Výuka

BKP Projekt

Má snad někdo dojem, že být Bakalářem je procházka rajskou zahradou? Zlatý voči! Je to život plný ústrků, ponižování a bezpráví, Kočka by svých devět životů za tenhle jeden mizerný nevyměnila. Jednoduše řečeno, je to život pod Psa. Více zde, teda pardon, támhle níž:

https://www.profant.cz/tomas_bkp.html#bkp.

Kinematika

  • Poznámka: Na vlastní nebezpečí, zvýšené riziko mozkové příhody.
  • Cvičení 1: Kinematika bodu, vztahy mezi kinematickými veličinami.
    • Ručně řešený příklad Př.1 lze stáhnout zde a zde.
    • Ručně řešený příklad Př.2 lze stáhnout zde, zde a zde.
    • Ručně řešený příklad Př.3 lze stáhnout zde.
    • Ručně řešený příklad Př.4 lze stáhnout zde a zde.
    • Ručně řešený příklad Př.5 lze stáhnout zde a zde.
    • Ručně řešený příklad Př.6 lze stáhnout zde a zde.
  • Cvičení 2: Kinematika bodu, střed křivost trajektorie.
    • Ručně řešený příklad Př.1 lze stáhnout zde a zde.
    • Ručně řešený příklad Př.2 lze stáhnout zde, zde, zde, zde, zde a zde.
    • Ručně řešený příklad Př.3 lze stáhnout zde a zde.
    • Ručně řešený příklad Př.4 lze stáhnout zde a zde.
    • Ručně řešený příklad Př.5 lze stáhnout zde, zde a zde.
  • Cvičení 3: Rotační pohyb tělesa.
    • Ručně řešený příklad Př.1 lze stáhnout zde.
    • Ručně řešený příklad Př.2 lze stáhnout zde.
    • Ručně řešený příklad Př.3 lze stáhnout zde.
    • Ručně řešený příklad Př.4 lze stáhnout zde a zde.
  • Cvičení 4: Obecný rovinný pohyb (ORP).
    • Ručně řešený příklad Př.1 lze stáhnout zde, zde a zde.
    • Ručně řešený příklad Př.2 lze stáhnout zde, zde a zde.
    • Ručně řešený příklad Př.3 lze stáhnout zde, zde, zde a zde.
  • Cvičení 5: Obecný rovinný pohyb (ORP).
    • Ručně řešený příklad Př.1 lze stáhnout zde, zde a zde.
    • Ručně řešený příklad Př.2 lze stáhnout zde a zde.
    • Ručně řešený příklad Př.3 lze stáhnout zde, zde a zde.
    • Ručně řešený příklad Př.4 lze stáhnout zde, zde a zde.
  • Cvičení 6: Obecný rovinný pohyb (ORP)/Složený pohyb.
    • Ručně řešený příklad Př.1 lze stáhnout zde, zde a zde.
    • Ručně řešený příklad Př.2 lze stáhnout zde, zde a zde.
    • Ručně řešený příklad Př.3 lze stáhnout zde a zde.
    • Ručně řešený příklad Př.4 lze stáhnout zde.
    • Ručně řešený příklad Př.5 lze stáhnout zde.
  • Cvičení 7: Složený pohyb.
    • Ručně řešený příklad Př.1 lze stáhnout zde, zde, zde a zde.
    • Ručně řešený příklad Př.2 lze stáhnout zde, zde, zde, zde a zde.
    • Ručně řešený příklad Př.3 lze stáhnout zde, zde, zde a zde.
  • Cvičení 8: Složený pohyb.
  • Cvičení 9: Mechanismy s vačkami.
    • Ručně řešený příklad Př.1 lze stáhnout zde, zde, zde, zde a zde.
    • Ručně řešený příklad Př.2 lze stáhnout zde, zde a zde.
    • Ručně řešený příklad Př.3 lze stáhnout zde a zde.
    • Ručně řešený příklad Př.4 lze stáhnout zde, zde a zde.
    • Ručně řešený příklad Př.5 lze stáhnout zde, zde, zde, zde, zde, zde a zde.
  • Cvičení 10: Mechanismy.
    • Ručně řešený příklad Př.1 lze stáhnout zde a zde.
    • Ručně řešený příklad Př.2 lze stáhnout zde, zde a zde.
    • Ručně řešený příklad Př.3 lze stáhnout zde, zde, zde a zde. Ukázka numerického řešení v jazyce Python zde a grafy numerického řešení zde, zde.
  • Cvičení 11: Mechanismy.
  • Cvičení 12: Současné rotace, planetové mechanismy.
    • Ručně řešený příklad Př.1 lze stáhnout zde a zde.
    • Ručně řešený příklad Př.2 lze stáhnout zde, zde a zde.

Statika

  • Cvičení 1: Síla, moment k bodu, moment k ose.
    • Ručně řešený příklad Př.1 lze stáhnout zde.
    • Ručně řešený příklad Př.2 lze stáhnout zde a zde.
    • Ručně řešený příklad Př.3 lze stáhnout zde.
    • Ručně řešený příklad Př.4 lze stáhnout zde a zde.
    • Ručně řešený příklad Př.5 lze stáhnout zde.
    • Pravidlo pravé ruky, obrázek lze stáhnout zde.
  • Cvičení 2: Silová a momentová výslednice, silová dvojice, osa silové soustavy.
    • Ručně řešený příklad Př.1 lze stáhnout zde a zde.
    • Ručně řešený příklad Př.2 lze stáhnout zde
    • Ručně řešený příklad Př.3 lze stáhnout zde.
    • Ručně řešený příklad Př.4 lze stáhnout zde a zde.
    • Ručně řešený příklad Př.5 lze stáhnout zde a zde..
    • Silová dvojice, obrázek lze stáhnout zde.
  • Cvičení 3: Osa silové soustavy, liniové zatížení, statická ekvivalence.
    • Ručně řešený příklad Př.1 lze stáhnout zde.
    • Ručně řešený příklad Př.2 lze stáhnout zde a zde.
    • Ručně řešený příklad Př.3 lze stáhnout zde.
    • Ručně řešený příklad Př.4 lze stáhnout zde a zde.
    • Ručně řešený příklad Př.5 lze stáhnout zde.
    • Liniové zatížení, obrázek lze stáhnout zde.
  • Cvičení 4: Těžiště.
    • Ručně řešený příklad Př.1 lze stáhnout zde.
    • Ručně řešený příklad Př.2 lze stáhnout zde.
    • Ručně řešený příklad Př.3 lze stáhnout zde.
    • Ručně řešený příklad Př.4 lze stáhnout zde.
    • Těžiště, obrázek lze stáhnout zde.
  • Cvičení 5: Vázané těleso.
    • Ručně řešený příklad Př.1 lze stáhnout zde, zde, zde, zde a zde.
    • Ručně řešený příklad Př.2 lze stáhnout zde, zde, zde, zde, zde a zde.
    • Ručně řešený příklad Př.3 lze stáhnout zde, zde, zde a zde.
    • Vazby, obrázek lze stáhnout zde.
  • Cvičení 6: Vázané těleso.
    • Ručně řešený příklad Př.1 lze stáhnout zde.
    • Ručně řešený příklad Př.2 lze stáhnout zde.
    • Ručně řešený příklad Př.3 lze stáhnout zde.
    • Ručně řešený příklad Př.4 lze stáhnout zde.
    • Ručně řešený příklad Př.5 lze stáhnout zde.
    • Ručně řešený příklad Př.6 lze stáhnout zde a zde.
    • Ručně řešený příklad Př.7 lze stáhnout zde a zde.
    • Silové obrazce, obrázek lze stáhnout zde.
  • Cvičení 7: Vázané těleso, soustava těles.
    • Ručně řešený příklad Př.1 lze stáhnout zde a zde.
    • Ručně řešený příklad Př.2 lze stáhnout zde.
    • Ručně řešený příklad Př.3 lze stáhnout zde a zde.
    • Soustava těles, obrázek lze stáhnout zde.
  • Cvičení 8: Soustava těles.
    • Ručně řešený příklad Př.1 lze stáhnout zde, zde, zde, zde a zde.
    • Ručně řešený příklad Př.2 lze stáhnout zde, zde a zde.
    • Ručně řešený příklad Př.3 lze stáhnout zde a zde.
    • Soustava těles, obrázek lze stáhnout zde.
  • Cvičení 9: Prutová soustava
    • Ručně řešený příklad Př.1 lze stáhnout zde, zde a zde.
    • Ručně řešený příklad Př.2 lze stáhnout zde, zde a zde.
    • Centrální silová soustava, obrázek lze stáhnout zde.
  • Cvičení 10: Pasívní účinky
    • Ručně řešený příklad Př.1 lze stáhnout zde a zde.
    • Ručně řešený příklad Př.2 lze stáhnout zde a zde.
  • Cvičení 11: Pasívní účinky
    • Ručně řešený příklad Př.1 lze stáhnout zde a zde.
    • Ručně řešený příklad Př.2 lze stáhnout zde a zde.
  • Cvičení 12: Výsledné vnitřní účinky (VVÚ)

Pružnost a pevnost I

Ukázkové příklady k procvičení jsou ve formátu *.ipynb. Jde o soubory použitelné v systému Jupyter, který si můžete stáhnout na stránkách jupyter.org pro případ Pythonu nebo otestovat na stránce juliabox.com pro případ Julie, viz také ipython.org a julialang.org.

  • Cvičení 1: VVÚ přímého prutu.
    • Příklad v jazyce Julia - Př.1. Odpovídající soubor v Jupyteru lze stáhnout zde.
    • Další podklady:
  • Cvičení 2: VVÚ zalomených prutů.
    • Příklad v jazyce Python - Př.1. Odpovídající soubor v Jupyteru lze stáhnout zde. Obrázek lze stáhnout zde.
    • Příklad v jazyce Python - Př.2. Odpovídající soubor v Jupyteru lze stáhnout zde. Obrázek lze stáhnout zde.
    • Další podklady:
  • Cvičení 3: VVÚ zakřivených prutů.
    • Příklad v jazyce Python - Př.1. Odpovídající soubor v Jupyteru lze stáhnout zde.
    • Další podklady:
  • Cvičení 4: Průřezové charakteristiky.
    • Příklady v jazyce Python - Př.1-Př.3. Odpovídající soubor v Jupyteru lze stáhnout zde. Obrázky lze stáhnout zde, zde a zde.
    • Jednoduchá ukázka v jazyce Julia - Př.4 a odpovídající soubor v Jupyteru lze stáhnout zde.
  • Cvičení 6: Prostý tah.
    • Příklad v jazyce Python - Př.1. Odpovídající soubor v Jupyteru lze stáhnout zde. Obrázky lze stáhnout zde a zde.
    • Příklad v jazyce Python - Př.2. Odpovídající soubor v Jupyteru lze stáhnout zde. Obrázky lze stáhnout zde, zde a zde.
    • Příklad v jazyce Python - Př.3. Odpovídající soubor v Jupyteru lze stáhnout zde. Obrázky lze stáhnout zde a zde.
    • Příklad v jazyce Python - Př.4. Odpovídající soubor v Jupyteru lze stáhnout zde. Obrázky lze stáhnout zde, zde a zde.
    • Příklad v jazyce Python - Př.5. Odpovídající soubor v Jupyteru lze stáhnout zde.
    • Příklad v jazyce Python - Př.6. Odpovídající soubor v Jupyteru lze stáhnout zde.
    • Numerické určení hodnot koncentrátoru napětí pomocí metody integrálních rovnic (BIE) je ukázáno zde.
    • Ručně řešený příklad Př.7 lze stáhnout zde.
    • Ručně řešený příklad Př.8 lze stáhnout zde.
  • Cvičení 7: Ohyb přímých prutů.
    • Příklad v jazyce Python - Př.1. Odpovídající soubor v Jupyteru lze stáhnout zde. Obrázky lze stáhnout zde a zde.
    • Příklad v jazyce Python - Př.2. Odpovídající soubor v Jupyteru lze stáhnout zde.
    • Ručně řešený příklad Př.3 a Př.4 lze stáhnout zde.
    • Př.5 a Př.6 - Prostý ohyb staticky určitě uložených přímých prutů: mp4, mp4, jpg, jpg, jpg, jpg
  • Cvičení 8: Ohyb zalomených prutů.
    • Příklad v jazyce Python - Př.1. Odpovídající soubor v Jupyteru lze stáhnout zde. Obrázky lze stáhnout zde a zde.
    • Příklad v jazyce Python - Př.2. Odpovídající soubor v Jupyteru lze stáhnout zde. Obrázky lze stáhnout zde, zde a zde.
    • Příklad v jazyce Python - Př.3. Odpovídající soubor v Jupyteru lze stáhnout zde. Obrázky lze stáhnout zde a zde.
    • Př.4, Př.5 a Př.6 - Prostý ohyb staticky neurčitě uložených zalomených prutů: mp4, jpg, jpg, jpg, jpg, jpg, jpg
  • Cvičení 9: Ohyb zakřivených prutů.
    • Příklad v jazyce Python - Př.1. Odpovídající soubor v Jupyteru lze stáhnout zde. Obrázky lze stáhnout zde, zde a zde.
    • Příklad v jazyce Python - Př.2. Odpovídající soubor v Jupyteru lze stáhnout zde.
    • Př.3, Př.4 a Př.5 - Prostý ohyb soustavy přímého a zakřiveného prutu: mp4, jpg, jpg, jpg, jpg, jpg
    • Př.6, Př.7 a Př.8 - Prostý ohyb staticky neurčitě uložených zakřivených prutů: mp4, jpg, jpg, jpg, jpg, jpg, jpg
    • Př.9, Př.10 and Př.11 - Prostý ohyb staticky neurčitě uložených prutů: mp4, jpg, jpg, jpg, jpg, jpg, jpg, jpg, jpg, jpg, jpg
  • Cvičení 10: Ohyb - průhybová čára.
    • Příklad v jazyce Python - Př.1. Odpovídající soubor v Jupyteru lze stáhnout zde. Obrázek lze stáhnout zde.
    • Příklad v jazyce Python - Př.2. Odpovídající soubor v Jupyteru lze stáhnout zde.
  • Cvičení 12: Prostý krut.
    • Příklad v jazyce Python - Př.1. Odpovídající soubor v Jupyteru lze stáhnout zde. Obrázky lze stáhnout zde a zde.
    • Příklad v jazyce Python - Př.2. Odpovídající soubor v Jupyteru lze stáhnout zde.
    • Krut prizmatického prutu obdélníkového průřezu - ukázka numerického výpočtu krutu pomocí metody konečných prvků. Příklad v jazyce Python - Př.3. Odpovídající soubor v Jupyteru se může stáhnout zde a k němu nutné nutné datové soubory lze stáhnout zde, zde, zde, zde a zde.
    • Ručně řešené příklady lze stáhnout zde.
  • Cvičení 13: Kombinované namáhání a vzpěr.
    • Příklad v jazyce Python - Př.1. Odpovídající soubor v Jupyteru lze stáhnout zde. Obrázek se může stáhnout zde.
    • Ručně řešený příklad Př.2 lze stáhnout zde.
    • Ručně řešený příklad Př.3 lze stáhnout zde.
    • Ručně řešený příklad Př.4 lze stáhnout zde.

Pružnost a pevnost I-K

Požadavky ke zkoušce

Uvedené body jsou orientační, mohou být modifikovány.

Test (40 bodů) - vychází se z učebního textu, který lze stáhnout zde.

  • Základní pojmy (viz str. 3) - deformace tělesa (obrázky na str. 3, 5, vztahy 2.1, 2.2, 2.3), napjatost v bodě tělesa (vše str. 7-8), Saint-Venantův princip (str. 14).
  • Obecné vlastnosti a obecné věty lineárně pružného tělesa (viz str. 23) - obrázky, vztahy a pojmy ze str. 23-24, deformační práce osamělé síly, věta o superpozici (str.25), věta o vzájemnosti prací (str 27 - vztah 3.6, slovní formulace), deformační práce silové dvojice (str. 28), věta o deformační práci silové soustavy (str. 29).
  • Základní materiálové charakteristiky, tahová a tlaková zkouška (viz str. 35) - Poissonovo číslo (vztah 4.3, 4.5), Hookeův zákon (vztah 4.4). (Přestože v testu nebude vyžadován, doporučuji se seznámit s součinitelem \(\kappa\) (vztah 4.8)).
  • Prut v pružnosti a pevnosti (viz str. 44) - předpoklady geometrické (str. 44), předpoklady zatěžovací a vazbové (str. 45), předpoklady deformační (str. 45), předpoklady napjatostní (str. 46), Schwedlerovy vztahy (vztah 5.3, 5.4, 5.5, 5.6). Součástí testu bude i několik příkladů určení VVÚ graficky u přímých staticky určitě uložených prutů.
  • Namáhání na tah a tlak (viz str. 59) - definice (str. 59), vztahy pro napětí 6.8, 6.9, posunutí v bodě \(x\) (vztah 6.10), energie napjatosti (vztah 6.11, 6.12), napjatost v šikmém řezu (str. 63-66)}.
  • Namáhání na ohyb (viz str. 91) - definice (str. 91), vztahy pro napětí a deformaci 7.13 a 7.14, definice neutrální osy a kdy nastává shoda shoda polohy neutrální osy s nositelkou ohybového momentu (str. 96), nebezpečné místo průřezu (str. 97), vztah 7.22 pro energii napjatosti, rovnice průhybové čáry a sestavení okrajových podmínek a podmínek spojitosti a hladkosti průhybové čáry na konkrétním příkladu (str. 103-106), Žuravského vzorec (vztah 7.36), hodnota \(\tau_{max}\) pro obdélníkový (kruhový) průřez, definice středu smyku (str. 122).
  • Namáhání na krut (viz str. 171) - natočení v místě \(x\) střednice prutu (vztah 8.6), napětí v bodě příčného průřezu (vztah 8.8), energie napjatosti (vztah 8.15).
  • Průřezové charakteristiky (nebudou vyžadovány u testu, viz příloha A, str. 256) - definice průřezových charakteristik (str. 257-258), základní vlastnosti kvadratických momentů (str. 259-260), Steinerovy věty (vztah 15, str. 262), tenzor kv. momentů plochy \(\boldsymbol{T}_J\) (vztah 20, str. 266), definice hlavního souřadnicového systému, definice hlavního centrálního souřadnicového systému, vztah pro vyjádření úhlu \(\varphi_I\) (vztah 21, str. 266), nakreslení Möhrovy kružnice pro \(\boldsymbol{T}_J\) pro konkrétní hodnoty \(J_y\), \(J_z\) a \(J_{yz}\) (str. 268), doporučuji si projít příklady na str. 270-280.
  • Mezní stav vzpěrné stability prutů (viz str. 188) - formou konkrétního příkladu, dále pak definice mezního stavu vzpěrné stability (str. 188), vztah pro kritickou sílu (vztah 9.29, str. 197), definice štíhlosti prutu (vztah 9.31, str. 198), její kritická hodnota (vztahy 9.32, 9.33, str. 199), Eulerova hyperbola (str. 198) pro tvárný/křehký materiál, doporučuji si projít demonstrační příklad na str. 201-202.
  • Napjatost v bodě tělesa (viz str. 203) - definice napjatosti (str. 203), obrázek str. 204, vztah mezi vektorem obecného napětí \(\boldsymbol{f}_\rho\) tenzorem napětí \(\boldsymbol{T}_\sigma\) a směrovými kosiny \(\boldsymbol{\alpha}\) (obecně/maticově/symbolicky, vztahy 10.6-10.8, str. 205), definice hlavní roviny (str. 207), definice invariantů a "invariantnosti" tenzoru napětí \(\boldsymbol{T}_{\sigma}\), definice oktaedrické roviny a napětí \(\tau_{o}\), rovinná napjatost (str. 218), prutová napjatost a prostý smyk (str. 222), klasifikace napjatosti (str. 223).
  • Mezní stav pružnosti (str. 226) - Trescovy podmínky plasticity (vztah 11.4, str. 227), zobrazení mezní křivky pro Tescovu podmínku plasticity v případě rovinné napjatosti (str. 228, dole), zobrazení Trescovy podmínky plasticity v Möhrově rovině (str. 229), Trescova podmínka plasticity pro případ prutové napjatosti (vztah 11.7, str. 229), Trescova podmínka plasticity pro případ smykové napjatosti (vztah 11.9, str. 229), definice podmínky plasticity HMH (vztah 11.13, str. 230), zobrazení mezní křivky pro HMH podmínku plasticity v případě rovinné napjatosti (str. 231, dole), zobrazení HMH podmínky plasticity v Möhrově rovině a definice Lodeho parametru \(\mu_\sigma\) (str. 232), HMH podmínka plasticity pro případ prutové napjatosti (vztah 11.17, str. 233), HMH podmínka plasticity pro případ smykové napjatosti (vztah 11.19, str. 233).
  • Mezní stav křehké pružnosti (nebude vyžadován u testu - přesto doporučuji k nastudování, od str. 237) - podmínka mezního stavu křehké pevnosti MOS (vztah 11.31, str. 237), grafické znázornění podmínky křehké pevnosti MOS v Möhrově rovině (str. 239).
  • Součástí testu může být jednoduchý příklad staticky určitě uloženého prutu s úkolem určení extrémních hodnot napětí, příp. hodnot posuvů nebo natočení v daném bodě střednice nebo styčníku.

Příklady (\(\boldsymbol{2\times30}\) bodů) - dva příklady \(1\times\) staticky neurčitě uložených prutů nebo soustavy prutů zatížených prostým tahem/tlakem, ohybem nebo krutem.

Podklady ke stažení

Pružnost a pevnost II

Podobně jako v případě příkladů z Pružnosti a pevnosti I jsou ukázkové příklady z Pružnosti a pevnosti II ve formátu *.ipynb. Jde o soubory použitelné v systému Jupyter, který si můžete stáhnout na stránkách jupyter.org. Některé vztahy pro rotačně symetrická tělesa lze nalézt zde.

  • Cvičení 1: Kombinované namáhání.
    • Příklad v jazyce Python - Př.1. Odpovídající soubor v Jupyteru lze stáhnout zde. Obrázek lze stáhnout zde.
    • Příklad v jazyce Python - Př.2. Odpovídající soubor v Jupyteru lze stáhnout zde. Obrázek lze stáhnout zde
    • Příklad v jazyce Python - Př.3. Odpovídající soubor v Jupyteru lze stáhnout a zde. Obrázek lze stáhnout zde.
    • Ručně řešený příklad Př.4 lze stáhnout zde.
    • Ručně řešený příklad Př.5 lze stáhnout zde.
    • Ručně řešený příklad Př.6 lze stáhnout zde.
    • Ručně řešený příklad Př.7 lze stáhnout zde.
  • Cvičení 2: Napětí v bodě.
    • Příklad v jazyce Python - Př.1. Odpovídající soubor v Jupyteru lze stáhnout zde.
    • Příklad v jazyce Python - Př.2. Odpovídající soubor v Jupyteru lze stáhnout zde.
    • Ručně řešený příklad Př.3 lze stáhnout zde.
    • Ručně řešený příklad Př.4 lze stáhnout zde.
    • Ručně řešený příklad Př.5 lze stáhnout zde.
    • Ručně řešený příklad Př.6 lze stáhnout zde.
    • Ručně řešený příklad Př.7 lze stáhnout zde.
    • Ručně řešený příklad Př.8 lze stáhnout zde.
    • Ručně řešený příklad Př.9 lze stáhnout zde.
    • Ručně řešený příklad Př.10 lze stáhnout zde.
    • Ručně řešený příklad Př.11 lze stáhnout zde.
    • Ručně řešený příklad Př.12 lze stáhnout zde.
  • Cvičení 3: Trhlina v prutu.
    • Příklad v jazyce Python - Př.1. Odpovídající soubor v Jupyteru lze stáhnout zde. Obrázek lze stáhnout zde.
    • Ručně řešený příklad Př.2 lze stáhnout zde.
    • Ručně řešený příklad Př.3 lze stáhnout zde.
    • Ručně řešený příklad Př.4 lze stáhnout zde.
    • Ručně řešený příklad Př.5 lze stáhnout zde.
  • Cvičení 4: Cyklické zatěžování prutu.
    • Kratičký úvod lze stáhnout zde.
    • Ručně řešený příklad Př.1 lze stáhnout zde.
    • Ručně řešený příklad Př.2 lze stáhnout zde.
    • Ručně řešený příklad Př.3 lze stáhnout zde.
    • Ručně řešený příklad Př.4 lze stáhnout zde.
    • Ručně řešený příklad Př.5 lze stáhnout zde.
    • Ručně řešený příklad Př.6 lze stáhnout zde.
    • Ručně řešený příklad Př.7 lze stáhnout zde.
    • Ručně řešený příklad Př.8 lze stáhnout zde.
    • Ručně řešený příklad Př.9 lze stáhnout zde.
    • Ručně řešený příklad Př.10 lze stáhnout zde.
    • Ručně řešený příklad Př.11 lze stáhnout zde.
    • Ručně řešený příklad Př.12 lze stáhnout zde.
  • Cvičení 5: Válcové těleso.
    • Ručně řešený příklad Př.1 lze stáhnout zde.
    • Ručně řešený příklad Př.2 lze stáhnout zde.
    • Ručně řešený příklad Př.3 lze stáhnout zde.
    • Ručně řešený příklad Př.4 lze stáhnout zde.
    • Ručně řešený příklad Př.5 lze stáhnout zde.
    • Ručně řešený příklad Př.6 lze stáhnout zde.
    • Ručně řešený příklad Př.7 lze stáhnout zde.
  • Cvičení 6: Rotující stěna.
    • Příklad v jazyce Python - Př.1. Odpovídající soubor v Jupyteru lze stáhnout zde. Obrázek lze stáhnout zde.
    • Příklad v jazyce Python - Př.2. Odpovídající soubor v Jupyteru lze stáhnout zde. Obrázek lze stáhnout zde.
  • Cvičení 7: Průhyb rotačně symetrické desky.
    • Příklad v jazyce Python - Př.1. Odpovídající soubor v Jupyteru lze stáhnout zde. Obrázky lze stáhnout zde a zde.
    • Ručně řešený příklad Př.2 lze stáhnout zde.
    • Ručně řešený příklad Př.3 lze stáhnout zde.
    • Ručně řešený příklad Př.4 lze stáhnout zde.
    • Ručně řešený příklad Př.5 lze stáhnout zde.
    • Ručně řešený příklad Př.6 lze stáhnout zde.
    • Ručně řešený příklad Př.7 lze stáhnout zde.
  • Cvičení 8: Dlouhá válcová skořepina.
    • Příklad v jazyce Python - Př.1. Odpovídající soubor v Jupyteru lze stáhnout zde. Obrázky lze stáhnout zde a zde.
    • Ručně řešený příklad Př.2 lze stáhnout zde.
    • Ručně řešený příklad Př.3 lze stáhnout zde.
    • Ručně řešený příklad Př.4 lze stáhnout zde.
  • Cvičení 9: Složená tělesa.
    • Příklad v jazyce Python - Př.1. Odpovídající soubor v Jupyteru lze stáhnout zde. Obrázky lze stáhnout zde a zde.
    • Příklad v jazyce Python - Př.2. Odpovídající soubor v Jupyteru lze stáhnout zde. Obrázek lze stáhnout zde.
    • Ručně řešený příklad Př.3 lze stáhnout zde.
    • Ručně řešený příklad Př.4 lze stáhnout zde.
  • Cvičení 10: Bezmomentová skořepina.
    • Příklad v jazyce Python - Př.1. Odpovídající soubor v Jupyteru lze stáhnout zde. Obrázek lze stáhnout zde.
    • Příklad v jazyce Python - Př.2. Odpovídající soubor v Jupyteru lze stáhnout zde. Obrázky lze stáhnout zde a zde.
    • Ručně řešený příklad Př.3 lze stáhnout zde.
    • Ručně řešený příklad Př.4 lze stáhnout zde.
  • Cvičení 11: Metoda konečných prvků v PPI a PPII.
    • Případ krutu prizmatického prutu s nekruhovým příčným průřezem počítaný v konečnoprvkovém systému FreeFEM++ si lze prohlédnout zde.
    • Případ eliptické tenké desky (membrány) se smíšenými okrajovými podmínkami počítaný v konečnoprvkovém systému FreeFEM++ si lze prohlédnout zde.
    • Případ prostého ohybu bi-materiálového prutu zatíženého změnou teploty počítaný v konečnoprvkovém systému FreeFEM++ si lze prohlédnout zde.

Matematické metody v mechanice

prof. RNDr. Michal Kotoul, CSc.

Lecture 1

Lecture annotation: Historical introduction. Definition of variational problems, examples of the equivalence of differential equation integration and searching for the minimum of a suitable functional.

A number of problems of the mechanics, hydromechanics, mathematical physics etc., usually lead to partial differential equations – less often to ordinary differential equations, which are to be integrated under specified initial and boundary conditions. As regards to applications, there is important to obtain even approximate numerical values of the solution to these equations. In some cases, when both differential equation and a considered domain are very simple, the solution of a problem can be obtained in closed form, most often in the form of infinite series. Such results are usually obtained by Fourier’s method or by the method of Laplace’s integral transform. In 19th century and at the beginning of 20th century mathematicians were trying to modify these methods and/or to find new methods such that they would have allowed obtaining the closed form of solution also in more general cases. However, this effort failed, and new diverse methods started to develop in order to find a suitable approximate solution. Particularly, the method of finite differences and variational methods acquitted well. As to the variational methods, Ritz method and Galerkin method became most popular, and, with advent of powerful computers, their modification - the finite element method turned to be the most used one. Note that the finite difference method often gives unreliable values of approximate solution near the boundary of a considered domain.

In theory and in practical applications as well, we encounter a fact that has a fundamental meaning. Namely, in many cases it turns out that the integration of a differential equation can be replaced by an equivalent problem of obtaining a function which minimizes (extremizes) a suitably constructed functional. Such problems are called variational problems; the integration of a differential equation is replaced by an equivalent variational problem. Within this context observe that differential equations are usually derived from corresponding physical principles (conservation of the momentum and the moment of momentum, conservation of the energy, mass, electric charge, and etc.), constitutive equations, and complementary relations (kinematical relations between displacements and deformations in the solid mechanics, or fluid flow assumptions in the hydromechanics etc.) put down for an element whose size converges to zero. These differential equations hold in every point of a domain, i.e. they have a local character. However, the corresponding physical principles and complementary relations can be expressed also in a different way, which is often not only more useful, but also possesses a deeper physical meaning. Already at the beginning of 20th century the famous mathematician David Hilbert pushed forward a proposition that physical principles should not be primary formulated in terms of differential equations, but instead, in terms of integral relations. In doing so, either the energy conservation is used, or the variational principles for the energy – i.e. general thermodynamic conditions, which postulate that a system in equilibrium reaches the state exhibiting lowest value of the energy. Hereafter, derivation of differential equations describing some physical phenomena directly from the mentioned integral relations will be demonstrated in this lecture.

Partial differential equations (PDE) can be classified into two large groups. The equations of the first group describe processes during which the searched quantities are markedly changing in course of time. These unknown quantities are functions of coordinates and time. The simplest but important representative of this group is the wave equation, whose special case is the equation describing string oscillations. The wave equation belongs to so–called hyperbolic PDEs. The derivation of the wave equation from the variational principle for the energy will now be displayed.

Následující příklady jsou z vynikající publikace [1].

  • Cvičení 1: Deformační a doplňková deformační energie.
    • Ručně řešený příklad Př.1 lze stáhnout zde a zde.
    • Ručně řešený příklad Př.2 lze stáhnout zde.
    • Ručně řešený příklad Př.3 lze stáhnout zde a zde.
    • Ručně řešený příklad Př.4 lze stáhnout zde, zde a zde.
    • Ručně řešený příklad Př.5 lze stáhnout zde.
  • Cvičení 2: Virtuální práce.
    • Ručně řešený příklad Př.1 lze stáhnout zde.
    • Ručně řešený příklad Př.2 lze stáhnout zde.
    • Ručně řešený příklad Př.3 lze stáhnout zde.
    • Ručně řešený příklad Př.4 lze stáhnout zde, zde a zde.
    • Ručně řešený příklad Př.5 lze stáhnout zde, zde a zde.
  • Cvičení 3: Variační počet.
    • Ručně řešený příklad Př.1 lze stáhnout zde a zde.
    • Ručně řešený příklad Př.2 lze stáhnout zde, zde a zde.
    • Ručně řešený příklad Př.3 lze stáhnout zde a zde.
    • Ručně řešený příklad Př.4 lze stáhnout zde a zde.
  • Cvičení 4: Metody ve variačním počtu.

Literatura

[1]Reddy, J.N., Energy principles and variational methods in applied mechanics, John Wiley & Sons (2017)