Piezoelektricita - zóna přepólování u bimateriálového vrubu¶
Součinitele intenzity napětí (FEniCS 2019.1.0)¶
Veškerou teorii včetně popisu LES formalismu a stanovení součinitelů intenzity napětí s pomocí \(\Psi\)-integrálu u piezoelektrických bimateriálových vrubů lze nalézt v [1] a [2]. Skripty pro FEniCS ve verzi (2019.1.0) lze stáhnout níže a potřebné vztahy, které jsou v nich použité jsou zde.
Změna polarizace ve vrcholu vrubu¶
Kritérium změny polarizace před čelem vrubu, viz [3] a [4]
kde \(E_C\) je koercitivní elektrické pole, \(P_0\) je remanentní polarizace, \(\sigma_{ij}\) a \(E_i\) jsou složky tenzoru a vektoru aktuálního napětí a elektrického pole a pro \(\Delta\varepsilon_{ij}\) a \(\Delta P_i\) platí
a
Zde \(\phi\) je úhel mezi osou \(x\) a směrem vláken (osou \(c\) čtverečné krystalové mřížky) a pro úhel \(\varphi\) platí
Podobně pro \(b\) platí
Zbývá parametr deformace čtverečné mřížky \(\varepsilon_D=(c-a)/a_0\) závisející na jejich krystalografických parametrech \(a\) a \(c\).
Vliv změny polarizace na součinitele intenzity napětí¶
U vlivu změny polarizace na hodnoty zobecněných součinitelů intenzity napětí se předpokládá pouze účinek mechanických (elastických) změn v oblasti přepólování [3]. Zatížení bimateriálového vrubu vlivem deformace \(\varepsilon_D\) v oblasti přepólování je ekvivalentní zatížení vrubu efektivní objemovou silou \(\Delta\boldsymbol{f}\), viz [5], která se dostane z rovnic rovnováhy
Vztah pro vyjádření zobecněných součinitelů intenzity napětí \(K^{(\alpha)}\) pomocí \(\Psi\)-integrálu se může zobecnit do tvaru, [6],
kde \(F_k\) a \(U_k\) jsou vektor napětí a posuvy na hranicích \(S_T\cup S_N\), a \(S_U\) oblasti \(A\). Část hranice \(S_N\) značí líce vrubu. Pro váhové funkce \(h_k^{(\alpha)}\) a \(H_k^{(\alpha)}\) jsou pomocná řešení z [1] nebo [2], která jsou navíc normovaná
Normovací člen \(Y\) má tvar [1], [2]
kde \(\omega_1\) a \(\omega_2\) jsou úhly rozevření vrubu, \(r\) je vzdálenost od jeho vrcholu, \(\boldsymbol{u}\) a \(\boldsymbol{t}\) jsou tzv. regulární řešení. Změna vlivem přepólování se děje v posledním plošném integrálu vztahu (7), pro který po dosazení druhého vztahu z (6) platí
Napětí \(\Delta\sigma_{ij}\) se dostane z konstitutivních vztahů, viz [1], [2]
Za \(\boldsymbol{\varepsilon}\) se dosadí \(\Delta\boldsymbol{\varepsilon}\) dané vztahem (2), které je konstantní v oblasti změny polarizace. Protože se v dalším bude předpokládat, že jsou líce vrubu izolované, tj. \(\boldsymbol{D}=0\), platí
V dalším se zanedbá vliv elektrické části zatížení způsobené změnou polarizace na zobecněné součinitele intenzity napětí. Napětí \(\Delta\boldsymbol{\sigma}\) je v oblasti \(A\) nulové a skokově se mění podél křivky \(L\) na nenulovou konstantní hodnotu v jisté malé oblasti přepólování v blízkosti vrcholu vrubu. Když pro ilustraci vybereme bod \([x_1^L,x_2^L]\) na křivce \(L\) tak, že vektor \(\mathrm{d}\boldsymbol{s}\) reprezentující orientaci křivky, má průměty \(\mathrm{d}x_1\) a \(\mathrm{d}x_2\) v kladném směru os \(x_1\) a \(x_2\), pak řezy složek tenzoru napětí \(\Delta\sigma_{ij}\) podél os \(x_1\) a \(x_2\) jsou "klesající" a "rostoucí" Heavisideovy funkce, jak ukazuje následující obrázek.

Skoková změna napětí \(\Delta\sigma_{ij}\) jako Heavysideové funkce v bodě \([x_1^L,x_2^L]\) křivky ohraničující zónu přepolóvání ve vrcholu vrubu.
To mimo jiné znamená
a
kde \(\mathrm{d}s\) je velikost vektoru \(\mathrm{d}\boldsymbol{s}\). Jestliže \(x_1^{a,b}\) a \(x_2^{a,b}\) jsou krajní hodnoty křivky \(L\) na ose \(x_1\) a \(x_2\), pak pro integrál (10) platí
Numerický příklad¶
Předpokládá se bimateriálový vrub složený z materiálů PZT-5H (horní materiál \(1\)) a BaTiO3 (dolní materiál \(2\)). Oba materiály mají natočená vlákna kolmo k rozhraní. Konfiguraci vrubu a uložení je na následujícím obrázku.

Bimateriálový vrub, PZT-5H s natočením vláken \(90^\circ\) (nahoře), BaTiO3 s natočením vláken taktéž \(90^\circ\) (dole).
Elastické a piezoelektrické konstanty obou materiálů jsou následující.
materiál | PZT-5H |
---|---|
\(C_{11}\) | \(11.7\times 10^{10}\,\mathrm{Pa}\) |
\(C_{12}\) | \(5.30\times 10^{10}\,\mathrm{Pa}\) |
\(C_{23}\) | \(5.50\times 10^{10}\,\mathrm{Pa}\) |
\(C_{22}\) | \(12.6\times 10^{10}\,\mathrm{Pa}\) |
\(C_{44}\) | \(3.53\times 10^{10}\,\mathrm{Pa}\) |
\(C_{66}\) | \(\big(C_{22}-C_{23}\big)/2\) |
\(e_{12}\) | \(-6.50\,\mathrm{C/m^2}\) |
\(e_{11}\) | \(23.30\,\mathrm{C/m^2}\) |
\(e_{26}\) | \(17.00\,\mathrm{C/m^2}\) |
\(\omega_{11}\) | \(13.0\times 10^{-9}\,\mathrm{C/Vm}\) |
\(\omega_{22}\) | \(15.1\times 10^{-9}\,\mathrm{C/Vm}\) |
\(E_c^\dagger\) | \(8.0\times10^5\,\mathrm{V/m}\) |
\(P_0^\dagger\) | \(0.39\,\mathrm{C/m^2}\) |
\(^{\dagger)}\) Zdroj: Piezo.com Support.
materiál | BaTiO3 |
---|---|
\(C_{11}\) | \(14.6\times 10^{10}\,\mathrm{Pa}\) |
\(C_{12}\) | \(6.60\times 10^{10}\,\mathrm{Pa}\) |
\(C_{23}\) | \(6.60\times 10^{10}\,\mathrm{Pa}\) |
\(C_{22}\) | \(15.0\times 10^{10}\,\mathrm{Pa}\) |
\(C_{44}\) | \(4.40\times 10^{10}\,\mathrm{Pa}\) |
\(C_{66}\) | \(\big(C_{22}-C_{23}\big)/2\) |
\(e_{12}\) | \(-4.35\,\mathrm{C/m^2}\) |
\(e_{11}\) | \(17.50\,\mathrm{C/m^2}\) |
\(e_{26}\) | \(11.40\,\mathrm{C/m^2}\) |
\(\omega_{11}\) | \(11.2\times 10^{-9}\,\mathrm{C/Vm}\) |
\(\omega_{22}\) | \(9.87\times 10^{-9}\,\mathrm{C/Vm}\) |
\(E_c^\ddagger\) | \(3.5\times10^5\,\mathrm{V/m}\) |
\(P_0^\ddagger\) | \(0.07\,\mathrm{C/m^2}\) |
\(^{\ddagger)}\) Zdroj: Nagata, K., Kiyota, T. Jpn. J. Appl. Phys. 28 (98), 1989.
Exponenty singularity jsou v další tabulce.
\(\omega_1/\omega_2\) | \(\delta_1\), \(\delta_2\), \(\delta_3\) |
---|---|
\(179^\circ\)/\(-180^\circ\) | \(0.5015\), \(0.5015+0.0135\mathrm{i}\), \(0.5015-0.0135\mathrm{i}\) |
\(159^\circ\)/\(-180^\circ\) | \(0.5071\), \(0.5242\), \(0.5669\) |
Pro zatížení \(\sigma=1.0\times10^6\,\mathrm{Pa}\) a pro \(\varepsilon_D=5.0\times10^{-3}\) se dostanou následující zóny přepólování.
Hodnoty zobecněných součinitelů intenzity napětí ukazuje následující tabulka.
\(\omega_1\) | \(K^{(1)}\,\mathrm{[Pa\times m^{\delta_1}]}\), \(K^{(2)}\,\mathrm{[Pa\times m^{\delta_2}]}\), \(K^{(3)}\,\mathrm{[Pa\times m^{\delta_3}]}\) |
---|---|
\(179^\circ\) | \(1.9094\times10^5\), \(-5.7641\times10^5-3.0103\times10^4\mathrm{i}\), \(-5.2975\times10^5+2.7667\times10^4\mathrm{i}\) |
\(159^\circ\) | \(-6.6037\times10^5\), \(4.1799\times10^4\), \(1.1019\times10^5\) |
Hraniční křivka zóny přepólování je tvořena úsečkami mezi jednotlivými body křivky, podél kterých se počítá křivkový integrál. Jestliže počáteční a koncový bod každé \(i\)-té úsečky (segmentu) jsou \(A_i\) a \(B_i\), přičemž se samozřejmě koncový a počáteční bod \(B_i\) a \(A_{i+1}\) úseku \(i\) a \(i+1\) navzájem překrývají, pak se integrál (15) podél úseku \(A_iB_i\) spočítá následovně
Změny v hodnotách zobecněných součinitelů intenzity napětí z důvodů změny polarizace ve vrcholu vrubu ukazuje poslední tabulka.
\(\omega_1\) | \(\Delta K^{(1)}\,\mathrm{[Pa\times m^{\delta_1}]}\), \(\Delta K^{(2)}\,\mathrm{[Pa\times m^{\delta_2}]}\), \(\Delta K^{(3)}\,\mathrm{[Pa\times m^{\delta_3}]}\) |
---|---|
\(179^\circ\) | \(1.6308\times10^5\), \(-1.5089\times10^5-2.1334\times10^5\mathrm{i}\), \(-1.3868\times10^5+1.9607\times10^5\mathrm{i}\) |
\(159^\circ\) | \(-1.7669\times10^5\), \(7.8342\times10^4\), \(6.7523\times10^5\) |
Použité skripty¶
binotch_piezo.py
- základní pythonovský skript pro výpočet zobecněných součinitelů intenzity napětí a jejich změn, výpočet pro stanovení zóny přepólování.binotch_piezo_gmsh.py
- pythonovský skript, který vytvoří a zkompiluje *.geo soubor a vytvoří konečnoprvkovou síť.binotch_piezo_FEniCS.py
- pythonovský skript pro konečnoprvkové výpočty ve FEniCSu.switch_zone_plot.py
- pythonovský skript pro vykresleni zóny přepólování.mod_LES_Mirek2.py
,mod_HSV_v4.py
- nutné pythonovské moduly s procedurami pro výpočet zobecněných součinitelů intenzity napětí, jejich změn vlivem přepólováním a stanovení zóny přepólování.
Literatura
[1] | (1, 2, 3, 4) Hrstka, M., Evaluation of Fracture Mechanical Parameters for Bi-Piezo-Material Notch, Dizertační práce, FSI VUT v Brně, 2019. |
[2] | (1, 2, 3, 4) Hrstka, M., Profant, T., Kotoul, M., Electro-mechanical singularities of piezoelectric bi-material notches and cracks, Engineering Fracture Mechanics, 2019, https://doi.org/10.1016/j.engfracmech.2019.05.016. |
[3] | (1, 2) Ricoeur, A., Kuna, M., Influence of electric fields on the fracture of ferroelectric ceramics, Journal of the European Ceramic Society, 23, 1313–1328, 2003. |
[4] | Zhu, T., Yang, W., Toughness variation of ferroelectrics by polarization switch under non-uniform electric field. Acta mater., 45 (11), 4695-4702, 1997. |
[5] | Rajapakse, R.K.N.D., Zeng, X., Toughening of conducting cracks due to domain switching. Acta mater., 49, 877–885, 2001. |
[6] | Belov, A.Y., Kirchner, H.O.K., Universal wieght functions for elastically anisotropic angularly inhomogenous media with notches or cracks. Philosophical Magazine A, 73 (6), 1621-1646. |