Výuka

BKP Projekt

Má snad někdo dojem, že být Bakalářem je procházka rajskou zahradou? Zlatý voči! Je to život plný ústrků, ponižování a bezpráví, Kočka by svých devět životů za tenhle jeden mizerný nevyměnila. Jednoduše řečeno, je to život pod Psa. Více zde, teda pardon, támhle níž:

https://www.profant.cz/tomas_bkp.html#bkp.

Kinematika

  • Poznámka: Na vlastní nebezpečí, zvýšené riziko mozkové příhody.

  • Cvičení 1: Kinematika bodu, vztahy mezi kinematickými veličinami.

    • Ručně řešený příklad Př.1 lze stáhnout zde a zde.

    • Ručně řešený příklad Př.2 lze stáhnout zde, zde a zde.

    • Ručně řešený příklad Př.3 lze stáhnout zde.

    • Ručně řešený příklad Př.4 lze stáhnout zde a zde.

    • Ručně řešený příklad Př.5 lze stáhnout zde a zde.

    • Ručně řešený příklad Př.6 lze stáhnout zde a zde.

  • Cvičení 2: Kinematika bodu, střed křivost trajektorie.

    • Ručně řešený příklad Př.1 lze stáhnout zde a zde.

    • Ručně řešený příklad Př.2 lze stáhnout zde, zde, zde, zde, zde a zde.

    • Ručně řešený příklad Př.3 lze stáhnout zde a zde.

    • Ručně řešený příklad Př.4 lze stáhnout zde a zde.

    • Ručně řešený příklad Př.5 lze stáhnout zde, zde a zde.

  • Cvičení 3: Rotační pohyb tělesa.

    • Ručně řešený příklad Př.1 lze stáhnout zde.

    • Ručně řešený příklad Př.2 lze stáhnout zde.

    • Ručně řešený příklad Př.3 lze stáhnout zde.

    • Ručně řešený příklad Př.4 lze stáhnout zde a zde.

  • Cvičení 4: Obecný rovinný pohyb (ORP).

    • Ručně řešený příklad Př.1 lze stáhnout zde, zde a zde.

    • Ručně řešený příklad Př.2 lze stáhnout zde, zde a zde.

    • Ručně řešený příklad Př.3 lze stáhnout zde, zde, zde a zde.

  • Cvičení 5: Obecný rovinný pohyb (ORP).

    • Ručně řešený příklad Př.1 lze stáhnout zde, zde a zde.

    • Ručně řešený příklad Př.2 lze stáhnout zde a zde.

    • Ručně řešený příklad Př.3 lze stáhnout zde, zde a zde.

    • Ručně řešený příklad Př.4 lze stáhnout zde, zde a zde.

  • Cvičení 6: Obecný rovinný pohyb (ORP)/Složený pohyb.

    • Ručně řešený příklad Př.1 lze stáhnout zde, zde a zde.

    • Ručně řešený příklad Př.2 lze stáhnout zde, zde a zde.

    • Ručně řešený příklad Př.3 lze stáhnout zde a zde.

    • Ručně řešený příklad Př.4 lze stáhnout zde.

    • Ručně řešený příklad Př.5 lze stáhnout zde.

  • Cvičení 7: Složený pohyb.

    • Ručně řešený příklad Př.1 lze stáhnout zde, zde, zde a zde.

    • Ručně řešený příklad Př.2 lze stáhnout zde, zde, zde, zde a zde.

    • Ručně řešený příklad Př.3 lze stáhnout zde, zde, zde a zde.

  • Cvičení 8: Složený pohyb.

  • Cvičení 9: Mechanismy s vačkami.

    • Ručně řešený příklad Př.1 lze stáhnout zde, zde, zde, zde a zde.

    • Ručně řešený příklad Př.2 lze stáhnout zde, zde a zde.

    • Ručně řešený příklad Př.3 lze stáhnout zde a zde.

    • Ručně řešený příklad Př.4 lze stáhnout zde, zde a zde.

    • Ručně řešený příklad Př.5 lze stáhnout zde, zde, zde, zde, zde, zde a zde.

  • Cvičení 10: Mechanismy.

    • Ručně řešený příklad Př.1 lze stáhnout zde a zde.

    • Ručně řešený příklad Př.2 lze stáhnout zde, zde a zde.

    • Ručně řešený příklad Př.3 lze stáhnout zde, zde, zde a zde. Ukázka numerického řešení v jazyce Python zde a grafy numerického řešení zde, zde.

  • Cvičení 11: Mechanismy.

  • Cvičení 12: Současné rotace, planetové mechanismy.

    • Ručně řešený příklad Př.1 lze stáhnout zde a zde.

    • Ručně řešený příklad Př.2 lze stáhnout zde, zde a zde.

Statika

  • Cvičení 1: Síla, moment k bodu, moment k ose.

    • Ručně řešený příklad Př.1 lze stáhnout zde.

    • Ručně řešený příklad Př.2 lze stáhnout zde a zde.

    • Ručně řešený příklad Př.3 lze stáhnout zde.

    • Ručně řešený příklad Př.4 lze stáhnout zde a zde.

    • Ručně řešený příklad Př.5 lze stáhnout zde.

    • Pravidlo pravé ruky, obrázek lze stáhnout zde.

  • Cvičení 2: Silová a momentová výslednice, silová dvojice, osa silové soustavy.

    • Ručně řešený příklad Př.1 lze stáhnout zde a zde.

    • Ručně řešený příklad Př.2 lze stáhnout zde

    • Ručně řešený příklad Př.3 lze stáhnout zde.

    • Ručně řešený příklad Př.4 lze stáhnout zde a zde.

    • Ručně řešený příklad Př.5 lze stáhnout zde a zde..

    • Silová dvojice, obrázek lze stáhnout zde.

  • Cvičení 3: Osa silové soustavy, liniové zatížení, statická ekvivalence.

    • Ručně řešený příklad Př.1 lze stáhnout zde.

    • Ručně řešený příklad Př.2 lze stáhnout zde a zde.

    • Ručně řešený příklad Př.3 lze stáhnout zde.

    • Ručně řešený příklad Př.4 lze stáhnout zde a zde.

    • Ručně řešený příklad Př.5 lze stáhnout zde.

    • Liniové zatížení, obrázek lze stáhnout zde.

  • Cvičení 4: Těžiště.

    • Ručně řešený příklad Př.1 lze stáhnout zde.

    • Ručně řešený příklad Př.2 lze stáhnout zde.

    • Ručně řešený příklad Př.3 lze stáhnout zde.

    • Ručně řešený příklad Př.4 lze stáhnout zde.

    • Těžiště, obrázek lze stáhnout zde.

  • Cvičení 5: Vázané těleso.

    • Ručně řešený příklad Př.1 lze stáhnout zde, zde, zde, zde a zde.

    • Ručně řešený příklad Př.2 lze stáhnout zde, zde, zde, zde, zde a zde.

    • Ručně řešený příklad Př.3 lze stáhnout zde, zde, zde a zde.

    • Vazby, obrázek lze stáhnout zde.

  • Cvičení 6: Vázané těleso.

    • Ručně řešený příklad Př.1 lze stáhnout zde.

    • Ručně řešený příklad Př.2 lze stáhnout zde.

    • Ručně řešený příklad Př.3 lze stáhnout zde.

    • Ručně řešený příklad Př.4 lze stáhnout zde.

    • Ručně řešený příklad Př.5 lze stáhnout zde.

    • Ručně řešený příklad Př.6 lze stáhnout zde a zde.

    • Ručně řešený příklad Př.7 lze stáhnout zde a zde.

    • Silové obrazce, obrázek lze stáhnout zde.

  • Cvičení 7: Vázané těleso, soustava těles.

    • Ručně řešený příklad Př.1 lze stáhnout zde a zde.

    • Ručně řešený příklad Př.2 lze stáhnout zde.

    • Ručně řešený příklad Př.3 lze stáhnout zde a zde.

    • Soustava těles, obrázek lze stáhnout zde.

  • Cvičení 8: Soustava těles.

    • Ručně řešený příklad Př.1 lze stáhnout zde, zde, zde, zde a zde.

    • Ručně řešený příklad Př.2 lze stáhnout zde, zde a zde.

    • Ručně řešený příklad Př.3 lze stáhnout zde a zde.

    • Soustava těles, obrázek lze stáhnout zde.

  • Cvičení 9: Prutová soustava

    • Ručně řešený příklad Př.1 lze stáhnout zde, zde a zde.

    • Ručně řešený příklad Př.2 lze stáhnout zde, zde a zde.

    • Centrální silová soustava, obrázek lze stáhnout zde.

  • Cvičení 10: Pasívní účinky

    • Ručně řešený příklad Př.1 lze stáhnout zde a zde.

    • Ručně řešený příklad Př.2 lze stáhnout zde a zde.

  • Cvičení 11: Pasívní účinky

    • Ručně řešený příklad Př.1 lze stáhnout zde a zde.

    • Ručně řešený příklad Př.2 lze stáhnout zde a zde.

  • Cvičení 12: Výsledné vnitřní účinky (VVÚ)

Pružnost a pevnost I

Ukázkové příklady k procvičení jsou ve formátu *.ipynb. Jde o soubory použitelné v systému Jupyter, který si můžete stáhnout na stránkách jupyter.org pro případ Pythonu nebo otestovat na stránce juliabox.com pro případ Julie, viz také ipython.org a julialang.org.

  • Cvičení 1: VVÚ přímého prutu.

    • Příklad v jazyce Julia - Př.1. Odpovídající soubor v Jupyteru lze stáhnout zde.

    • Další podklady:

  • Cvičení 2: VVÚ zalomených prutů.

    • Příklad v jazyce Python - Př.1. Odpovídající soubor v Jupyteru lze stáhnout zde. Obrázek lze stáhnout zde.

    • Příklad v jazyce Python - Př.2. Odpovídající soubor v Jupyteru lze stáhnout zde. Obrázek lze stáhnout zde.

    • Další podklady:

  • Cvičení 3: VVÚ zakřivených prutů.

    • Příklad v jazyce Python - Př.1. Odpovídající soubor v Jupyteru lze stáhnout zde.

    • Další podklady:

  • Cvičení 4: Průřezové charakteristiky.

    • Příklady v jazyce Python - Př.1-Př.3. Odpovídající soubor v Jupyteru lze stáhnout zde. Obrázky lze stáhnout zde, zde a zde.

    • Jednoduchá ukázka v jazyce Julia - Př.4 a odpovídající soubor v Jupyteru lze stáhnout zde.

  • Cvičení 6: Prostý tah.

    • Příklad v jazyce Python - Př.1. Odpovídající soubor v Jupyteru lze stáhnout zde. Obrázky lze stáhnout zde a zde.

    • Příklad v jazyce Python - Př.2. Odpovídající soubor v Jupyteru lze stáhnout zde. Obrázky lze stáhnout zde, zde a zde.

    • Příklad v jazyce Python - Př.3. Odpovídající soubor v Jupyteru lze stáhnout zde. Obrázky lze stáhnout zde a zde.

    • Příklad v jazyce Python - Př.4. Odpovídající soubor v Jupyteru lze stáhnout zde. Obrázky lze stáhnout zde, zde a zde.

    • Příklad v jazyce Python - Př.5. Odpovídající soubor v Jupyteru lze stáhnout zde.

    • Příklad v jazyce Python - Př.6. Odpovídající soubor v Jupyteru lze stáhnout zde.

    • Numerické určení hodnot koncentrátoru napětí pomocí metody integrálních rovnic (BIE) je ukázáno zde.

    • Ručně řešený příklad Př.7 lze stáhnout zde.

    • Ručně řešený příklad Př.8 lze stáhnout zde.

  • Cvičení 7: Ohyb přímých prutů.

    • Příklad v jazyce Python - Př.1. Odpovídající soubor v Jupyteru lze stáhnout zde. Obrázky lze stáhnout zde a zde.

    • Příklad v jazyce Python - Př.2. Odpovídající soubor v Jupyteru lze stáhnout zde.

    • Ručně řešený příklad Př.3 a Př.4 lze stáhnout zde.

    • Př.5 a Př.6 - Prostý ohyb staticky určitě uložených přímých prutů: mp4, mp4, jpg, jpg, jpg, jpg

  • Cvičení 8: Ohyb zalomených prutů.

    • Příklad v jazyce Python - Př.1. Odpovídající soubor v Jupyteru lze stáhnout zde. Obrázky lze stáhnout zde a zde.

    • Příklad v jazyce Python - Př.2. Odpovídající soubor v Jupyteru lze stáhnout zde. Obrázky lze stáhnout zde, zde a zde.

    • Příklad v jazyce Python - Př.3. Odpovídající soubor v Jupyteru lze stáhnout zde. Obrázky lze stáhnout zde a zde.

    • Př.4, Př.5 a Př.6 - Prostý ohyb staticky neurčitě uložených zalomených prutů: mp4, jpg, jpg, jpg, jpg, jpg, jpg

  • Cvičení 9: Ohyb zakřivených prutů.

    • Příklad v jazyce Python - Př.1. Odpovídající soubor v Jupyteru lze stáhnout zde. Obrázky lze stáhnout zde, zde a zde.

    • Příklad v jazyce Python - Př.2. Odpovídající soubor v Jupyteru lze stáhnout zde.

    • Př.3, Př.4 a Př.5 - Prostý ohyb soustavy přímého a zakřiveného prutu: mp4, jpg, jpg, jpg, jpg, jpg

    • Př.6, Př.7 a Př.8 - Prostý ohyb staticky neurčitě uložených zakřivených prutů: mp4, jpg, jpg, jpg, jpg, jpg, jpg

    • Př.9, Př.10 and Př.11 - Prostý ohyb staticky neurčitě uložených prutů: mp4, jpg, jpg, jpg, jpg, jpg, jpg, jpg, jpg, jpg, jpg

  • Cvičení 10: Ohyb - průhybová čára.

    • Příklad v jazyce Python - Př.1. Odpovídající soubor v Jupyteru lze stáhnout zde. Obrázek lze stáhnout zde.

    • Příklad v jazyce Python - Př.2. Odpovídající soubor v Jupyteru lze stáhnout zde.

  • Cvičení 12: Prostý krut.

    • Příklad v jazyce Python - Př.1. Odpovídající soubor v Jupyteru lze stáhnout zde. Obrázky lze stáhnout zde a zde.

    • Příklad v jazyce Python - Př.2. Odpovídající soubor v Jupyteru lze stáhnout zde.

    • Krut prizmatického prutu obdélníkového průřezu - ukázka numerického výpočtu krutu pomocí metody konečných prvků. Příklad v jazyce Python - Př.3. Odpovídající soubor v Jupyteru se může stáhnout zde a k němu nutné nutné datové soubory lze stáhnout zde, zde, zde, zde a zde.

    • Ručně řešené příklady lze stáhnout zde.

  • Cvičení 13: Kombinované namáhání a vzpěr.

    • Příklad v jazyce Python - Př.1. Odpovídající soubor v Jupyteru lze stáhnout zde. Obrázek se může stáhnout zde.

    • Ručně řešený příklad Př.2 lze stáhnout zde.

    • Ručně řešený příklad Př.3 lze stáhnout zde.

    • Ručně řešený příklad Př.4 lze stáhnout zde.

Pružnost a pevnost I-K

Požadavky ke zkoušce

Uvedené body jsou orientační, mohou být modifikovány.

Test (40 bodů) - vychází se z učebního textu, který lze stáhnout zde.

  • Základní pojmy (viz str. 3) - deformace tělesa (obrázky na str. 3, 5, vztahy 2.1, 2.2, 2.3), napjatost v bodě tělesa (vše str. 7-8), Saint-Venantův princip (str. 14).

  • Obecné vlastnosti a obecné věty lineárně pružného tělesa (viz str. 23) - obrázky, vztahy a pojmy ze str. 23-24, deformační práce osamělé síly, věta o superpozici (str.25), věta o vzájemnosti prací (str 27 - vztah 3.6, slovní formulace), deformační práce silové dvojice (str. 28), věta o deformační práci silové soustavy (str. 29).

  • Základní materiálové charakteristiky, tahová a tlaková zkouška (viz str. 35) - Poissonovo číslo (vztah 4.3, 4.5), Hookeův zákon (vztah 4.4). (Přestože v testu nebude vyžadován, doporučuji se seznámit s součinitelem \(\kappa\) (vztah 4.8)).

  • Prut v pružnosti a pevnosti (viz str. 44) - předpoklady geometrické (str. 44), předpoklady zatěžovací a vazbové (str. 45), předpoklady deformační (str. 45), předpoklady napjatostní (str. 46), Schwedlerovy vztahy (vztah 5.3, 5.4, 5.5, 5.6). Součástí testu bude i několik příkladů určení VVÚ graficky u přímých staticky určitě uložených prutů.

  • Namáhání na tah a tlak (viz str. 59) - definice (str. 59), vztahy pro napětí 6.8, 6.9, posunutí v bodě \(x\) (vztah 6.10), energie napjatosti (vztah 6.11, 6.12), napjatost v šikmém řezu (str. 63-66)}.

  • Namáhání na ohyb (viz str. 91) - definice (str. 91), vztahy pro napětí a deformaci 7.13 a 7.14, definice neutrální osy a kdy nastává shoda shoda polohy neutrální osy s nositelkou ohybového momentu (str. 96), nebezpečné místo průřezu (str. 97), vztah 7.22 pro energii napjatosti, rovnice průhybové čáry a sestavení okrajových podmínek a podmínek spojitosti a hladkosti průhybové čáry na konkrétním příkladu (str. 103-106), Žuravského vzorec (vztah 7.36), hodnota \(\tau_{max}\) pro obdélníkový (kruhový) průřez, definice středu smyku (str. 122).

  • Namáhání na krut (viz str. 171) - natočení v místě \(x\) střednice prutu (vztah 8.6), napětí v bodě příčného průřezu (vztah 8.8), energie napjatosti (vztah 8.15).

  • Průřezové charakteristiky (nebudou vyžadovány u testu, viz příloha A, str. 256) - definice průřezových charakteristik (str. 257-258), základní vlastnosti kvadratických momentů (str. 259-260), Steinerovy věty (vztah 15, str. 262), tenzor kv. momentů plochy \(\boldsymbol{T}_J\) (vztah 20, str. 266), definice hlavního souřadnicového systému, definice hlavního centrálního souřadnicového systému, vztah pro vyjádření úhlu \(\varphi_I\) (vztah 21, str. 266), nakreslení Möhrovy kružnice pro \(\boldsymbol{T}_J\) pro konkrétní hodnoty \(J_y\), \(J_z\) a \(J_{yz}\) (str. 268), doporučuji si projít příklady na str. 270-280.

  • Mezní stav vzpěrné stability prutů (viz str. 188) - formou konkrétního příkladu, dále pak definice mezního stavu vzpěrné stability (str. 188), vztah pro kritickou sílu (vztah 9.29, str. 197), definice štíhlosti prutu (vztah 9.31, str. 198), její kritická hodnota (vztahy 9.32, 9.33, str. 199), Eulerova hyperbola (str. 198) pro tvárný/křehký materiál, doporučuji si projít demonstrační příklad na str. 201-202.

  • Napjatost v bodě tělesa (viz str. 203) - definice napjatosti (str. 203), obrázek str. 204, vztah mezi vektorem obecného napětí \(\boldsymbol{f}_\rho\) tenzorem napětí \(\boldsymbol{T}_\sigma\) a směrovými kosiny \(\boldsymbol{\alpha}\) (obecně/maticově/symbolicky, vztahy 10.6-10.8, str. 205), definice hlavní roviny (str. 207), definice invariantů a "invariantnosti" tenzoru napětí \(\boldsymbol{T}_{\sigma}\), definice oktaedrické roviny a napětí \(\tau_{o}\), rovinná napjatost (str. 218), prutová napjatost a prostý smyk (str. 222), klasifikace napjatosti (str. 223).

  • Mezní stav pružnosti (str. 226) - Trescovy podmínky plasticity (vztah 11.4, str. 227), zobrazení mezní křivky pro Tescovu podmínku plasticity v případě rovinné napjatosti (str. 228, dole), zobrazení Trescovy podmínky plasticity v Möhrově rovině (str. 229), Trescova podmínka plasticity pro případ prutové napjatosti (vztah 11.7, str. 229), Trescova podmínka plasticity pro případ smykové napjatosti (vztah 11.9, str. 229), definice podmínky plasticity HMH (vztah 11.13, str. 230), zobrazení mezní křivky pro HMH podmínku plasticity v případě rovinné napjatosti (str. 231, dole), zobrazení HMH podmínky plasticity v Möhrově rovině a definice Lodeho parametru \(\mu_\sigma\) (str. 232), HMH podmínka plasticity pro případ prutové napjatosti (vztah 11.17, str. 233), HMH podmínka plasticity pro případ smykové napjatosti (vztah 11.19, str. 233).

  • Mezní stav křehké pružnosti (nebude vyžadován u testu - přesto doporučuji k nastudování, od str. 237) - podmínka mezního stavu křehké pevnosti MOS (vztah 11.31, str. 237), grafické znázornění podmínky křehké pevnosti MOS v Möhrově rovině (str. 239).

  • Součástí testu může být jednoduchý příklad staticky určitě uloženého prutu s úkolem určení extrémních hodnot napětí, příp. hodnot posuvů nebo natočení v daném bodě střednice nebo styčníku.

Příklady (\(\boldsymbol{2\times30}\) bodů) - dva příklady \(1\times\) staticky neurčitě uložených prutů nebo soustavy prutů zatížených prostým tahem/tlakem, ohybem nebo krutem.

Podklady ke stažení

Pružnost a pevnost II

Podobně jako v případě příkladů z Pružnosti a pevnosti I jsou ukázkové příklady z Pružnosti a pevnosti II ve formátu *.ipynb. Jde o soubory použitelné v systému Jupyter, který si můžete stáhnout na stránkách jupyter.org. Některé vztahy pro rotačně symetrická tělesa lze nalézt zde.

  • Cvičení 1: Kombinované namáhání.

    • Příklad v jazyce Python - Př.1. Odpovídající soubor v Jupyteru lze stáhnout zde. Obrázek lze stáhnout zde.

    • Příklad v jazyce Python - Př.2. Odpovídající soubor v Jupyteru lze stáhnout zde. Obrázek lze stáhnout zde

    • Příklad v jazyce Python - Př.3. Odpovídající soubor v Jupyteru lze stáhnout a zde. Obrázek lze stáhnout zde.

    • Ručně řešený příklad Př.4 lze stáhnout zde.

    • Ručně řešený příklad Př.5 lze stáhnout zde.

    • Ručně řešený příklad Př.6 lze stáhnout zde.

    • Ručně řešený příklad Př.7 lze stáhnout zde.

  • Cvičení 2: Napětí v bodě.

    • Příklad v jazyce Python - Př.1. Odpovídající soubor v Jupyteru lze stáhnout zde.

    • Příklad v jazyce Python - Př.2. Odpovídající soubor v Jupyteru lze stáhnout zde.

    • Ručně řešený příklad Př.3 lze stáhnout zde.

    • Ručně řešený příklad Př.4 lze stáhnout zde.

    • Ručně řešený příklad Př.5 lze stáhnout zde.

    • Ručně řešený příklad Př.6 lze stáhnout zde.

    • Ručně řešený příklad Př.7 lze stáhnout zde.

    • Ručně řešený příklad Př.8 lze stáhnout zde.

    • Ručně řešený příklad Př.9 lze stáhnout zde.

    • Ručně řešený příklad Př.10 lze stáhnout zde.

    • Ručně řešený příklad Př.11 lze stáhnout zde.

    • Ručně řešený příklad Př.12 lze stáhnout zde.

  • Cvičení 3: Trhlina v prutu.

    • Příklad v jazyce Python - Př.1. Odpovídající soubor v Jupyteru lze stáhnout zde. Obrázek lze stáhnout zde.

    • Ručně řešený příklad Př.2 lze stáhnout zde.

    • Ručně řešený příklad Př.3 lze stáhnout zde.

    • Ručně řešený příklad Př.4 lze stáhnout zde.

    • Ručně řešený příklad Př.5 lze stáhnout zde.

  • Cvičení 4: Cyklické zatěžování prutu.

    • Kratičký úvod lze stáhnout zde.

    • Ručně řešený příklad Př.1 lze stáhnout zde.

    • Ručně řešený příklad Př.2 lze stáhnout zde.

    • Ručně řešený příklad Př.3 lze stáhnout zde.

    • Ručně řešený příklad Př.4 lze stáhnout zde.

    • Ručně řešený příklad Př.5 lze stáhnout zde.

    • Ručně řešený příklad Př.6 lze stáhnout zde.

    • Ručně řešený příklad Př.7 lze stáhnout zde.

    • Ručně řešený příklad Př.8 lze stáhnout zde.

    • Ručně řešený příklad Př.9 lze stáhnout zde.

    • Ručně řešený příklad Př.10 lze stáhnout zde.

    • Ručně řešený příklad Př.11 lze stáhnout zde.

    • Ručně řešený příklad Př.12 lze stáhnout zde.

  • Cvičení 5: Válcové těleso.

    • Ručně řešený příklad Př.1 lze stáhnout zde.

    • Ručně řešený příklad Př.2 lze stáhnout zde.

    • Ručně řešený příklad Př.3 lze stáhnout zde.

    • Ručně řešený příklad Př.4 lze stáhnout zde.

    • Ručně řešený příklad Př.5 lze stáhnout zde.

    • Ručně řešený příklad Př.6 lze stáhnout zde.

    • Ručně řešený příklad Př.7 lze stáhnout zde.

  • Cvičení 6: Rotující stěna.

    • Příklad v jazyce Python - Př.1. Odpovídající soubor v Jupyteru lze stáhnout zde. Obrázek lze stáhnout zde.

    • Příklad v jazyce Python - Př.2. Odpovídající soubor v Jupyteru lze stáhnout zde. Obrázek lze stáhnout zde.

  • Cvičení 7: Průhyb rotačně symetrické desky.

    • Příklad v jazyce Python - Př.1. Odpovídající soubor v Jupyteru lze stáhnout zde. Obrázky lze stáhnout zde a zde.

    • Ručně řešený příklad Př.2 lze stáhnout zde.

    • Ručně řešený příklad Př.3 lze stáhnout zde.

    • Ručně řešený příklad Př.4 lze stáhnout zde.

    • Ručně řešený příklad Př.5 lze stáhnout zde.

    • Ručně řešený příklad Př.6 lze stáhnout zde.

    • Ručně řešený příklad Př.7 lze stáhnout zde.

  • Cvičení 8: Dlouhá válcová skořepina.

    • Příklad v jazyce Python - Př.1. Odpovídající soubor v Jupyteru lze stáhnout zde. Obrázky lze stáhnout zde a zde.

    • Ručně řešený příklad Př.2 lze stáhnout zde.

    • Ručně řešený příklad Př.3 lze stáhnout zde.

    • Ručně řešený příklad Př.4 lze stáhnout zde.

  • Cvičení 9: Složená tělesa.

    • Příklad v jazyce Python - Př.1. Odpovídající soubor v Jupyteru lze stáhnout zde. Obrázky lze stáhnout zde a zde.

    • Příklad v jazyce Python - Př.2. Odpovídající soubor v Jupyteru lze stáhnout zde. Obrázek lze stáhnout zde.

    • Ručně řešený příklad Př.3 lze stáhnout zde.

    • Ručně řešený příklad Př.4 lze stáhnout zde.

  • Cvičení 10: Bezmomentová skořepina.

    • Příklad v jazyce Python - Př.1. Odpovídající soubor v Jupyteru lze stáhnout zde. Obrázek lze stáhnout zde.

    • Příklad v jazyce Python - Př.2. Odpovídající soubor v Jupyteru lze stáhnout zde. Obrázky lze stáhnout zde a zde.

    • Ručně řešený příklad Př.3 lze stáhnout zde.

    • Ručně řešený příklad Př.4 lze stáhnout zde.

  • Cvičení 11: Metoda konečných prvků v PPI a PPII.

    • Případ krutu prizmatického prutu s nekruhovým příčným průřezem počítaný v konečnoprvkovém systému FreeFEM++ si lze prohlédnout zde.

    • Případ eliptické tenké desky (membrány) se smíšenými okrajovými podmínkami počítaný v konečnoprvkovém systému FreeFEM++ si lze prohlédnout zde.

    • Případ prostého ohybu bi-materiálového prutu zatíženého změnou teploty počítaný v konečnoprvkovém systému FreeFEM++ si lze prohlédnout zde.

Continuum Mechanics

Introduction

  • Review of Equations of Mechanics: kinetics, kinematics, thermodynamic principles, constitutive equations, boundary-value problems of mechanics, equations for bar, beams, torsion and plane elasticity.

  • Bars and Beams: theory and applications.

  • Axisymmetric plates: theory and applications.

  • Isotropic Plane Elasticity: Muskhelishvili's complex potentials, application to fracture mechanics.

  • Anisotropic Plane Elasticity: LES formalism, application to fracture mechanics.

  • Energy and Variational Principles: virtual work and energy principles, Hamilton's principle, energy theorems of structural mechanics, Castigliano's theorems, Betti's and Maxwell's theorems.

  • Variational Methods: Ritz's method, Galerkin's method, FEM.

References

Lecture 1

Kinetics - The Stress at a Point

Forces acting on a body can be classified as internal and external. The internal forces resist the tendency of one part of the body to be separated from another part. The external bodies are those transmitted by the body. The external forces can be classified as body forces and surface forces. Body forces act on the distribution of mass inside the body. Examples of body forces are provided by the gravitational and magnetic forces. Body forces are usually measured per unit mass or unit volume of the body. Surface forces are contact forces acting on the boundary surface body. Example of surface forces are provided by applied forces on the surface of the body. Surface forces are reckoned per unit area.

Consider a body occupying the volume \(V\) and bounded by surface \(S\). The surface force per unit area acting on an elemental area \(dS\) is called the traction or stress vector acting on the element. Consider the surface force \(\boldsymbol{f}\) acting on a small portion \(\Delta S\) of the surface surface area \(S\) of the body. The stress vector at a point \(P\) on \(\Delta S\) is defined by

(1)\[\boldsymbol{t}=\lim_{\Delta S\rightarrow0}\frac{\boldsymbol{f}}{\Delta S}.\]

Since the magnitude and direction depend on the orientation of the plane that created the surface, we denote it by \(\boldsymbol{t}^{(\boldsymbol{n})}\), where \(\boldsymbol{n}\) denotes the normal to the plane. The component of \(\boldsymbol{t}\) that is in the direction of \(\boldsymbol{n}\) is called the normal stress. The component of \(\boldsymbol{t}\) that is normal to \(\boldsymbol{n}\) is called shear stress. Let \(\boldsymbol{t}^{(i)}\) denote the stress vector at point \(P\) on a plane perpendicular to \(x_{i}\)-axis, then

(2)\[\boldsymbol{t}^{(i)}=\sigma_{ij}\boldsymbol{e}_{j}\quad(i,j=1,2,3),\]

where \(\sigma_{ij}\) denotes the component of stress vector \(\boldsymbol{t}^{(i)}\) along the \(x_{j}\)-direction. The state of stress at a point is characterized, in general, by nine components of stress \(\sigma_{ij}\).

The relationship between the stress vector \(\boldsymbol{t}^{(n)}\) acting on a plane given by normal \(\boldsymbol{n}\) and the stress vectors on three planes perpendicular to the coordinate axes \(x_{j}\) is called the Cauchy stress formula

(3)\[t_{j}^{(\boldsymbol{n})}=n_{i}\sigma_{ij},\]

which can be written in matrix form as

(4)\[\begin{split}\left[\begin{array}{c} t_{1}^{(\boldsymbol{n})}\\ t_{2}^{(\boldsymbol{n})}\\ t_{3}^{(\boldsymbol{n})} \end{array}\right] =\left[\begin{array}{ccc} \sigma_{11} & \sigma_{12} & \sigma_{13}\\ \sigma_{21} & \sigma_{22} & \sigma_{23}\\ \sigma_{31} & \sigma_{32} & \sigma_{33} \end{array}\right]^{T} \left[\begin{array}{c} n_{1}\\ n_{2}\\ n_{3} \end{array}\right],\end{split}\]

where \([\cdot]^{T}\) denotes the transpose of the matrix. The normal and shearing components of the stress vector \(\boldsymbol{t}^{(\boldsymbol{n})}\) are given by

(5)\[\begin{split}t_{N}&=\boldsymbol{t}^{(\boldsymbol{n})}\cdot\boldsymbol{n}=\sigma_{ij}n_{i}n_{j}, \\ t_{S}&=\sqrt{\left|\boldsymbol{t}^{(\boldsymbol{n})}\right|^{2}-t_{N}^{2}}.\end{split}\]

When the components of stress are known in one coordinate system, it is of interest to determine the components of stress in another coordinate system. The relationship between the components of stress tensor in one coordinate system and the components in another coordinate system is known as the transormation of stress. Such transformations are useful in determining the maximum values of normal and shear stresses and the planes on which they act. Consider two sets of orthogonal coordinate systems \((x_1,x_2,x_3)\) and \((x_1^\prime,x_2^\prime,x_3^\prime)\). Let \((\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{e}_3)\) and \((\boldsymbol{e}_1^\prime,\boldsymbol{e}_2^\prime,\boldsymbol{e}_3^\prime)\) denote the sets of basis vectors in the two coordinate systems. Suppose that the two coordinate systems are related by the transformation equation

(6)\[\boldsymbol{e}_i^\prime=a_{ij}\boldsymbol{e}_j,\]

where \(a_{ij}\) denote the directions cosines

(7)\[a_{ij}=\boldsymbol{e}_i^\prime\cdot\boldsymbol{e}_j.\]

We note that the stress dyadic

(8)\[\boldsymbol{\sigma}=\boldsymbol{e}_i\sigma_{ij}\boldsymbol{e}_j\]

at a point is invariant, that is does not depend on the coordinate system. However, the components do depend on the coordinate system. We have

(9)\[\begin{split}\boldsymbol{\sigma}&=\sigma_{ij}\boldsymbol{e}_i\boldsymbol{e}_j \\ &=\sigma_{ij}^\prime\boldsymbol{e}_i^\prime\boldsymbol{e}_j^\prime\end{split}\]

and

(10)\[(\sigma_{ij}-\sigma_{kl}^\prime a_{ki}a_{lj})\boldsymbol{e}_i\boldsymbol{e}_j=0.\]

From which follows

(11)\[\sigma_{ij}=\sigma_{kl}^\prime a_{ki}a_{lj}.\]

The question of finding the maximum and minimum normal stresses, called principal stresses, at a point is the considerable interest. The maximum normal stress at a point acts in a plane on which the shear stress is zero and consequently

(12)\[\boldsymbol{t}^{(\boldsymbol{n})}=\lambda\boldsymbol{n},\]

where \(\lambda\) denotes the magnitude of the normal stress and \(\boldsymbol{n}\) denotes the unit normal to the plane on which the maximum stress is acting. This formula can also be written as

(13)\[\boldsymbol{t}^{(\boldsymbol{n})}=\boldsymbol{\sigma}\cdot\boldsymbol{n}.\]

Equating these two equations, we obtain

(14)\[\boldsymbol{\sigma}\cdot\boldsymbol{n}-\lambda\boldsymbol{n}=0\]

or in component form

(15)\[(\sigma_{ij}-\lambda\delta_{ij})n_j=0,\]

where \(\delta_{ij}\) is a Kronecker delta

(16)\[\begin{split}\delta_{ij}=\left\{\begin{array}{c} 0\quad\mathrm{for}\ i\neq j,\\ 1\quad\mathrm{for}\ i=j. \end{array} \right. .\end{split}\]

Equation (15) has a nontrivial solution (\(n_i\neq 0,i=1,2,3\)) only if the determinant of the coefficient matrix is zero

(17)\[\begin{split}\left|\begin{array}{ccc} \sigma_{11}-\lambda & \sigma_{12} & \sigma_{13}\\ \sigma_{21} & \sigma_{22}-\lambda & \sigma_{23}\\ \sigma_{31} & \sigma_{32} & \sigma_{33}-\lambda\\ \end{array} \right|=0.\end{split}\]

The determinant leads to the polynomial called characteristic and the three values of \(\lambda\) are called characteristic values or eigenvalues and associated (unit) normal vectors \(\boldsymbol{n}\) are called characteristic vectors or eigenvectors. The characteristic polynomial (17) is of the form

(18)\[-\lambda^3+I_1\lambda^2-I_2\lambda+I_3=0,\]

where \(I_1\), \(I_2\) and \(I_3\) are stress invariants defined as

(19)\[\begin{split}I_1 &= \sigma_{ii}=\sigma_{11}+\sigma_{22}+\sigma_{33}, \\ I_2 &= \frac{1}{2}(\sigma_{ii}\sigma_{jj}-\sigma_{ij}\sigma_{ji} \\ &= \sigma_{11}\sigma_{22}+\sigma_{22}\sigma_{33}+\sigma_{33}\sigma_{11}-(\sigma_{12}^2+\sigma_{13}^2+\sigma_{23}^2), \\ I_3 &=\det[\boldsymbol{\sigma}]=|\sigma_{ij}|.\end{split}\]

For symmetric tress dyadic math:boldsymbol{sigma}, i.e. :math:sigma_{ij}=sigma_{ji}`, the eigenvalues are real.

The equation of motion for solids can be derived from the principle of of conservation of linear momentum, which says that the time rate of change of the total momentum of a given body equals the vector sum of all the external forces acting on the body and provides the Newton's third law of action and reaction governs the internal forces. The momentum of the elemental volume \(dV\) is \((\mathrm{mass}\times\mathrm{velocity})=(\rho dV)\partial\boldsymbol{u}/\partial t\). The total momentum is given by

(20)\[\int_V \rho\frac{\partial\boldsymbol{u}}{\partial t}dV.\]

The time rate of the momentum is

(21)\[\frac{d}{dt}\int_V \rho\frac{\partial\boldsymbol{u}}{\partial t}dV= \int_V\frac{d}{dt}(\rho dV)\frac{\partial\boldsymbol{u}}{\partial t} +\int_V\rho\frac{\partial^2\boldsymbol{u}}{\partial t^2}dV,\]

where \(d/dt\) denotes the total (material) time derivative. The first integral on the right-hand side is equal to zero because of the principle of conservation of mass of a given material

(22)\[\frac{d}{dt}(\rho dV)=0.\]

The momentum principle can now be expressed as

(23)\[\int_V\rho\frac{\partial^2\boldsymbol{u}}{\partial t^2}dV=\int_V\boldsymbol{f}dV -\int_S\boldsymbol{t}dS.\]

Using equation (13), the stress vector \(\boldsymbol{t}\) can be expressed in terms of the stress tensor (dyadic) \(\boldsymbol{\sigma}\) and unit normal \(\boldsymbol{n}\). We obtain

(24)\[\int_V\rho\frac{\partial^2\boldsymbol{u}}{\partial t^2}dV -\int_V\boldsymbol{f}dV -\int_S\boldsymbol{\sigma}\cdot\boldsymbol{n}dS=0\]

Using the divergence theorem, the surface integral can be converted to a volume integral

(25)\[-\int_V\left(\Delta\cdot\boldsymbol{\sigma}+\boldsymbol{f} -\frac{\partial^2\boldsymbol{u}}{\partial t^2}dV\right)dV=0.\]

The equation should hold for arbitrary region \(V\). This implies that the integrand of the left-hand side of (25) should be identically equal to zero. This gives the vector from of the equation of motion

(26)\[\Delta\cdot\boldsymbol{\sigma}+\boldsymbol{f} =\frac{\partial^2\boldsymbol{u}}{\partial t^2}.\]

In a rectangular cartesian coordinate system, this equation takes the form

(27)\[\frac{\partial\sigma_{ij}}{\partial x_j}+f_i=\rho\frac{\partial^2u_i}{\partial t^2}.\]

The equation of equilibrium are obtained by setting the right-hand side of (25) equal to zero

(28)\[\Delta\cdot\boldsymbol{\sigma}+\boldsymbol{f}=\boldsymbol{0}.\]

When a body is not subjected to distributed couples (i.e., volume-dependent couples are not present), one can establish the symmetry of the stress tensor using the Newton's second law for moments or using the principle of moment of momentum. Both methods give the result

(29)\[\epsilon_{ijk}\sigma_{ij}=0\quad\mathrm{for}\ k=1,2,3,\]

where \(\epsilon_{ijk}\) is the permutation symbol

(30)\[\begin{split}\epsilon_{ijk}=\left\{\begin{array}{cl} 1 & \mathrm{if}\ ijk\ \mathrm{are}\ \mathrm{in}\ \mathrm{cyclic}\ \mathrm{order}\\ & \mathrm{and}\ \mathrm{are}\ \mathrm{no}\ \mathrm{repeated}\ (i\neq j\neq k), \end{array}\right.\end{split}\]