Gradientní pružnost - šroubová dislokace
Fourierova transformace
Fourierova transformace funkce \(f(x)\) je definována integrálem,
(1)\[\mathcal{F}[f](\omega)=\hat{f}(\omega)=\int_{-\infty}^\infty f(x)\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega x}\mathrm{d}x.\]
Její inverzní forma má tvar,
(2)\[\mathcal{F}^{-1}[f](x)=f(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty
\hat{f}(\omega)\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega x}\mathrm{d}\omega.\]
V oblasti parciálních diferenciálních rovnic má fundamentální význam derivace Fourierovy transformace,
(3)\[\hat{f}^\prime(\omega)=\mathrm{i}\omega\hat{f}(\omega),\]
příp. derivace vyššího řádu,
(4)\[\hat{f}^{(n)}(\omega)=(\mathrm{i}\omega)^n\hat{f}(\omega).\]
V dalším je důležitá Fourierova transformace tzv. Diracovy funkce \(\delta(x)\), viz , pro kterou platí
(5)\[\int_{-\infty}^{\infty}\delta(x)F(x)=F(0)\]
pro libovolnou spojitou funkci \(F(x)\). Fourierova transformace Diracovy funkce je
(6)\[\hat{\delta}(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}\delta(x)\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega x}\mathrm{d}x=1.\]
Pak tedy i platí
(7)\[\delta(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega x}\mathrm{d}\omega.\]
Přestože výše uvedený integrál nekonverguje, formálně splňuje podmínku zobecněné funkce. V dalším je důležitá Fourierova transformace tzv. Heavysideovy funkce
(8)\[\begin{split}H(x)=\Big\{ \begin{array}{ccc}
1 & \mathrm{pro} & x>0,\\
0 & \mathrm{pro} & x<0.
\end{array}\end{split}\]
Její transformace má tvar, ,
(9)\[\hat{H}(\omega)=\frac{1}{\mathrm{i}\omega},\]
jestliže je možné zdůvodnit vyloučení hodnoty výrazu \(\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega x}\) v bodě \(\omega=\infty\). Korektní výraz pro transformovanou Heavysideovu funkci je následující
(10)\[\hat{H}(\omega)=\frac{\mathrm{e}^{-\frac{1}{2}\pi\mathrm{i}\mathrm{sgn}\omega}}{|\omega|}.\]
Šroubová dislokace v izotropním materiálu
Řešení rovnice pro polorovinu,
(11)\[\frac{\partial^2w}{\partial^2x}+\frac{\partial^2w}{\partial^2y}
-c\Bigg(\frac{\partial^4w}{\partial^4x}+2\frac{\partial^4w}{\partial^2x\partial^2y}
+\frac{\partial^4w}{\partial^4y}\Bigg)=0\]
a s okrajovými podmínkami
(12)\[\begin{split}\begin{equation}
\begin{split}
w(x,0)=\frac{b}{2}\qquad &\mathrm{pro} \qquad c=0\,\wedge\,-\infty<x<0, \\
w(x,y)=0\qquad &\mathrm{pro} \qquad y\rightarrow \infty,
\end{split}
\end{equation}\end{split}\]
a
(13)\[\frac{\partial^2}{\partial y^2}(x,0)=0.\]
Rovnice (11) se po Fourierově transformaci (1) a (4) převede na obyčejnou diferenciální rovnici,
(14)\[\begin{split}\begin{equation}
\begin{split}
&-\omega^2\hat{w}(\omega,y)+\frac{\partial^2}{\partial y^2}\hat{w}(\omega,y) \\
&-c\Bigg(\omega^4\hat{w}(\omega,y)-2\omega^2\frac{\partial^2}{\partial y^2}\hat{w}(\omega,y)
+\frac{\partial^4}{\partial y^4}\hat{w}(\omega,y)\Bigg)=0.
\end{split}
\end{equation}\end{split}\]
Pro řešení ve tvaru,
(15)\[\hat{w}(\omega,y)=\mathrm{e}^{\lambda y}\]
se dostane charakteristická rovnice
(16)\[-c\lambda^4+(1+2c\omega^2)\lambda^2-\omega^2-c\omega^4=0,\]
která má kořeny
(17)\[\lambda_{1,2,3,4}=\mp \omega,\mp\sqrt{\omega^2+\frac{1}{c}}.\]
Transformované řešení se pak hledá ve tvaru,
(18)\[\begin{split}\begin{equation}
\begin{split}
&\hat{w}(\omega,y)=\hat{A}(\omega)\mathrm{e}^{-\omega y}+\hat{B}(\omega)\mathrm{e}^{\omega y}
+\hat{C}(\omega)\mathrm{e}^{-y\sqrt{\omega^2+\frac{1}{c}}}
+\hat{D}(\omega)\mathrm{e}^{y\sqrt{\omega^2+\frac{1}{c}}} \\
&\quad\mathrm{pro}\quad y>0.
\end{split}
\end{equation}\end{split}\]
Aby \(\hat{w}(\omega,y)\) byla konvergentní pro \(y\rightarrow\infty\) musí podle druhé okrajové podmínky platit,
(19)\[\hat{D}(\omega)=0.\]
Protože \(\omega\) nabývá kladných i záporných hodnot na rozdíl od pouze kladného \(y\), může se transformované řešení \(\hat{w}(\omega,y)\) pro \(y>0\) přepsat do tvaru,
(20)\[\hat{w}(\omega,y)=\hat{A}(\omega)\mathrm{e}^{-|\omega|y}+\hat{C}(\omega)\mathrm{e}^{-y\sqrt{\omega^2+\frac{1}{c}}}
\quad\mathrm{pro}\quad y>0.\]
Dalším krokem je inverzní transformace předchozího vztahu. Konvoluce ji umožňuje rozepsat následovně,
(21)\[\begin{split}\begin{equation}
\begin{split}
w(x,y) =& \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\hat{w}(\omega,y)\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega x}\mathrm{d}\omega \\
=& \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}
A(\tau)\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega\tau}\mathrm{d}\tau
\mathrm{e}^{-|\omega|y}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega x}\mathrm{d}\omega \\
&+ \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}
\hat{C}(\omega)\mathrm{e}^{-y\sqrt{\omega^2+\frac{1}{c}}}
\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega x}\mathrm{d}\omega.
\end{split}
\end{equation}\end{split}\]
Pro \(y=0\) se v kombinaci s \(c=0\) pro posuv \(w\) a jeho derivaci \(\partial_{yy}\) může psát,
(22)\[\begin{split}\begin{equation}
\begin{split}
w(x,0) =& \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}
A(\tau)\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega\tau}\mathrm{d}\tau
\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega x}\mathrm{d}\omega, \\
\frac{\partial^2}{\partial y^2}w(x,0)
=& \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\omega^2A(\tau)
\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega\tau}\mathrm{d}\tau\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega x}\mathrm{d}\omega \\
&+ \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}
\hat{C}(\omega)\bigg(\omega^2+\frac{1}{c}\bigg)
\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega x}\mathrm{d}\omega.
\end{split}
\end{equation}\end{split}\]
Vzhledem k první okrajové podmínce z (12) se funkce \(A(\tau)\) předpokládá ve tvaru Heavysideovy funkce
(23)\[A(\tau)=AH(-\tau),\]
kde \(A\) je neznámá konstanta. Odtud plyne
(24)\[\frac{b}{2}H(-x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}
AH(-\tau)\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega\tau}\mathrm{d}\tau
\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega x}\mathrm{d}\omega
=AH(-x)\]
Z předchozí rovnosti vyplývá
(25)\[A=\frac{b}{2}.\]
Okrajová podmínka (13) se pomocí druhého vztahu v (22), vztahu (23) a (9) přepíše následovně,
(26)\[\begin{split}\begin{equation}
\begin{split}
0 =& \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\omega^2AH(-\tau)
\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega\tau}\mathrm{d}\tau\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega x}\mathrm{d}\omega \\
&+ \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}
\hat{C}(\omega)\bigg(\omega^2+\frac{1}{c}\bigg)
\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega x}\mathrm{d}\omega \\
=& \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\Bigg\{-\omega^2A\frac{1}{\mathrm{i}\omega}
+ \hat{C}(\omega)\bigg(\omega^2+\frac{1}{c}\bigg)\Bigg\}
\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega x}\mathrm{d}\omega.
\end{split}
\end{equation}\end{split}\]
Odtud pro \(\hat{C}(\omega)\) z (26) plyne,
(27)\[\hat{C}(\omega)=-\frac{b}{2}\frac{\mathrm{i}\omega}{\omega^2+\frac{1}{c}}.\]
Pro řešení \(w(x,y)\), kde \(y>0\), pak platí,
(28)\[\begin{split}\begin{equation}
\begin{split}
w(x,y) =& \frac{b}{4\pi}\Bigg\{\int_{-\infty}^\infty\int_{-\infty}^{0}
\mathrm{e}^{-|\omega|y+\mathrm{i}\omega(x-\tau)}\mathrm{d}\tau\mathrm{d}\omega \\
&- \int_{-\infty}^\infty\frac{\mathrm{i}\omega}{\omega^2+\frac{1}{c}}
\mathrm{e}^{-y\sqrt{\omega^2+\frac{1}{c}}}
\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega x}\mathrm{d}\omega\Bigg\} \\
=& \frac{b}{4\pi}\Bigg\{\int_{-\infty}^0\Bigg[
\int_{-\infty}^0\mathrm{e}^{\omega[y+\mathrm{i}(x-\tau)]}\mathrm{d}\omega+
\int_0^{\infty}\mathrm{e}^{-\omega[y-\mathrm{i}(x-\tau)]}\mathrm{d}\omega
\Bigg]\mathrm{d}\tau \\
&- \int_{-\infty}^\infty
\frac{\mathrm{i}\omega(\cos\omega x+\mathrm{i}\sin\omega x)}{\omega^2+\frac{1}{c}}
\mathrm{e}^{-y\sqrt{\omega^2+\frac{1}{c}}}\mathrm{d}\omega\Bigg\} \\
=& \frac{b}{4\pi}\Bigg\{\int_{-\infty}^0\Bigg[
\frac{1}{y+\mathrm{i}(x-\tau)}+\frac{1}{y-\mathrm{i}(x-\tau)}\Bigg]\mathrm{d}\tau \\
&- 2\int_0^\infty\frac{-\omega\sin\omega x}{\omega^2+\frac{1}{c}}
\mathrm{e}^{-y\sqrt{\omega^2+\frac{1}{c}}}\mathrm{d}\omega\Bigg\} \\
=& \frac{b}{4\pi}\Bigg\{\int_{-\infty}^0\frac{2y}{y^2+(x-\tau)^2}\mathrm{d}\tau
+ 2\int_0^\infty\frac{\omega\sin\omega x}{\omega^2+\frac{1}{c}}
\mathrm{e}^{-y\sqrt{\omega^2+\frac{1}{c}}}\mathrm{d}\omega\Bigg\} \\
=& \frac{b}{4\pi}\Bigg\{2\arctan\frac{y}{x}
+ 2\int_0^\infty\frac{\omega\sin\omega x}{\omega^2+\frac{1}{c}}
\mathrm{e}^{-y\sqrt{\omega^2+\frac{1}{c}}}\mathrm{d}\omega\Bigg\} \\
=& \frac{b}{2\pi}\Bigg\{\arctan\frac{y}{x}
+ \int_0^\infty\frac{\omega\sin\omega x}{\omega^2+\frac{1}{c}}
\mathrm{e}^{-y\sqrt{\omega^2+\frac{1}{c}}}\mathrm{d}\omega\Bigg\} \\
\end{split}
\end{equation}\end{split}\]
Ve druhém integrálu byl využit fakt, že jde o jeho hlavní hodnotu. Platí pak, že lichá funkce nevlastního integrálu je nulová a u sudé funkce stačí integrovat pouze v oboru kladných nebo záporných čisel.
Šroubová dislokace v kubickém materiálu v rovině (110)
Rovnice pro polorovinu \(y>0\) šroubové dislokace v krystalografické rovině \((110)\) kubického materiálu má tvar,
(29)\[c_{55}\frac{\partial^2w}{\partial^2x}+c_{44}\frac{\partial^2w}{\partial^2y}
-c\Bigg(c_{55}\frac{\partial^4w}{\partial^4x}+(c_{44}+c_{55})\frac{\partial^4w}{\partial^2x\partial^2y}
+c_{44}\frac{\partial^4w}{\partial^4y}\Bigg)=0,\]
kde \(c_{44}\) a \(c_{55}\) jsou konstanty napěchované elastickými charakteristikami daného kubického materiálu. Okrajové podmínky jsou stejné jako v případě izotropního materiálu (12) a (13), tj.
(30)\[\begin{split}\begin{equation}
\begin{split}
w(x,0)=\frac{b}{2}\qquad &\mathrm{pro} \qquad c=0\,\wedge\,-\infty<x<0, \\
w(x,y)=0\qquad &\mathrm{pro} \qquad y\rightarrow \infty,
\end{split}
\end{equation}\end{split}\]
a
(31)\[\frac{\partial^2}{\partial y^2}(x,0)=0.\]
Rovnice (29) se může přepsat do tvaru,
(32)\[k\frac{\partial^2w}{\partial^2x}+\frac{\partial^2w}{\partial^2y}
-c\Bigg(k\frac{\partial^4w}{\partial^4x}+(1+k)\frac{\partial^4w}{\partial^2x\partial^2y}
+\frac{\partial^4w}{\partial^4y}\Bigg)=0,\]
kde
(33)\[k=\frac{c_{55}}{c_{44}}.\]
Řešení diferenciální rovnice (32) se hledá stejně jako v případě její izotropní varianty uvedené výše. Po Fourierově transformaci (1) a (4) se (32) převede na obyčejnou diferenciální rovnici,
(34)\[\begin{split}\begin{equation}
\begin{split}
&-k\omega^2\hat{w}(\omega,y)+\frac{\partial^2}{\partial y^2}\hat{w}(\omega,y) \\
&-c\Bigg(k\omega^4\hat{w}(\omega,y)-(1+k)\omega^2\frac{\partial^2}{\partial y^2}\hat{w}(\omega,y)
+\frac{\partial^4}{\partial y^4}\hat{w}(\omega,y)\Bigg)=0.
\end{split}
\end{equation}\end{split}\]
Pro řešení ve tvaru,
(35)\[\hat{w}(\omega,y)=\mathrm{e}^{\lambda y}\]
se dostane charakteristická rovnice
(36)\[-c\lambda^4+\big[1+c(1+k)\omega^2\big]\lambda^2-k(\omega^2+c\omega^4)=0,\]
která má kořeny
(37)\[\lambda_{1,2,3,4}=\mp\sqrt{k}\omega,\mp\sqrt{\omega^2+\frac{1}{c}}.\]
Transformované řešení se pak hledá ve tvaru,
(38)\[\begin{split}\begin{equation}
\begin{split}
\hat{w}(\omega,y) =& \hat{A}(\omega)\mathrm{e}^{-\sqrt{k}\omega y}
+\hat{B}(\omega)\mathrm{e}^{\sqrt{k}\omega y} \\
&+\hat{C}(\omega)\mathrm{e}^{-y\sqrt{\omega^2+\frac{1}{c}}}
+\hat{D}(\omega)\mathrm{e}^{y\sqrt{\omega^2+\frac{1}{c}}}
\end{split}
\end{equation}\end{split}\]
pro \(y>0\). Aby \(\hat{w}(\omega,y)\) byla konvergentní pro \(y\rightarrow\infty\) musí podle druhé okrajové podmínky v (30) zmizet členy s kladnou mocninou v exponentu, což je očividně poslední člen, takže
(39)\[\hat{D}(\omega)=0.\]
Protože \(\omega\) může nabývat i záporných hodnot, může se vynechat třeba koeficient \(B(\omega)\) a celkové řešeni jednodušeji přepsat do tvaru
(40)\[\hat{w}(\omega,y)=\hat{A}(\omega)\mathrm{e}^{-\sqrt{k}|\omega|y}+\hat{C}(\omega)\mathrm{e}^{-y\sqrt{\omega^2+\frac{1}{c}}}
\quad\mathrm{pro}\quad y>0.\]
Inverzní transformace předchozího vztahu vede pomocí konvoluce na integrální výraz
(41)\[\begin{split}\begin{equation}
\begin{split}
w(x,y) =& \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}
\hat{w}(\omega,y)\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega x}\mathrm{d}\omega \\
=& \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}
\int_{-\infty}^{\infty}A(\tau)\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega\tau}\mathrm{d}\tau
\mathrm{e}^{-\sqrt{k}|\omega|y}
\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega x}\mathrm{d}\omega \\
&+ \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}
\hat{C}(\omega)\mathrm{e}^{-y\sqrt{\omega^2+\frac{1}{c}}}
\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega x}\mathrm{d}\omega
\end{split}
\end{equation}\end{split}\]
Pro \(y=0\) se v kombinaci s \(c=0\) pro posuv \(w\) a jeho derivaci \(\partial_{yy}\) může psát,
(42)\[\begin{split}\begin{equation}
\begin{split}
w(x,0) =& \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}
A(\tau)\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega\tau}\mathrm{d}\tau
\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega x}\mathrm{d}\omega, \\
\frac{\partial^2}{\partial y^2}w(x,0)
=& \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}k\omega^2A(\tau)
\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega\tau}\mathrm{d}\tau\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega x}\mathrm{d}\omega \\
&+ \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}
\hat{C}(\omega)\bigg(\omega^2+\frac{1}{c}\bigg)
\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega x}\mathrm{d}\omega.
\end{split}
\end{equation}\end{split}\]
Vzhledem k první okrajové podmínce z (30) se funkce \(A(\tau)\) předpokládá ve tvaru Heavysideovy funkce
(43)\[A(\tau)=AH(-\tau),\]
kde \(A\) je neznámá konstanta. Odtud plyne
(44)\[\frac{b}{2}H(-x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}
AH(-\tau)\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega\tau}\mathrm{d}\tau
\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega x}\mathrm{d}\omega
=AH(-x)\]
Z předchozí rovnosti vyplývá
(45)\[A=\frac{b}{2}.\]
Okrajová podmínka (31) se pomocí druhého vztahu v (42), vztahu (43) a (9) přepíše následovně,
(46)\[\begin{split}\begin{equation}
\begin{split}
0 =& \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}k\omega^2AH(-\tau)
\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega\tau}\mathrm{d}\tau\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega x}\mathrm{d}\omega \\
&+ \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}
\hat{C}(\omega)\bigg(\omega^2+\frac{1}{c}\bigg)
\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega x}\mathrm{d}\omega \\
=& \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\Bigg\{-k\omega^2A\frac{1}{\mathrm{i}\omega}
+ \hat{C}(\omega)\bigg(\omega^2+\frac{1}{c}\bigg)\Bigg\}
\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega x}\mathrm{d}\omega.
\end{split}
\end{equation}\end{split}\]
Odtud pro \(\hat{C}(\omega)\) z (46) plyne,
(47)\[\hat{C}(\omega)=-\frac{b}{2}\frac{\mathrm{i}k\omega}{\omega^2+\frac{1}{c}}.\]
Pro řešení \(w(x,y)\), kde \(y>0\), pak platí,
(48)\[\begin{split}\begin{equation}
\begin{split}
w(x,y) =& \frac{b}{4\pi}\Bigg\{\int_{-\infty}^\infty\int_{-\infty}^{0}
\mathrm{e}^{-\sqrt{k}|\omega|y+\mathrm{i}\omega(x-\tau)}\mathrm{d}\tau\mathrm{d}\omega \\
&- \int_{-\infty}^\infty\frac{\mathrm{i}k\omega}{\omega^2+\frac{1}{c}}
\mathrm{e}^{-y\sqrt{\omega^2+\frac{1}{c}}}
\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega x}\mathrm{d}\omega\Bigg\} \\
=& \frac{b}{4\pi}\Bigg\{\int_{-\infty}^0\Bigg[
\int_{-\infty}^0\mathrm{e}^{\omega[\sqrt{k}y+\mathrm{i}(x-\tau)]}\mathrm{d}\omega+
\int_0^{\infty}\mathrm{e}^{-\omega[\sqrt{k}y-\mathrm{i}(x-\tau)]}\mathrm{d}\omega
\Bigg]\mathrm{d}\tau \\
&- \int_{-\infty}^\infty\frac{k\omega(\mathrm{i}\cos\omega x-\sin\omega x)}{\omega^2+\frac{1}{c}}
\mathrm{e}^{-y\sqrt{\omega^2+\frac{1}{c}}}
\mathrm{d}\omega\Bigg\} \\
=& \frac{b}{4\pi}\Bigg\{\int_{-\infty}^0\Bigg[
\frac{1}{\sqrt{k}y+\mathrm{i}(x-\tau)}+\frac{1}{\sqrt{k}y-\mathrm{i}(x-\tau)}\Bigg]
\mathrm{d}\tau \\
&- \int_{-\infty}^\infty\frac{k\omega(\mathrm{i}\cos\omega x-\sin\omega x)}{\omega^2+\frac{1}{c}}
\mathrm{e}^{-y\sqrt{\omega^2+\frac{1}{c}}}
\mathrm{d}\omega\Bigg\} \\
=& \frac{b}{4\pi}\Bigg\{\int_{-\infty}^0
\frac{2\sqrt{k}y}{ky^2+(x-\tau)^2}\mathrm{d}\tau
+ 2\int_0^\infty\frac{k\omega\sin\omega x}{\omega^2+\frac{1}{c}}
\mathrm{e}^{-y\sqrt{\omega^2+\frac{1}{c}}}
\mathrm{d}\omega\Bigg\} \\
=& \frac{b}{4\pi}\Bigg\{2\arctan\sqrt{k}\frac{y}{x}
+ 2\int_0^\infty\frac{k\omega\sin\omega x}{\omega^2+\frac{1}{c}}
\mathrm{e}^{-y\sqrt{\omega^2+\frac{1}{c}}}
\mathrm{d}\omega\Bigg\} \\
=& \frac{b}{2\pi}\Bigg\{\arctan\sqrt{k}\frac{y}{x}
+ \int_0^\infty\frac{k\omega\sin\omega x}{\omega^2+\frac{1}{c}}
\mathrm{e}^{-y\sqrt{\omega^2+\frac{1}{c}}}
\mathrm{d}\omega\Bigg\},
\end{split}
\end{equation}\end{split}\]
kde byl podobně jako v izotropním případě využit fakt, že jde o hlavní hodnoty integrálů.