Některé nevlastní integrály

Řešení integrálu \(\int_{0}^{\infty}\frac{\sin x}{x}\mathrm{d}x\)

Primitivní funkce, tzv. integrální sinus,

(1)\[\int\frac{\sin x}{x}\mathrm{d}x=\mathrm{Si}(x),\]

je vyšší transcendentní funkcí a nelze ji vyjádřit prostřednictvím konečného počtu elementárních funkcí. Lze však vyjádřit nevlastní integrál

(2)\[\int_{0}^{\infty}\frac{\sin x}{x}\mathrm{d}x\]

s pomocí velmi chytrého postupu, který vymyslel fantastický teoretický fyzik Richard Feynman, viz Wikipedie nebo Profant.cz. Podobně jako např. u Fourierovy transformace, se integrál (2) převede na funkci \(I(p)\) parametru \(p\) následovně

(3)\[I(p)=\int_{0}^{\infty}\frac{\sin x}{x}\mathrm{e}^{-px}\mathrm{d}x\]

a zřejmě platí, že

(4)\[\int_{0}^{\infty}\frac{\sin x}{x}\mathrm{d}x=I(0).\]

Mnohem zajímavější, než samotná funkce \(I(p)\), je její derivace

(5)\[I^{\prime}(p) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}p}\int_{0}^{\infty}\frac{\sin x}{x}\mathrm{e}^{-px}\mathrm{d}x = \int_{0}^{\infty}\frac{\partial}{\partial p}\left(\frac{\sin x}{x}\mathrm{e}^{-px}\right)\mathrm{d}x = -\int_{0}^{\infty}\sin x\mathrm{e}^{-px}\mathrm{d}x.\]

Jestliže předpokládáme \(p>0\), tak přechod derivace podle \(p\) v (5) za integrační znaménko je bezproblémový, jelikož integrand je omezená spojitá funkce. Pro \(x\rightarrow0\) totiž funkce \(\sin x\) klesá k nule rychleji než \(x\) a \(\mathrm{e}^{-px}\rightarrow1\). Naopak, pro \(x\rightarrow\infty\) je funkce \(\sin x\) konečná a osciluje mezi hodnotami \(\pm1\) a výraz \(x^{-1}\mathrm{e}^{-px}\rightarrow0\). Integrál (5) se může řešit metodou per partes následovně

(6)\[\begin{split}\begin{equation} \begin{split} \int_{0}^{\infty}\sin x\mathrm{e}^{-px}\mathrm{d}x &= \left\{ \begin{array}{l} u=\sin x\Rightarrow u^{\prime}=\cos x\\ v^{\prime}=\mathrm{e}^{-px}\Rightarrow v=-p^{-1}\mathrm{e}^{-px} \end{array} \right\} \\ &= -\left[\sin x\frac{\mathrm{e}^{-px}}{p}\right]_{0}^{\infty} +\frac{1}{p}\int_{0}^{\infty}\cos x\mathrm{e}^{-px}\mathrm{d}x \\ &= \frac{1}{p}\int_{0}^{\infty}\cos x\mathrm{e}^{-px}\mathrm{d}x = \left\{ \begin{array}{l} u=\cos x\Rightarrow u^{\prime}=-\sin x\\ v^{\prime}=\mathrm{e}^{-px}\Rightarrow v=-p^{-1}\mathrm{e}^{-px} \end{array} \right\} \\ &= -\frac{1}{p}\left[\cos x\frac{\mathrm{e}^{-px}}{p}\right]_{0}^{\infty} -\frac{1}{p^{2}}\int_{0}^{\infty}\sin x\mathrm{e}^{-px}\mathrm{d}x \\ &= \frac{1}{p^{2}}-\frac{1}{p^{2}}\int_{0}^{\infty}\sin x\mathrm{e}^{-px}\mathrm{d}x, \end{split} \end{equation}\end{split}\]

odkud se dostane

(7)\[\left(1+\frac{1}{p^{2}}\right)\int_{0}^{\infty}\sin x\mathrm{e}^{-px}\mathrm{d}x =\frac{1}{p^{2}}\Rightarrow\int_{0}^{\infty}\sin x\mathrm{e}^{-px}\mathrm{d}x=\frac{1}{p^{2}+1}.\]

Takže z (5) a (7) plyne, že

(8)\[I(p)=-\int\frac{\mathrm{d}p}{p^{2}+1}+C=-\arctan p+C.\]

Integrační konstanta \(C\) se stanoví z podmínky, že na jedné straně podle (3) pro \(p\rightarrow\infty\) platí

(9)\[\lim_{p\rightarrow\infty}I(p)=\lim_{p\rightarrow\infty}\int_{0}^{\infty}\frac{\sin x}{x}\mathrm{e}^{-px}\mathrm{d}x=0\]

a na druhé straně podle (8), taktéž pro \(p\rightarrow\infty\), platí

(10)\[\lim_{p\rightarrow\infty}I(p)=-\frac{\pi}{2}+C,\]

odkud tedy plyne, že

(11)\[C=\frac{\pi}{2}.\]

A konečně z (4), (8) a (11) se může vyjádřit, že

(12)\[\int_{0}^{\infty}\frac{\sin x}{x}\mathrm{d}x=\frac{\pi}{2}.\]

Řešení integrálu \(\int_{0}^{\infty}\frac{\cos x}{x^{2}+a^{2}}\mathrm{d}x\)

Integrál

(13)\[\int_{0}^{\infty}\frac{\cos x}{x^{2}+a^{2}}\mathrm{d}x\]

jde také efektivně řešit Feynmanovou metodou. Nejdříve se zavede pomocná funkce nějakého parametru \(p\)

(14)\[I(p)=\int_{0}^{\infty}\frac{\cos px}{x^{2}+a^{2}}\mathrm{d}x.\]

Z definice této funkce plyne, že

(15)\[I(1)=\int_{0}^{\infty}\frac{\cos x}{x^{2}+a^{2}}\mathrm{d}x.\]

Derivováním (14) podle \(p\) se dostane

(16)\[I^{\prime}(p)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}p}\int_{0}^{\infty}\frac{\cos px}{x^{2}+a^{2}}\mathrm{d}x =\int_{0}^{\infty}\frac{\partial}{\partial p}\frac{\cos px}{x^{2}+a^{2}}\mathrm{d}x =-\int_{0}^{\infty}\frac{x\sin px}{x^{2}+a^{2}}\mathrm{d}x,\]

přičemž se integrál na pravé straně (16) může rozepsat následovně

(17)\[\begin{split}\begin{equation} \begin{split} -\int_{0}^{\infty}\frac{(x^{2}+a^{2}-a^{2})\sin px}{x(x^{2}+a^{2})}\mathrm{d}x &=-\int_{0}^{\infty}\frac{\sin px}{x}\mathrm{d}x +\int_{0}^{\infty}\frac{a^{2}\sin px}{x(x^{2}+a^{2})}\mathrm{d}x \\ &=-\int_{0}^{\infty}\frac{\sin px}{px}p\mathrm{d}x +a^{2}\int_{0}^{\infty}\frac{\sin px}{x(x^{2}+a^{2})}\mathrm{d}x. \end{split} \end{equation}\end{split}\]

Přechod derivace za integrační znaménko v (16) je možný díky spojitosti a konečným hodnotám integrandu. Pro \(x\rightarrow0\) je integrand roven jedné a pro \(x\rightarrow\infty\) je integrand nulový, protože \(x^{2}\) roste nade všechny meze a funkce \(\cos x\) osciluje mezi \(\pm1\). První integrál na pravé straně (17) je podle (12) roven \(\pi/2\), takže pro (16) platí

(18)\[I^{\prime}(p)=-\frac{\pi}{2}+a^{2}\int_{0}^{\infty}\frac{\sin px}{x(x^{2}+a^{2})}\mathrm{d}x.\]

a jeho derivace podle \(p\) je

(19)\[I^{\prime\prime}(p)=a^{2}\int_{0}^{\infty}\frac{x\cos px}{x(x^{2}+a^{2})}\mathrm{d}x =a^{2}\int_{0}^{\infty}\frac{\cos px}{x^{2}+a^{2}}\mathrm{d}x.\]

Srovnáním (19) a (14) se dostane obyčejná diferenciální rovnice

(20)\[I^{\prime\prime}(p)-a^{2}I(p)=0,\]

která má řešení

(21)\[I(p)=A\mathrm{e}^{ap}+B\mathrm{e}^{-ap},\]

kde A a B jsou neznámé konstanty, které se musí stanovit z okrajových podmínek odvozených z (14) a (18)

(22)\[\begin{split}\begin{equation} \begin{split} I(0) &=\int_{0}^{\infty}\frac{1}{x^{2}+a^{2}}\mathrm{d}x =\int_{0}^{\infty}\frac{1}{a^{2}[(a^{-1}x)^{2}+1]}\mathrm{d}x \\ &=\frac{1}{a}\int_{0}^{\infty}\frac{1}{(a^{-1}x)^{2}+1}\mathrm{d}(a^{-1}x) =\frac{1}{a}\int_{0}^{\infty}\frac{1}{t^{2}+1}\mathrm{d}t \\ &=\frac{1}{a}\left[\arctan t\right]_{0}^{\infty}=\frac{\pi}{2a}, \\ I^{\prime}(0) &=-\frac{\pi}{2}. \end{split} \end{equation}\end{split}\]

Z nich se dostane soustava lineárních rovnic

(23)\[\begin{split}\begin{equation} \begin{split} A+B &= \frac{\pi}{2a}, \\ A-B &= -\frac{\pi}{2a}, \end{split} \end{equation}\end{split}\]

která má řešení

(24)\[\begin{split}A &= 0, \\ B &= \frac{\pi}{2a}.\end{split}\]

Takže

(25)\[\int_{0}^{\infty}\frac{\cos px}{x^{2}+a^{2}}\mathrm{d}x=\frac{\pi}{2a}\mathrm{e}^{-ap}\]

a pro hodnotu \(p=1\) se dostane kýžený výsledek

(26)\[\int_{0}^{\infty}\frac{\cos x}{x^{2}+a^{2}}\mathrm{d}x=\frac{\pi}{2a}\mathrm{e}^{-a}.\]

Řešení integrálu \(\int_{0}^{\infty}\frac{\sin x}{x(a^{2}+x^{2})}\mathrm{d}x\)

Integrál

(27)\[\int_{0}^{\infty}\frac{\sin x}{x(a^{2}+x^{2})}\mathrm{d}x,\]

kde \(a\) je konstanta, se opět řeší Feynmanovým postupem. Zavede se pomocná funkce parametru \(p\)

(28)\[I(p)=\int_{0}^{\infty}\frac{\sin px}{x(a^{2}+x^{2})}\mathrm{d}x,\]

pro kterou očividně platí

(29)\[I(1)=\int_{0}^{\infty}\frac{\sin x}{x(a^{2}+x^{2})}\mathrm{d}x.\]

Derivací (28) podle \(p\) se dostane

(30)\[\begin{split}I^{\prime}(p) &=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}p}\int_{0}^{\infty}\frac{\sin px}{x(a^{2}+x^{2})}\mathrm{d}x =\int_{0}^{\infty}\frac{\partial}{\partial p}\frac{\sin px}{x(a^{2}+x^{2})}\mathrm{d}x \\ &=\int_{0}^{\infty}\frac{x\cos px}{x(a^{2}+x^{2})}\mathrm{d}x =\int_{0}^{\infty}\frac{\cos px}{a^{2}+x^{2}}\mathrm{d}x.\end{split}\]

Přechod derivace za integrační znaménko v (30) je možný díky spojitosti a hladkosti integrandu. Pro \(x\rightarrow0\) totiž funkce \(\sin x\) konverguje k nule nepatrně rychleji než \(x\) a pro \(x\rightarrow\infty\) roste samozřejmě jmenovatel nade všechny meze a funkce \(\sin x\) osciluje mezi konečnými hodnotami \(\pm1\). Integrál (30) se upraví a vyjádří pomocí (26) následovně

(31)\[\begin{split}I^{\prime}(p) &=p\int_{0}^{\infty}\frac{\cos px}{(pa)^{2}+(px)^{2}}\mathrm{d}(px) \\ &=p\int_{0}^{\infty}\frac{\cos t}{(pa)^{2}+t^{2}}\mathrm{d}t=\frac{\pi}{2a}\mathrm{e}^{-pa}\end{split}\]

a integrací \(I^{\prime}(p)\) se dostane

(32)\[I(p)=-\frac{\pi}{2a^{2}}\mathrm{e}^{-pa}+C.\]

Zbývá vyjádřit konstantu \(C\) pomocí (28) z podmínky

(33)\[I(0)=0\Rightarrow-\frac{\pi}{2a^{2}}+C=0\Rightarrow C=\frac{\pi}{2a^{2}}.\]

Takže podle (29), (31) a (33) platí

(34)\[\int_{0}^{\infty}\frac{\sin x}{x(a^{2}+x^{2})}\mathrm{d}x=\frac{\pi}{2a^{2}}(1-\mathrm{e}^{-a}).\]