuv.png _images/sxx.png _images/sxy.png _images/syy.png

Srovnání složek posuvů a napětí konečnoprvkového řešení a analytického LES řešení včetně \(T\)-napětí podél kruhové cesty o poloměru \(r=0.01a\ \mathrm{mm}\) kolem vrcholu trhliny ukazují následující grafy. Napětí \(\Delta\sigma_{xx}\) v posledním grafu je rozdíl mezi napětím \(\sigma_{xx}\) konečnoprvkového řešení a LES singulární části analytického řešení (kliknutím se daný obrázek zvětší).

_images/Figure_1.png _images/Figure_2.png _images/Figure_3.png _images/Figure_4.png _images/Figure_5.png _images/Figure_6.png

Úloha teplotního zatížení

Druhá úloha je pouze teplotní, kde byla aplikována změna teploty \(\Delta T=100 \mathrm{^\circ C}\). Rozložení posuvů a napětí v pravé části prutu je na následujících obrázcích (kliknutím se daný obrázek zvětší).

_images/posuvT.png _images/sxxT.png _images/sxyT.png _images/syyT.png

Podobně jako v případě čistě mechanického zatížení, i v případě zatížení teplotou \(\Delta T=100\ \mathrm{^\circ C}\) je zajímavé srovnání složek posuvů a napětí konečnoprvkového řešení a analytického LES řešení včetně \(T\)-napětí podél kruhové cesty o poloměru \(r=0.01a\ \mathrm{mm}\) kolem vrcholu trhliny, které ukazují následující grafy. Napětí \(\Delta\sigma_{xx}\) v posledním grafu je rozdíl mezi napětím \(\sigma_{xx}\) konečnoprvkového řešení, napětí od teploty \(\sigma_{\Delta T}\) a LES singulární části analytického řešení, nebo-li

(61)\[\Delta\sigma_{xx}=\sigma_{xx}^{FEM}+\sigma_{\Delta Txx}-\sigma_\delta-\sigma_{-\delta}.\]

Grafy jednotlivých veličin jsou na následujících obrázcích (kliknutím se daný obrázek zvětší).

_images/Figure_1T.png _images/Figure_2T.png _images/Figure_3T.png _images/Figure_4T.png _images/Figure_5T.png _images/Figure_6T.png

Literatura