Piezoelektricita

Následující poznámky jsou sestaveny podle [1]. Jde o první kapitoly věnující se elektrostatice a piezoelektricitě. Ukázka piezoelektrické úlohy z lomové mechaniky řešené pomocí metody konečných prvků systémem FEniCS je k přečtení zde. Zdrojové soubory k rozpracovanému článku jsou ke stažení zde.

Elektrostatika vodičů

Základem elektrostatiky jsou Maxwellovy rovnice vakua, které však platí na mikroúrovni,

(1)\[\nabla\cdot\boldsymbol{e}=0,\]

(2)\[\nabla\times\boldsymbol{e}=-\frac{1}{c}\frac{\partial\boldsymbol{h}}{\partial t},\]

kde \(\boldsymbol{h}\) je mikroskopické magnetické pole a \(\boldsymbol{e}\) je mikroskopické elektrické pole. Vakuum není kupodivu ve statice předmětem zájmu. Tím je vodič, u kterého však vzniká problém, jelikož už z podstaty jeho existence, není v něm žádné elektrické pole. Nenulovost elektrického pole způsobuje proud a součástí šíření proudu vodičem je nevratná změna energie (její disipace), která se u stacionární úlohy nekoná. Proto ta nulovost elektrického pole ve vodiči.

Odtud také plyne, že náboj, se nachází pouze na povrchu vodiče, jinak by totiž způsoboval elektrické pole uvnitř vodiče. Náboje jsou tedy na povrchu vodiče rozloženy tak, aby byly navzájem v rovnováze. Tuto rovnováhu však jde poznat jen z elektrického pole, které tedy u vodiče není k dispozici, je však ve vakuu, které ho obklopuje a má s vodičem společný povrch. Změna elektrického pole \(\boldsymbol{e}\) ve vakuu je plynulá a jeho střední hodnota \(\boldsymbol{E}\), která odpovídá jeho hodnotě v kontinuu, je s jeho hodnotou téměř shodná.

Předpokládáme, že průměrná hodnota magnetického pole \(\overline{\boldsymbol{h}}\) a jeho změny v čase je nulová, pak pro elektromagnetické pole \(\boldsymbol{E}\) podle (1) a (2) platí

(3)\[\nabla\cdot\boldsymbol{E}=0,\]

(4)\[\nabla\times\boldsymbol{E}=0.\]

Očividně jde o "klasické" rovnice rovnováhy sil a momentů, pokud by si jeden domyslel místo pole \(\boldsymbol{E}\) třeba napětí \(\boldsymbol{\sigma}\) v klasickém mechanickém smyslu. Elegantní způsob řešení rovnic (3) a (4) nabízí zavedení elektrického potenciálu \(\phi\) tak, že

(5)\[\boldsymbol{E}=-\nabla\phi.\]

Pak se dosazením (5) do (3) dostane Laplaceova rovnice

(6)\[\nabla^2\phi=0.\]

Z rovnice rovnováhy (4) se dostanou okrajové podmínky k rovnici (6). Detaily odvození okrajových podmínek lze nalézt v [1]. Z podmínky (4) zejména plyne, že tečné hodnoty \(\boldsymbol{E}\) k povrchu vodiče musí být nulové

(7)\[\boldsymbol{E}_t=0.\]

Jinými slovy, směr elektrostatického pole musí být normálový k povrchu vodiče a protože pro potenciál \(\phi\) platí (5), musí být elektrický potenciál \(\phi\) na povrchu vodiče konstantní, nebo-li musí tvořit eqipotencálu elektrostatického pole. To také plyne z vlastnosti harmonických funkcí, pro které platí, že svých extrémních hodnot mohou dosáhnout pouze na hranici oblasti. Důležitý, pro stanovení okrajových podmínek, je vztah mezi průměrnou hodnotou hustoty náboje \(\rho\) a elektrickým polem \(\boldsymbol{E}\)

(8)\[\nabla\cdot\boldsymbol{E}=4\pi\rho.\]

Aplikací posledního výrazu na nekonečně malý objem mezi jednotkovým povrchem vodiče a vakua a z podmínky, že \(\boldsymbol{E}\) musí mít normálový směr k povrchu vodiče plyne

(9)\[4\pi\rho=E_n=-\frac{\partial\phi}{\partial n}.\]

Integrací předchozího vztahu přes plochu vodiče se dostane celkový náboj na povrchu vodiče

(10)\[e=-\frac{1}{4\pi}\oint\frac{\partial\phi}{\partial n}\mathrm{d}S.\]

Totální energie \(\mathcal{U}\) elektrostatického pole nabitého vodiče se může psát

(11)\[\begin{split}\begin{equation} \begin{split} \mathcal{U} =& \frac{1}{8\pi}\int\boldsymbol{E}^2\mathrm{d}V= -\frac{1}{8\pi}\int\boldsymbol{E}\cdot\nabla\phi\mathrm{d}V \\ =& -\frac{1}{8\pi}\int\nabla\cdot(\phi\boldsymbol{E})\mathrm{d}V +\frac{1}{8\pi}\int\phi\nabla\cdot\boldsymbol{E}\mathrm{d}V, \end{split} \end{equation}\end{split}\]

kde se integruje přes oblast vně vodiče. Druhý integrál je nulový a první se může převést na plošný integrál za předpokladu, že elektrické pole v nekonečnu mizí. Protože je elektrický potenciál podél hranice konstantní, musí být v nekonečnu nulový. Pak tedy platí

(12)\[\mathcal{U}=\frac{1}{8\pi}\phi_i\sum_i\oint E_n\mathrm{d}S=\frac{1}{2}\sum_i\phi_ie_i,\]

kde se integruje se přes plochu \(i\) vodičů v elektrickém poli \(\boldsymbol{E}\) a kde se použil vztah (10). Mezi náboji a odpovídajícími elektrickými potenciály je lineární vztah

(13)\[e_i=\sum_jC_{ij}\phi_j,\qquad\phi_j=\sum_iC^{-1}_{ij}e_i,\]

kde \(C_{ij}\) mají dimenzi délky a závisí na tvaru a relativní poloze vodičů. Parametry \(C_{ii}\) jsou koeficienty kapacity, parametry \(C_{ij}\) jsou koeficienty elektrostatické indukce. Dá se ukázat, viz [1], že

(14)\[C_{ii}>0,\quad C_{ij}=C_{ji},\quad C_{ij}<0.\]

Lineární závislost (13) mezi \(e_i\) a \(\phi_i\) umožňuje vyjádřit potenciál a náboj následovně

(15)\[\phi_i=\frac{\partial\mathcal{U}}{\partial e_i},\qquad e_i=\frac{\partial\mathcal{U}}{\partial\phi_i}\]

nebo naopak energii \(\mathcal{U}\) jako

(16)\[\mathcal{U}=\frac{1}{2}\sum_{i,j}C_{ij}\phi_i\phi_j=\frac{1}{2}\sum_{ij}C^{-1}_{ij}e_ie_j.\]

Hodně zajímavý je případ vodiče bez náboje v rovnoměrném vnějším elektrickém poli \(\boldsymbol{\mathcal{E}}\), které si lze představit jako pole generované od nábojů v nekonečnu. Přestože je na povrchu vodiče nulový náboj, vnější elektrické pole v něm vytváří moment elektrického dipólu \(\boldsymbol{\mathcal{P}}\) (viz analogie s bodovým dipólem, kdy dva bodové náboje opačných znamének jsou k sobě limitně blízko, tj. jejich náboje se eliminují, ale zůstává elektrické pole dvou nábojů v jediném bodě). Elektrický potenciál \(\phi\) takového dipólu \(\boldsymbol{\mathcal{P}}\) je při vzdálenosti \(\boldsymbol{r}\) od něj roven

(17)\[\phi=\frac{\boldsymbol{\mathcal{P}}\cdot\boldsymbol{r}}{r^3}.\]

Pokud se dále vezme fakt, že

(18)\[\boldsymbol{\mathcal{E}}=-\frac{e}{r^3}\boldsymbol{r},\]

pak se pro potenciální energii nenabitého vodiče v rovnoměrném elektrickém poli může psát

(19)\[\mathcal{U}=\frac{1}{2}e\phi=e\frac{\boldsymbol{\mathcal{P}}\cdot\boldsymbol{r}}{2r^3} =-\frac{1}{2}\boldsymbol{\mathcal{P}}\cdot\boldsymbol{\mathcal{E}}.\]

Podobně jako v případě elektrického potenciálu \(\phi\) a náboje \(e\) je vztah mezi momentem dipólu \(\boldsymbol{\mathcal{P}}\) a elektrickým polem \(\boldsymbol{\mathcal{E}}\) lineární, tj.

(20)\[\mathcal{P}_i=V\alpha_{ik}\mathcal{E}_k,\]

kde \(V\alpha_{ik}\) jsou komponenty tzv. tenzoru polarizace oblasti. Tento tenzor je symetrický, tj. platí

(21)\[\alpha_{ik}=\alpha_{ki}.\]

Pro energii (19) pak platí

(22)\[\mathcal{U}=-\frac{1}{2}V\alpha_{ik}\mathcal{E}_i\mathcal{E}_k.\]

V elektrickém poli působí na vodič síly a momenty. Tyto síly opět vychází z Maxwellových rovnic, které vyjadřují napětí tzv. Maxwellův tenzor napětí

(23)\[-\sigma_{ik}=\frac{1}{4\pi}\left(\frac{1}{2}E^2\delta_{ik}-E_iE_k\right).\]

Stejně jako v pružnosti, výraz \(\sigma_{ik}n_k\) je síla \(\boldsymbol{F}_s\) na jednotku plochu povrchu vodiče. Protože však elektrické pole na povrchu vodiče má pouze směr normály \(\boldsymbol{n}\) k povrchu, platí pro sílu \(\boldsymbol{F}_s\) následující

(24)\[\boldsymbol{F}_s=\frac{E^2}{8\pi}\boldsymbol{n}\]

nebo také zavedením hustoty povrchového náboje \(\sigma\)

(25)\[\boldsymbol{F}_s=2\pi\sigma^2\boldsymbol{n}=\frac{1}{2}\sigma\boldsymbol{E}.\]

Elegantní způsob vyjádření síly působící v nějakém směru \(q\) vychází z mechaniky (viz Castiglianova věta) jako derivace potenciální energie podle tohoto směru \(q\), tj.

(26)\[F_q=-\left(\frac{\partial\mathcal{U}}{\partial q}\right)_e,\]

kde index \(e\) značí, že se derivace počítá při konstantním náboji \(e\). Podobně se síla \(F_q\) může vyjádřit jako derivace podle \(q\) při konstantním potenciálu \(\phi\)

(27)\[F_q=-\left(\frac{\partial\tilde{\mathcal{U}}}{\partial q}\right)_\phi,\]

kde \(\tilde{\mathcal{U}}\) je vlastně obdoba doplňkové energie v mechanice, tj.

(28)\[\mathcal{\tilde{U}}=\mathcal{U}-\sum_i e_i\phi_i=-\mathcal{U}.\]

K vyjádření vztahů (26) a (27) za zavádí také diferenciální vztahy, přičemž první je funkcí náboje \(e\) a souřadnice \(q\) a druhý je funkcí elektrického potenciálu \(\phi\) a souřadnice \(q\)

(29)\[\begin{split}\begin{equation} \begin{split} \mathrm{d}\mathcal{U} =& \sum_i\phi_i\mathrm{d}e_i-F_q\mathrm{d}q, \\ \mathrm{d}\tilde{\mathcal{U}} =& -\sum_i e_i\mathrm{d}\phi_i-F_q\mathrm{d}q. \end{split} \end{equation}\end{split}\]

Pro vodiče bez náboje v elektrickém poli, které se v okolí vodiče mění jen zanedbatelně, se síla působící na vodič může vyjádřit jako gradient energie (22) následovně

(30)\[\boldsymbol{F}=-\nabla\mathcal{U}=\frac{1}{2}\alpha_{ik}V\nabla\left(\mathcal{E}_i\mathcal{E}_k\right).\]

Kromě síly působí na nenabitý vodič i moment \(\boldsymbol{K}\), pro který platí

(31)\[\boldsymbol{K}=\boldsymbol{\mathcal{P}}\times\boldsymbol{\mathcal{E}}.\]

Odvození tohoto vztahu lze nalézt v [1]. Síly (26) a (27) a momenty (31) působící na vodič způsobují jeho deformaci, tzv. elektrostrikci, která může hrát významnou roli, ale musí být svázána s rovnicemi pružnosti.

Elektrostatika dielektrika

Doplňkem k vodičům jsou dielektrika, které však naopak žádný proud nevedou. Z tohoto důvodu v nich není elektrické pole nulové

(32)\[\nabla\cdot\boldsymbol{E}=4\pi\overline{\rho},\]

kde \(\overline{\rho}\) je výše zmíněná průměrná hodnota hustoty náboje. Nicméně, rovnici

(33)\[\nabla\times\boldsymbol{E}=0\]

mají dielektrika a vodiče společnou. Nejdříve budeme předpokládat, že dielektrikum není přípojeno na žádný vnější zdroj elektrického náboje. Pak musí platit

(34)\[\int\overline{\rho}\mathrm{d}V=0,\]

kde se integruje přes objem dielektrika. Jedinou možností řešení této integrální rovnice je zavedení vektoru \(\boldsymbol{P}\) pro který platí

(35)\[\overline{\rho}=-\nabla\cdot\boldsymbol{P},\]

zatímco vně dielektrika je \(\boldsymbol{P}=0\). Fyzikální význam naznačí dosazení (35) do (34)

(36)\[\int\overline{\rho}\mathrm{d}V=-\int\nabla\cdot\boldsymbol{P}\mathrm{d}V =-\oint\boldsymbol{P}\cdot\boldsymbol{n}\mathrm{d}S=0.\]

Vektor \(\boldsymbol{P}\) se nazývá vektorem polarizace dielektrika a necharakterizuje jen rozložení hustoty náboje \(\rho\) uvnitř dielektrika, ale také hustotu náboje \(\sigma\) na jeho povrchu

(37)\[\sigma=P_n,\]

kde \(P_n\) je složka vektoru \(\boldsymbol{P}\) rovnoběžná s vnější normálou k povrchu dielektrika. Dosazením (35) do (32) se dostane

(38)\[\nabla\cdot\boldsymbol{D}=0,\]

kde

(39)\[\boldsymbol{D}=\boldsymbol{E}+4\pi\boldsymbol{P}\]

je tzv. elektrická indukce. Rovnice (38) jde zobecnit na případ, kdy náboj \(\rho_{ex}\) není součásti dielektrika, ale do něj dodáván z nějakého vnějšího zdroje, pak

(40)\[\nabla\cdot\boldsymbol{D}=4\pi\rho_{ex}.\]

Okrajové podmínky plynou jak z rovnice (38), tak z rovnice (33). Nejdříve tedy posledně jmenovaná rovnice. Z té plyne, že na rozhraní dvou dielektrik musí být spojitost tangenciálních směrů \(\boldsymbol{E}_t\) podél jejich rozhraní

(41)\[\boldsymbol{E}_{t1}=\boldsymbol{E}_{t2}.\]

Okrajová podmínka vyplývající z (38) vyžaduje spojitost normálové složky indukce \(D_n\) podél rozhraní mezi dvěma dielektriky

(42)\[D_{n1}=D_{n2}.\]

V případě rozhraní dielektrika s vodičem platí

(43)\[\boldsymbol{E}_t=0, \qquad D_n=4\pi\rho_{ex}.\]

kde \(\sigma_{ex}\) je hustota náboje na povrchu vodiče. Aby soustava rovnic (33) a (38) byla úplná, musí mít elektrické pole \(\boldsymbol{E}\) a indukce \(\boldsymbol{D}\) mezi sebou vztah. Tento vztah je naštěstí lineární a v případě izotropního dielektrika má velice sympatický tvar

(44)\[\boldsymbol{D}=\varepsilon\boldsymbol{E},\]

kde \(\varepsilon\) je tzv. permitivita dielektrika, která je stavovou veličinou (závisí na stavu dielektrika z pohledu termodynamiky). Podobně jako indukce \(\boldsymbol{D}\), také polarizace \(\boldsymbol{P}\) má svou závislost, lineární, samozřejmě

(45)\[\boldsymbol{P}=\kappa\boldsymbol{E}=\frac{\varepsilon-1}{4\pi}\boldsymbol{E},\]

kde \(\kappa\) je tzv. koeficient polarizace nebo také faktor citlivosti dielektrika. Vzhledem k okolnostem těchto lineárních závislostí mezi \(\boldsymbol{D}\),:math:boldsymbol{P} a \(\boldsymbol{E}\) pro okrajové podmínky (41) a (42) platí

(46)\[\boldsymbol{E}_{t1}=\boldsymbol{E}_{t2},\quad\varepsilon_1\boldsymbol{E}_{n1}=\varepsilon_2\boldsymbol{E}_{n2}.\]

Jestliže se dále vezme v úvahu vztah (5), potom je rovnice rovnováhy (33) automaticky splněna a rovnice rovnováhy (38) má tvar

(47)\[\nabla\cdot(\varepsilon\nabla\phi)=0\]

s okrajovými podmínkami (46) ve tvaru

(48)\[\phi_1=\phi_2,\quad\varepsilon_1\frac{\partial\phi_1}{\partial n}=\varepsilon_2\frac{\partial\phi_2}{\partial n}.\]

Další zajímavý případ, který ovlivňuje zavedení homogenní permitivity \(\varepsilon=konst.\), je případ vodiče v tomto homogenním dielektriku. Jak u vodiče, tak i dielektrika je splněna rovnice rovnováhy

(49)\[\nabla^2\phi=0\]

s okrajovou podmínkou, že \(\phi\) je konstantní na povrchu vodiče, ale s tím rozdílem, že místo normálové složky elektrického pole napětí \(E_n\) je nulové normálová složka indukce

(50)\[D_n=-\varepsilon\frac{\partial\phi}{\partial n}=4\pi\sigma,\]

kde je opět \(\sigma\) hustota náboje na povrchu vodiče. Protože ve vodiči je nulové elektrické pole, ovlivňuje jeho celkovou energii jen okolní prostředí, které je ale nezávislé na jeho termodynamickém stavu, takže nezvyšuje jeho entropii. Naopak, z důvodu průchodu elektrického pole dielektrikem, má elektrické pole významný vliv na jeho termodynamické vlastnosti. Mechanickou práci, kterou musí vykonat elektrické pole přenesením nekonečně malého náboje \(\delta e\) z nekonečna na povrch vodiče z důvodu rozdílů potenciálu \(\phi\) mezi nimi, lze vyjádřit následovně

(51)\[\delta R=\phi\delta e.\]

Jestliže dielektrikum obklopuje vodič, normálová komponenta jeho indukce \(D_n\) ve směru normály \(\boldsymbol{n}\) k povrchu vodiče (tj. směrem vně z dielektrika a tedy dovnitř vodiče) udává podle (50) hustotu povrchového náboje vodiče a tedy také celkovou hodnotu náboje na povrchu vodiče

(52)\[e=-\frac{1}{4\pi}\oint D_n\mathrm{S}=-\frac{1}{4\pi}\oint\boldsymbol{D}\cdot\boldsymbol{n}\mathrm{d}S.\]

Protože je elektrický potenciál na povrchu vodiče konstantní, platí

(53)\[\delta R=\phi\delta e=-\frac{1}{4\pi}\oint\phi\delta\boldsymbol{D}\cdot\mathrm{d}S =-\frac{1}{4\pi}\int\nabla\cdot(\phi\delta\boldsymbol{D})\mathrm{d}V,\]

kde poslední integrál je počítán přes celý objem vně vodiče. Pro variaci \(\delta\boldsymbol{D}\) musí stejně jako pro \(\boldsymbol{D}\) platit rovnice rovnováhy (38), tj.

(54)\[\nabla\cdot\delta\boldsymbol{D}=0.\]

Takže

(55)\[\nabla\cdot(\phi\delta\boldsymbol{D})=\phi\nabla\cdot\delta\boldsymbol{D}+\delta\boldsymbol{D}\cdot\nabla\phi =-\boldsymbol{E}\cdot\delta\boldsymbol{D}\]

a (53) bude mít tvar

(56)\[\delta R=\frac{1}{4\pi}\int\boldsymbol{E}\cdot\delta\boldsymbol{D}\mathrm{d}V.\]

Jen pro připomenutí, objemový integrál je počítaný přes celý objem vně vodiče, tedy i přes vakuum, které nevyplňuje dielektrikum. Práce vykonaná na teplotně izolovaném tělese je vlastně změna energie tělesa za konstantní entropie. Proto stačí ke vztahu změny energetické rovnováhy \(\delta\mathcal{U}\) přidat předchozí vztah

(57)\[\partial\mathcal{U}=T\delta\mathcal{S}+\frac{1}{4\pi}\int\boldsymbol{E}\cdot\delta\boldsymbol{D}\mathrm{d}V,\]

kde \(T\) je teplota a \(\mathcal{S}\) je entropie. Podobně to platí i pro celkovou volnou energii

(58)\[\mathcal{F}=\mathcal{U}-T\mathcal{S},\]

kde po dosazení (56) do \(\delta\mathcal{F}\) se dostane

(59)\[\delta\mathcal{F}=-\mathcal{S}\delta T+\frac{1}{4\pi}\int\boldsymbol{E}\cdot\delta\boldsymbol{D}\mathrm{d}V.\]

Podobně lze dostat termodynamické veličiny vztažené na jednotku objemu. Jestliže \(U\), \(S\) a \(\rho\) jsou vnitřní energie, entropie a hmotnost jednotkového objemu, tak pro změnu energie \(\mathrm{d}U\) po přidání elektrického pole a dielektrika platí

(60)\[\mathrm{d}U=T\mathrm{d}S+\zeta\mathrm{d}\rho+\frac{1}{4\pi}\boldsymbol{E}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{D},\]

kde \(\zeta\) je chemický potenciál. Pro doplňkovou energii \(F=U-TS\) platí podobně

(61)\[\mathrm{d}F=-S\mathrm{d}T+\zeta\mathrm{d}\rho+\frac{1}{4\pi}\boldsymbol{E}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{D}.\]

Z těchto vztahů se dá vydedukovat další alternativní výrazy pro elektrické pole při konstantní entropii a hmotnosti, příp. konstantní teplotě a hmotnosti (přičemž druhý případ je praktičtější)

(62)\[\boldsymbol{E}=\left. 4\pi\frac{\partial U}{\partial\boldsymbol{D}}\right|_{S,\rho} =\left. 4\pi\frac{\partial F}{\partial\boldsymbol{D}}\right|_{T,\rho}.\]

Podobně jako v pružnosti i zde je vhodné kromě energií \(U\) a \(F\) zavést také jejich doplňky

(63)\[\tilde{U}=U-\frac{1}{4\pi}\boldsymbol{E}\cdot\boldsymbol{D},\quad \tilde{F}=F-\frac{1}{4\pi}\boldsymbol{E}\cdot\boldsymbol{D}.\]

Jejich diferenciály pak jsou

(64)\[\mathrm{d}\tilde{U}=T\mathrm{d}S+\zeta\mathrm{d}\rho-\frac{1}{4\pi}\boldsymbol{D}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{E}\]

a

(65)\[\mathrm{d}\tilde{F}=-S\mathrm{d}T+\zeta\mathrm{d}\rho-\frac{1}{4\pi}\boldsymbol{D}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{E}.\]

Odtud plyne

(66)\[\boldsymbol{D}=-\frac{1}{4\pi}\left.\frac{\partial\tilde{U}}{\partial\boldsymbol{E}}\right|_{S,\rho} =-\frac{1}{4\pi}\left.\frac{\partial\tilde{F}}{\partial\boldsymbol{E}}\right|_{T,\rho}.\]

Elektrické pole \(\boldsymbol{E}\) bez změny teploty a hustotu způsobuje deformaci dielektrika. Obecně deformované těleso není izotropní jak z pohledu mechanických, tak i dielektrických vlastností. Deformaci v bodě tělesa popisuje tenzor deformace \(u_{ij}\), který se, jak je známo z pružnosti, může napsat ve tvaru

(67)\[u_{ik}=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial u_i}{\partial x_k}+\frac{\partial u_k}{\partial x_i}\right),\]

kde \(\boldsymbol{u}\) je vektor posunutí. Pro další úvahy je vhodné si tvar (67) upravit. Podobně jako v pružnosti prutů, se bude v dalším uvažovat deformace velice tenké vrstvy tloušťky \(h\), jejíž plochy mají orientaci danou normálou \(\boldsymbol{n}\). Jedna z těchto ploch je podrobena virtuálnímu nekonečně malému posunutí \(\boldsymbol{\xi}\) nezávislému na normále \(\boldsymbol{n}\). Takže zatímco objemová změna vrstvy \(h\) odpovídající diagonálním prvkům tenzoru deformace \(u_{ii}\) je vlastně příspěvek dané složky posuvu \(\xi_i\) do odpovídající složky normály \(n_i\), tj. \(\xi_in_i\), kde se však nesčítá přes index \(i\). Podobně, pro vzájemné skosení (natočení) obou ploch vrstvy \(h\) je příspěvek složek vektoru \(\xi_i\) a \(\xi_k\) do odpovídajících, ale kolmých složek normály \(n_k\) a \(n_i\), tj. \(\xi_in_k\). Ve výsledku se tyto příspěvky deformace vrstvy \(h\) mohou zapsat ve tvaru symetrického tenzoru deformace

(68)\[u_{ik}=\frac{1}{2h}\left(\xi n_k+\xi_kn_i\right).\]

Práce síly \(\sigma_{ik}n_k\) na posuvu \(\boldsymbol{\xi}\) vrstvy tloušťky \(h\) je

(69)\[\sigma_{ik}\xi_in_k=\delta\left(\tilde{F}h\right)=\delta\tilde{F}h+\tilde{F}\delta h,\]

kde pro \(\delta\tilde{F}\) podle (65) při konstantní teplotě, bez změny hustoty dielektrika a zahrnutí vlivu deformace platí

(70)\[\delta\tilde{F}=-\frac{1}{4\pi}\boldsymbol{D}\cdot\delta\boldsymbol{E} +\left.\frac{\partial\tilde{F}}{\partial u_{ik}}\right|_{T,\boldsymbol{E}}\delta u_{ik}.\]

Elektrické pole se mění nejen vlivem změny tloušťky \(h\) deformované vrstvy, ale také jejím natočením o úhel \(\delta\boldsymbol{\phi}\)

(71)\[\delta\boldsymbol{E}=-\frac{1}{h}\boldsymbol{n}(\boldsymbol{E}\cdot\boldsymbol{\xi}) -\delta\boldsymbol{\phi}\times\boldsymbol{E}.\]

Natočení je samozřejmě zakuklený vektorový součin, takže pro \(\delta\boldsymbol{\phi}\) platí

(72)\[\delta\boldsymbol{\phi}=\frac{1}{2h}\boldsymbol{n}\times\boldsymbol{\xi}.\]

Dosazením tohoto vztahu do (71) se dostane

(73)\[\begin{split}\begin{equation} \begin{split} \delta\boldsymbol{E} =& -\frac{1}{h}\boldsymbol{n}(\boldsymbol{E}\cdot\boldsymbol{\xi}) +\frac{1}{2h}\boldsymbol{E}\times(\boldsymbol{n}\times\boldsymbol{\xi}) \\ =& -\frac{1}{h}\boldsymbol{n}(\boldsymbol{E}\cdot\boldsymbol{\xi}) +\frac{1}{2h}\boldsymbol{n}(\boldsymbol{E}\cdot\boldsymbol{\xi}) -\frac{1}{2h}\boldsymbol{\xi}(\boldsymbol{n}\cdot\boldsymbol{E}) \\ =& -\frac{1}{2h}\left[\boldsymbol{n}(\boldsymbol{E}\cdot\boldsymbol{\xi}) +\boldsymbol{\xi}(\boldsymbol{n}\cdot\boldsymbol{E})\right] \end{split} \end{equation}\end{split}\]

a pro výraz \(-\boldsymbol{D}\cdot\delta\boldsymbol{E}/4\pi\) platí

(74)\[-\frac{1}{4\pi}\boldsymbol{D}\cdot\delta\boldsymbol{E} =:\]

Literatura

[1]	(1, 2, 3, 4) Landau, L.D., Lifshitz, E.M, Electrodynamic of continuous media, Pergasmon Press, 2nd edition, 1984.