Gradientní pružnost - šroubová dislokace

Fourierova transformace

Fourierova transformace funkce \(f(x)\) je definována integrálem,

(1)\[\mathcal{F}[f](\omega)=\hat{f}(\omega)=\int_{-\infty}^\infty f(x)\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega x}\mathrm{d}x.\]

Její inverzní forma má tvar,

(2)\[\mathcal{F}^{-1}[f](x)=f(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty \hat{f}(\omega)\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega x}\mathrm{d}\omega.\]

V oblasti parciálních diferenciálních rovnic má fundamentální význam derivace Fourierovy transformace,

(3)\[\hat{f}^\prime(\omega)=\mathrm{i}\omega\hat{f}(\omega),\]

příp. derivace vyššího řádu,

(4)\[\hat{f}^{(n)}(\omega)=(\mathrm{i}\omega)^n\hat{f}(\omega).\]

V dalším je důležitá Fourierova transformace tzv. Diracovy funkce \(\delta(x)\), viz [1], pro kterou platí

(5)\[\int_{-\infty}^{\infty}\delta(x)F(x)=F(0)\]

pro libovolnou spojitou funkci \(F(x)\). Fourierova transformace Diracovy funkce je

(6)\[\hat{\delta}(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}\delta(x)\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega x}\mathrm{d}x=1.\]

Pak tedy i platí

(7)\[\delta(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega x}\mathrm{d}\omega.\]

Přestože výše uvedený integrál nekonverguje, formálně splňuje podmínku zobecněné funkce. V dalším je důležitá Fourierova transformace tzv. Heavysideovy funkce

(8)\[\begin{split}H(x)=\Big\{ \begin{array}{ccc} 1 & \mathrm{pro} & x>0,\\ 0 & \mathrm{pro} & x<0. \end{array}\end{split}\]

Její transformace má tvar, [2],

(9)\[\hat{H}(\omega)=\frac{1}{\mathrm{i}\omega},\]

jestliže je možné zdůvodnit vyloučení hodnoty výrazu \(\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega x}\) v bodě \(\omega=\infty\). Korektní výraz pro transformovanou Heavysideovu funkci je následující

(10)\[\hat{H}(\omega)=\frac{\mathrm{e}^{-\frac{1}{2}\pi\mathrm{i}\mathrm{sgn}\omega}}{|\omega|}.\]

Šroubová dislokace v izotropním materiálu

Řešení rovnice pro polorovinu,

(11)\[\frac{\partial^2w}{\partial^2x}+\frac{\partial^2w}{\partial^2y} -c\Bigg(\frac{\partial^4w}{\partial^4x}+2\frac{\partial^4w}{\partial^2x\partial^2y} +\frac{\partial^4w}{\partial^4y}\Bigg)=0\]

a s okrajovými podmínkami

(12)\[\begin{split}\begin{equation} \begin{split} w(x,0)=\frac{b}{2}\qquad &\mathrm{pro} \qquad c=0\,\wedge\,-\infty<x<0, \\ w(x,y)=0\qquad &\mathrm{pro} \qquad y\rightarrow \infty, \end{split} \end{equation}\end{split}\]

a

(13)\[\frac{\partial^2}{\partial y^2}(x,0)=0.\]

Rovnice (11) se po Fourierově transformaci (1) a (4) převede na obyčejnou diferenciální rovnici,

(14)\[\begin{split}\begin{equation} \begin{split} &-\omega^2\hat{w}(\omega,y)+\frac{\partial^2}{\partial y^2}\hat{w}(\omega,y) \\ &-c\Bigg(\omega^4\hat{w}(\omega,y)-2\omega^2\frac{\partial^2}{\partial y^2}\hat{w}(\omega,y) +\frac{\partial^4}{\partial y^4}\hat{w}(\omega,y)\Bigg)=0. \end{split} \end{equation}\end{split}\]

Pro řešení ve tvaru,

(15)\[\hat{w}(\omega,y)=\mathrm{e}^{\lambda y}\]

se dostane charakteristická rovnice

(16)\[-c\lambda^4+(1+2c\omega^2)\lambda^2-\omega^2-c\omega^4=0,\]

která má kořeny

(17)\[\lambda_{1,2,3,4}=\mp \omega,\mp\sqrt{\omega^2+\frac{1}{c}}.\]

Transformované řešení se pak hledá ve tvaru,

(18)\[\begin{split}\begin{equation} \begin{split} &\hat{w}(\omega,y)=\hat{A}(\omega)\mathrm{e}^{-\omega y}+\hat{B}(\omega)\mathrm{e}^{\omega y} +\hat{C}(\omega)\mathrm{e}^{-y\sqrt{\omega^2+\frac{1}{c}}} +\hat{D}(\omega)\mathrm{e}^{y\sqrt{\omega^2+\frac{1}{c}}} \\ &\quad\mathrm{pro}\quad y>0. \end{split} \end{equation}\end{split}\]

Aby \(\hat{w}(\omega,y)\) byla konvergentní pro \(y\rightarrow\infty\) musí podle druhé okrajové podmínky platit,

(19)\[\hat{D}(\omega)=0.\]

Protože \(\omega\) nabývá kladných i záporných hodnot na rozdíl od pouze kladného \(y\), může se transformované řešení \(\hat{w}(\omega,y)\) pro \(y>0\) přepsat do tvaru,

(20)\[\hat{w}(\omega,y)=\hat{A}(\omega)\mathrm{e}^{-|\omega|y}+\hat{C}(\omega)\mathrm{e}^{-y\sqrt{\omega^2+\frac{1}{c}}} \quad\mathrm{pro}\quad y>0.\]

Dalším krokem je inverzní transformace předchozího vztahu. Konvoluce ji umožňuje rozepsat následovně,

(21)\[\begin{split}\begin{equation} \begin{split} w(x,y) =& \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\hat{w}(\omega,y)\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega x}\mathrm{d}\omega \\ =& \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} A(\tau)\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega\tau}\mathrm{d}\tau \mathrm{e}^{-|\omega|y}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega x}\mathrm{d}\omega \\ &+ \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} \hat{C}(\omega)\mathrm{e}^{-y\sqrt{\omega^2+\frac{1}{c}}} \mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega x}\mathrm{d}\omega. \end{split} \end{equation}\end{split}\]

Pro \(y=0\) se v kombinaci s \(c=0\) pro posuv \(w\) a jeho derivaci \(\partial_{yy}\) může psát,

(22)\[\begin{split}\begin{equation} \begin{split} w(x,0) =& \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} A(\tau)\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega\tau}\mathrm{d}\tau \mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega x}\mathrm{d}\omega, \\ \frac{\partial^2}{\partial y^2}w(x,0) =& \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\omega^2A(\tau) \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega\tau}\mathrm{d}\tau\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega x}\mathrm{d}\omega \\ &+ \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} \hat{C}(\omega)\bigg(\omega^2+\frac{1}{c}\bigg) \mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega x}\mathrm{d}\omega. \end{split} \end{equation}\end{split}\]

Vzhledem k první okrajové podmínce z (12) se funkce \(A(\tau)\) předpokládá ve tvaru Heavysideovy funkce

(23)\[A(\tau)=AH(-\tau),\]

kde \(A\) je neznámá konstanta. Odtud plyne

(24)\[\frac{b}{2}H(-x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} AH(-\tau)\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega\tau}\mathrm{d}\tau \mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega x}\mathrm{d}\omega =AH(-x)\]

Z předchozí rovnosti vyplývá

(25)\[A=\frac{b}{2}.\]

Okrajová podmínka (13) se pomocí druhého vztahu v (22), vztahu (23) a (9) přepíše následovně,

(26)\[\begin{split}\begin{equation} \begin{split} 0 =& \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\omega^2AH(-\tau) \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega\tau}\mathrm{d}\tau\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega x}\mathrm{d}\omega \\ &+ \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} \hat{C}(\omega)\bigg(\omega^2+\frac{1}{c}\bigg) \mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega x}\mathrm{d}\omega \\ =& \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\Bigg\{-\omega^2A\frac{1}{\mathrm{i}\omega} + \hat{C}(\omega)\bigg(\omega^2+\frac{1}{c}\bigg)\Bigg\} \mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega x}\mathrm{d}\omega. \end{split} \end{equation}\end{split}\]

Odtud pro \(\hat{C}(\omega)\) z (26) plyne,

(27)\[\hat{C}(\omega)=-\frac{b}{2}\frac{\mathrm{i}\omega}{\omega^2+\frac{1}{c}}.\]

Pro řešení \(w(x,y)\), kde \(y>0\), pak platí,

(28)\[\begin{split}\begin{equation} \begin{split} w(x,y) =& \frac{b}{4\pi}\Bigg\{\int_{-\infty}^\infty\int_{-\infty}^{0} \mathrm{e}^{-|\omega|y+\mathrm{i}\omega(x-\tau)}\mathrm{d}\tau\mathrm{d}\omega \\ &- \int_{-\infty}^\infty\frac{\mathrm{i}\omega}{\omega^2+\frac{1}{c}} \mathrm{e}^{-y\sqrt{\omega^2+\frac{1}{c}}} \mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega x}\mathrm{d}\omega\Bigg\} \\ =& \frac{b}{4\pi}\Bigg\{\int_{-\infty}^0\Bigg[ \int_{-\infty}^0\mathrm{e}^{\omega[y+\mathrm{i}(x-\tau)]}\mathrm{d}\omega+ \int_0^{\infty}\mathrm{e}^{-\omega[y-\mathrm{i}(x-\tau)]}\mathrm{d}\omega \Bigg]\mathrm{d}\tau \\ &- \int_{-\infty}^\infty \frac{\mathrm{i}\omega(\cos\omega x+\mathrm{i}\sin\omega x)}{\omega^2+\frac{1}{c}} \mathrm{e}^{-y\sqrt{\omega^2+\frac{1}{c}}}\mathrm{d}\omega\Bigg\} \\ =& \frac{b}{4\pi}\Bigg\{\int_{-\infty}^0\Bigg[ \frac{1}{y+\mathrm{i}(x-\tau)}+\frac{1}{y-\mathrm{i}(x-\tau)}\Bigg]\mathrm{d}\tau \\ &- 2\int_0^\infty\frac{-\omega\sin\omega x}{\omega^2+\frac{1}{c}} \mathrm{e}^{-y\sqrt{\omega^2+\frac{1}{c}}}\mathrm{d}\omega\Bigg\} \\ =& \frac{b}{4\pi}\Bigg\{\int_{-\infty}^0\frac{2y}{y^2+(x-\tau)^2}\mathrm{d}\tau + 2\int_0^\infty\frac{\omega\sin\omega x}{\omega^2+\frac{1}{c}} \mathrm{e}^{-y\sqrt{\omega^2+\frac{1}{c}}}\mathrm{d}\omega\Bigg\} \\ =& \frac{b}{4\pi}\Bigg\{2\arctan\frac{y}{x} + 2\int_0^\infty\frac{\omega\sin\omega x}{\omega^2+\frac{1}{c}} \mathrm{e}^{-y\sqrt{\omega^2+\frac{1}{c}}}\mathrm{d}\omega\Bigg\} \\ =& \frac{b}{2\pi}\Bigg\{\arctan\frac{y}{x} + \int_0^\infty\frac{\omega\sin\omega x}{\omega^2+\frac{1}{c}} \mathrm{e}^{-y\sqrt{\omega^2+\frac{1}{c}}}\mathrm{d}\omega\Bigg\} \\ \end{split} \end{equation}\end{split}\]

Ve druhém integrálu byl využit fakt, že jde o jeho hlavní hodnotu. Platí pak, že lichá funkce nevlastního integrálu je nulová a u sudé funkce stačí integrovat pouze v oboru kladných nebo záporných čisel.

Šroubová dislokace v kubickém materiálu v rovině (110)

Rovnice pro polorovinu \(y>0\) šroubové dislokace v krystalografické rovině \((110)\) kubického materiálu má tvar,

(29)\[c_{55}\frac{\partial^2w}{\partial^2x}+c_{44}\frac{\partial^2w}{\partial^2y} -c\Bigg(c_{55}\frac{\partial^4w}{\partial^4x}+(c_{44}+c_{55})\frac{\partial^4w}{\partial^2x\partial^2y} +c_{44}\frac{\partial^4w}{\partial^4y}\Bigg)=0,\]

kde \(c_{44}\) a \(c_{55}\) jsou konstanty napěchované elastickými charakteristikami daného kubického materiálu. Okrajové podmínky jsou stejné jako v případě izotropního materiálu (12) a (13), tj.

(30)\[\begin{split}\begin{equation} \begin{split} w(x,0)=\frac{b}{2}\qquad &\mathrm{pro} \qquad c=0\,\wedge\,-\infty<x<0, \\ w(x,y)=0\qquad &\mathrm{pro} \qquad y\rightarrow \infty, \end{split} \end{equation}\end{split}\]

a

(31)\[\frac{\partial^2}{\partial y^2}(x,0)=0.\]

Rovnice (29) se může přepsat do tvaru,

(32)\[k\frac{\partial^2w}{\partial^2x}+\frac{\partial^2w}{\partial^2y} -c\Bigg(k\frac{\partial^4w}{\partial^4x}+(1+k)\frac{\partial^4w}{\partial^2x\partial^2y} +\frac{\partial^4w}{\partial^4y}\Bigg)=0,\]

kde

(33)\[k=\frac{c_{55}}{c_{44}}.\]

Řešení diferenciální rovnice (32) se hledá stejně jako v případě její izotropní varianty uvedené výše. Po Fourierově transformaci (1) a (4) se (32) převede na obyčejnou diferenciální rovnici,

(34)\[\begin{split}\begin{equation} \begin{split} &-k\omega^2\hat{w}(\omega,y)+\frac{\partial^2}{\partial y^2}\hat{w}(\omega,y) \\ &-c\Bigg(k\omega^4\hat{w}(\omega,y)-(1+k)\omega^2\frac{\partial^2}{\partial y^2}\hat{w}(\omega,y) +\frac{\partial^4}{\partial y^4}\hat{w}(\omega,y)\Bigg)=0. \end{split} \end{equation}\end{split}\]

Pro řešení ve tvaru,

(35)\[\hat{w}(\omega,y)=\mathrm{e}^{\lambda y}\]

se dostane charakteristická rovnice

(36)\[-c\lambda^4+\big[1+c(1+k)\omega^2\big]\lambda^2-k(\omega^2+c\omega^4)=0,\]

která má kořeny

(37)\[\lambda_{1,2,3,4}=\mp\sqrt{k}\omega,\mp\sqrt{\omega^2+\frac{1}{c}}.\]

Transformované řešení se pak hledá ve tvaru,

(38)\[\begin{split}\begin{equation} \begin{split} \hat{w}(\omega,y) =& \hat{A}(\omega)\mathrm{e}^{-\sqrt{k}\omega y} +\hat{B}(\omega)\mathrm{e}^{\sqrt{k}\omega y} \\ &+\hat{C}(\omega)\mathrm{e}^{-y\sqrt{\omega^2+\frac{1}{c}}} +\hat{D}(\omega)\mathrm{e}^{y\sqrt{\omega^2+\frac{1}{c}}} \end{split} \end{equation}\end{split}\]

pro \(y>0\). Aby \(\hat{w}(\omega,y)\) byla konvergentní pro \(y\rightarrow\infty\) musí podle druhé okrajové podmínky v (30) zmizet členy s kladnou mocninou v exponentu, což je očividně poslední člen, takže

(39)\[\hat{D}(\omega)=0.\]

Protože \(\omega\) může nabývat i záporných hodnot, může se vynechat třeba koeficient \(B(\omega)\) a celkové řešeni jednodušeji přepsat do tvaru

(40)\[\hat{w}(\omega,y)=\hat{A}(\omega)\mathrm{e}^{-\sqrt{k}|\omega|y}+\hat{C}(\omega)\mathrm{e}^{-y\sqrt{\omega^2+\frac{1}{c}}} \quad\mathrm{pro}\quad y>0.\]

Inverzní transformace předchozího vztahu vede pomocí konvoluce na integrální výraz

(41)\[\begin{split}\begin{equation} \begin{split} w(x,y) =& \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} \hat{w}(\omega,y)\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega x}\mathrm{d}\omega \\ =& \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty}A(\tau)\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega\tau}\mathrm{d}\tau \mathrm{e}^{-\sqrt{k}|\omega|y} \mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega x}\mathrm{d}\omega \\ &+ \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} \hat{C}(\omega)\mathrm{e}^{-y\sqrt{\omega^2+\frac{1}{c}}} \mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega x}\mathrm{d}\omega \end{split} \end{equation}\end{split}\]

Pro \(y=0\) se v kombinaci s \(c=0\) pro posuv \(w\) a jeho derivaci \(\partial_{yy}\) může psát,

(42)\[\begin{split}\begin{equation} \begin{split} w(x,0) =& \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} A(\tau)\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega\tau}\mathrm{d}\tau \mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega x}\mathrm{d}\omega, \\ \frac{\partial^2}{\partial y^2}w(x,0) =& \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}k\omega^2A(\tau) \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega\tau}\mathrm{d}\tau\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega x}\mathrm{d}\omega \\ &+ \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} \hat{C}(\omega)\bigg(\omega^2+\frac{1}{c}\bigg) \mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega x}\mathrm{d}\omega. \end{split} \end{equation}\end{split}\]

Vzhledem k první okrajové podmínce z (30) se funkce \(A(\tau)\) předpokládá ve tvaru Heavysideovy funkce

(43)\[A(\tau)=AH(-\tau),\]

kde \(A\) je neznámá konstanta. Odtud plyne

(44)\[\frac{b}{2}H(-x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} AH(-\tau)\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega\tau}\mathrm{d}\tau \mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega x}\mathrm{d}\omega =AH(-x)\]

Z předchozí rovnosti vyplývá

(45)\[A=\frac{b}{2}.\]

Okrajová podmínka (31) se pomocí druhého vztahu v (42), vztahu (43) a (9) přepíše následovně,

(46)\[\begin{split}\begin{equation} \begin{split} 0 =& \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}k\omega^2AH(-\tau) \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega\tau}\mathrm{d}\tau\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega x}\mathrm{d}\omega \\ &+ \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} \hat{C}(\omega)\bigg(\omega^2+\frac{1}{c}\bigg) \mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega x}\mathrm{d}\omega \\ =& \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\Bigg\{-k\omega^2A\frac{1}{\mathrm{i}\omega} + \hat{C}(\omega)\bigg(\omega^2+\frac{1}{c}\bigg)\Bigg\} \mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega x}\mathrm{d}\omega. \end{split} \end{equation}\end{split}\]

Odtud pro \(\hat{C}(\omega)\) z (46) plyne,

(47)\[\hat{C}(\omega)=-\frac{b}{2}\frac{\mathrm{i}k\omega}{\omega^2+\frac{1}{c}}.\]

Pro řešení \(w(x,y)\), kde \(y>0\), pak platí,

(48)\[\begin{split}\begin{equation} \begin{split} w(x,y) =& \frac{b}{4\pi}\Bigg\{\int_{-\infty}^\infty\int_{-\infty}^{0} \mathrm{e}^{-\sqrt{k}|\omega|y+\mathrm{i}\omega(x-\tau)}\mathrm{d}\tau\mathrm{d}\omega \\ &- \int_{-\infty}^\infty\frac{\mathrm{i}k\omega}{\omega^2+\frac{1}{c}} \mathrm{e}^{-y\sqrt{\omega^2+\frac{1}{c}}} \mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega x}\mathrm{d}\omega\Bigg\} \\ =& \frac{b}{4\pi}\Bigg\{\int_{-\infty}^0\Bigg[ \int_{-\infty}^0\mathrm{e}^{\omega[\sqrt{k}y+\mathrm{i}(x-\tau)]}\mathrm{d}\omega+ \int_0^{\infty}\mathrm{e}^{-\omega[\sqrt{k}y-\mathrm{i}(x-\tau)]}\mathrm{d}\omega \Bigg]\mathrm{d}\tau \\ &- \int_{-\infty}^\infty\frac{k\omega(\mathrm{i}\cos\omega x-\sin\omega x)}{\omega^2+\frac{1}{c}} \mathrm{e}^{-y\sqrt{\omega^2+\frac{1}{c}}} \mathrm{d}\omega\Bigg\} \\ =& \frac{b}{4\pi}\Bigg\{\int_{-\infty}^0\Bigg[ \frac{1}{\sqrt{k}y+\mathrm{i}(x-\tau)}+\frac{1}{\sqrt{k}y-\mathrm{i}(x-\tau)}\Bigg] \mathrm{d}\tau \\ &- \int_{-\infty}^\infty\frac{k\omega(\mathrm{i}\cos\omega x-\sin\omega x)}{\omega^2+\frac{1}{c}} \mathrm{e}^{-y\sqrt{\omega^2+\frac{1}{c}}} \mathrm{d}\omega\Bigg\} \\ =& \frac{b}{4\pi}\Bigg\{\int_{-\infty}^0 \frac{2\sqrt{k}y}{ky^2+(x-\tau)^2}\mathrm{d}\tau + 2\int_0^\infty\frac{k\omega\sin\omega x}{\omega^2+\frac{1}{c}} \mathrm{e}^{-y\sqrt{\omega^2+\frac{1}{c}}} \mathrm{d}\omega\Bigg\} \\ =& \frac{b}{4\pi}\Bigg\{2\arctan\sqrt{k}\frac{y}{x} + 2\int_0^\infty\frac{k\omega\sin\omega x}{\omega^2+\frac{1}{c}} \mathrm{e}^{-y\sqrt{\omega^2+\frac{1}{c}}} \mathrm{d}\omega\Bigg\} \\ =& \frac{b}{2\pi}\Bigg\{\arctan\sqrt{k}\frac{y}{x} + \int_0^\infty\frac{k\omega\sin\omega x}{\omega^2+\frac{1}{c}} \mathrm{e}^{-y\sqrt{\omega^2+\frac{1}{c}}} \mathrm{d}\omega\Bigg\}, \end{split} \end{equation}\end{split}\]

kde byl podobně jako v izotropním případě využit fakt, že jde o hlavní hodnoty integrálů.

[1]	Mura, T., Micromechanics of Defects in Solids, second and revised edition, Kluwer Academic Publishers, 1998.

[2]	Bueler, E., The Fourier transform of the Heavyside function: a tragedy, kurzy aplikované matematiky, University of Alaska Fairbanks, bueler.github.io/M611F05/Math611F05.htm, 2005.