Anizotropní pružnost - trhlina na rozhraní dvou monoklinických materiálů¶
Podobně jako v LES formalismu i v konečnoprvkovém systému FEniCS lze úspěšně využít Voigtův maticový způsob zápisu Hookeova zákona. Pro zvláštní a nejjednodušší případ anizotropních, konkrétně tzv. monoklinických, materiálů se Hookeův zákon může psát ve tvaru
kde
Symboly \(\sigma_{ij}\) a \(\varepsilon_{ij}\) pro \(i,j=x,y\) jsou složky tenzoru napětí a deformace a \(\boldsymbol{C}\) a \(\boldsymbol{S}\) jsou matice tuhosti a poddajnosti. Elastické konstanty \(E_L\) a \(E_T\) jsou Youngovy moduly v podélném a příčném směru vláken materiálu a \(\nu_{LT}\) Poissonova konstanta a \(G_{LT}\) modul pružnosti ve smyku v téže rovině. Výše uvedený tvar Hookeova zákona platí pro rovinnou napjatost. Pro zobecněnou rovinnou deformaci má matice tuhosti resp. poddajnosti tvar
Zbývá formulovat slabou formu úlohy, která se může při zanedbání objemových sil zapsat následovně,
kde
je vektor napětí, \(\boldsymbol{n}\) je vnější normála k hranici \(\delta\Omega\) a \(\boldsymbol{u}\) jsou posuvy, pro které platí
Formulace úlohy¶
Uvažujme dvourozměrnou oblast \(\Omega\) složenou za dvou monoklinických materiálů. Rozhraní obou materiálů leží podél osy \(x\), přičemž podél její záporné části se nachází trhlina. Geometrie, uložení, vnější zatížení a poloha vzhledem k počátku souřadnicového systému jsou na následujícím obrázku.

Předpokládejme, že rozměry, elastické konstanty obou materiálů a hodnoty zatížení jsou následující
Použité skripty¶
Konečnoprvkové skripty jsou platné pro FEniCS v2018.1.0.
bicrack0.py
- pythonovský skript pro FEniCSbicrack0_gmsh.py
- pythonovský skript, který vytvoří a zkompiluje souborbicrack0.geo
a dále vytvoří konečnoprvkovou síťbicrack0.msh
.ANSYS_mat1_raw_data_180_90.dat
,ANSYS_mat2_raw_data_180_90.dat
- data z ANSYSu.LES_Mirek0.py
,mod_HSV_v4.py
,mod_plot_fcn.py
- pythonovský skript a nutné moduly počítající exponenty singularity napětí a součinitele intenzity napětí na čele trhliny.
Numerické výsledky¶
Nejdříve ukázka konečnoprvkové sítě v celku a detailu kořene trhliny (kliknutím se obrázky zvětší).


Výsledkem jsou následující roztomilé barevné obrázky, které přes svou nulovou informační hodnotu dávají alespoň představu o deformaci tělesa a rozložení napětí v okolí kořene trhliny ve tvaru "motýla" (kliknutím se obrázky zvětší).




Zajímavější je srovnání výsledků získaných z FEniCSu a komerčního ANSYSu. Toto srovnání se již musí provést konkrétně, např. podél kruhové cesty kolem vrcholu trhliny na poloměru \(R_{path}=0.011a=0.001\,\mathrm{m}\), jak ukazují následující grafy (kliknutím se obrázky zvětší).




