Gradientní pružnost - trhlina v homogenním materiálu¶
Skripty ke stažení¶
Rovnice rovnováhy¶
V gradientní pružnosti, viz část Gradientní pružnost, lze rovnice rovnováhy v polárním souřadnicovém systému napsat ve tvaru, viz také [2],
(1)¶\[s_r-c\Bigg(\nabla^2s_r-\frac{1}{r^2}s_r-2\frac{1}{r^2}\partial_\varphi s_\varphi\Bigg)=0\]
a
(2)¶\[s_\varphi-c\Bigg(\nabla^2s_\varphi-\frac{1}{r^2}s_\varphi+2\frac{1}{r^2}\partial_\varphi s_r\Bigg)=0,\]
kde
(3)¶\[\begin{split}\begin{equation}
\begin{split}
s_r =& 2(1-\nu)\partial_r\Bigg(\partial_ru_r+\frac{1}{r}u_r+\frac{1}{r}\partial_\varphi u_\varphi\Bigg) \\
& -(1-2\nu)\frac{1}{r}\partial_\varphi\Bigg(\partial_ru_\varphi-\frac{1}{r}\partial_\varphi u_r
+\frac{1}{r}u_\varphi\Bigg), \\
s_\varphi =& (1-2\nu)\partial_r\Bigg(\partial_ru_\varphi+\frac{1}{r}u_\varphi
-\frac{1}{r}\partial_\varphi u_r\Bigg) \\
& +2(1-\nu)\frac{1}{r}\partial_\varphi\Bigg(\partial_ru_r+\frac{1}{r}u_r
+\frac{1}{r}\partial_\varphi u_\varphi\Bigg).
\end{split}
\end{equation}\end{split}\]
V případě asymptotické analýzy se předpokládá, že měřítko řešeného problému je natolik velké, že rozměry zkoumané oblasti jsou úměrné vnitřní délkové materiálové konstantě \(c\). Pak v blízkosti singularit materiálu jsou gradienty deformace \(\partial_i\partial_ju_k\) dominantní vzhledem k samotné deformaci \(\partial_iu_j\) a řešení části v závorkách (1) a (2), tj.
(4)¶\[\nabla^2s_r-\frac{1}{r^2}s_r-2\frac{1}{r^2}\partial_\varphi s_\varphi=0\]
a
(5)¶\[\nabla^2s_\varphi-\frac{1}{r^2}s_\varphi+2\frac{1}{r^2}\partial_\varphi s_r=0,\]
zajistí, že rovnice rovnováhy budou splněny, protože zbývající části rovnice rovnováhy odpovídající klasické pružnosti (část rovnic mimo vliv konstanty \(c\)) bude zanedbatelně malá, tj.
(6)¶\[s_r\approx0\qquad\mathrm{a}\qquad s_\varphi \approx 0.\]
Vztahy pro posuvy, napětí a jejich gradienty¶
Součástí rovnic rovnováhy (1) a (2) jsou vztahy pro deformace a napětí, které jsou odvozeny v části Gradientní pružnost. Jejich tvar v polárním souřadnicovém systému a v závislosti na posuvech \(u_r\) a \(u_\varphi\) se mohou napsat pomocí výrazů uvedených níže.
Deformace \(\varepsilon_{rr}\), \(\varepsilon_{r\varphi}\) a \(\varepsilon_{\varphi\varphi}\) se vypočítají následovně
(7)¶\[\varepsilon_{rr}=\frac{\partial}{\partial r}u_r(r,\varphi),\]
(8)¶\[\varepsilon_{r\varphi}=\frac{1}{2}\frac{\partial}{\partial r}u_{\varphi}(r,\varphi)
+\frac{1}{2r}\bigg[-u_\varphi(r,\varphi)
+\frac{\partial}{\partial\varphi}u_r(r,\varphi)\bigg],\]
(9)¶\[\varepsilon_{\varphi\varphi}=\frac{1}{r}\bigg[u_r(r,\varphi)
+\frac{\partial}{\partial\varphi}u_\varphi(r,\varphi)\bigg],\]
Napětí \(\tau_{r\varphi}\) a \(\tau_{\varphi\varphi}\) se vypočítají podle vztahů
(10)¶\[\tau_{rr}=\frac{\lambda}{r}\bigg(u_r+\frac{\partial}{\partial\varphi}u_{\varphi}\bigg)
+(\lambda+2\mu)\frac{\partial}{\partial r}u_r,\]
(11)¶\[\tau_{r\varphi}=\mu\Bigg[\frac{\partial}{\partial r}u_\varphi
+\frac{1}{r}\bigg(-u_\varphi+\frac{\partial}{\partial\varphi}u_r\bigg)\Bigg],\]
(12)¶\[\tau_{\varphi\varphi}=\lambda\frac{\partial}{\partial r}u_r
+\frac{1}{r}(\lambda+2\mu)\bigg(u_r+\frac{\partial}{\partial\varphi}u_{\varphi}\bigg).\]
Momenty \(m_{rr\varphi}\), \(m_{r\varphi\varphi}\), \(m_{\varphi rr}\), \(m_{\varphi r\varphi}\) a \(m_{\varphi\varphi\varphi}\) se vypočítají podle vztahů
(13)¶\[m_{rrr}=c\Bigg[\frac{\lambda}{r}\bigg(\frac{\partial}{\partial r}u_r
+\frac{\partial^2}{\partial\varphi\partial r}u_{\varphi}\bigg)+
(\lambda+2\mu)\frac{\partial^2}{\partial r^2}u_r\Bigg],\]
(14)¶\[m_{rr\varphi}=\mu c\bigg[\frac{\partial^2}{\partial r^2}u_\varphi
-\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}u_\varphi
+\frac{1}{r}\frac{\partial^2}{\partial\varphi\partial r}u_r
+\frac{1}{r^2}u_{\varphi}-\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial\varphi}u_r\bigg],\]
(15)¶\[\begin{split}\begin{equation}
\begin{split}
m_{r\varphi\varphi} =& c\Bigg[\lambda\frac{\partial^2}{\partial r^2}u_r
+\frac{1}{r}(\lambda+2\mu)\bigg(\frac{\partial}{\partial r}u_r
+\frac{\partial^2}{\partial\varphi\partial r}u_\varphi\bigg) \\
& +\frac{1}{r^2}(-\lambda-2\mu)\bigg(u_r
+\frac{\partial}{\partial\varphi}u_\varphi\bigg)\Bigg],
\end{split}
\end{equation}\end{split}\]
(16)¶\[\begin{split}\begin{equation}
\begin{split}
m_{\varphi rr} =& \frac{c}{r}\Bigg[\frac{\lambda}{r}\bigg(\frac{\partial}{\partial\varphi}u_r
+\frac{\partial^2}{\partial\varphi^2}u_{\varphi}\bigg) \\
& -2\mu\bigg[\frac{\partial}{\partial r}u_\varphi+\frac{1}{r}\bigg(-u_\varphi
+\frac{\partial}{\partial\varphi}u_r\bigg)\bigg]
+(\lambda+2\mu)\frac{\partial^2}{\partial\varphi\partial r}u_r\Bigg],
\end{split}
\end{equation}\end{split}\]
(17)¶\[m_{\varphi\varphi r}=\mu c\bigg[\frac{2}{r}\frac{\partial}{\partial r}u_r
+\frac{1}{r}\frac{\partial^2}{\partial\varphi\partial r}u_{\varphi}
-\frac{2}{r^2}u_r-\frac{3}{r^2}\frac{\partial}{\partial\varphi}u_\varphi
+\frac{1}{r^2}\frac{\partial^2}{\partial\varphi^2}u_r\bigg],\]
(18)¶\[\begin{split}\begin{equation}
\begin{split}
m_{\varphi\varphi\varphi} =& \frac{c}{r}\Bigg[\lambda\frac{\partial^2}{\partial\varphi\partial r}u_r
+2\mu\frac{\partial}{\partial r}u_\varphi+\frac{2\mu}{r}\bigg(-u_\varphi
+\frac{\partial}{\partial\varphi}u_{r}\bigg) \\
& +\frac{1}{r}(\lambda+2\mu)\bigg(\frac{\partial}{\partial\varphi}u_r
+\frac{\partial^2}{\partial\varphi^2}u_\varphi\bigg)\Bigg].
\end{split}
\end{equation}\end{split}\]
Totální napětí \(t_{\varphi r}\) a \(t_{\varphi\varphi}\) se vypočítají podle vztahů
(19)¶\[\begin{split}\begin{equation}
\begin{split}
t_{\varphi r} =& -\mu c\Bigg[\frac{\partial^3}{\partial r^3}u_\varphi
+\frac{1}{r}\bigg(-\frac{\partial^2}{\partial r^2}u_\varphi
+\frac{\partial^3}{\partial\varphi\partial r^2}u_r\bigg) \\
& +\frac{2}{r^2}\bigg(\frac{\partial}{\partial r}u_\varphi
-\frac{\partial^2}{\partial\varphi\partial r}u_r\bigg)
+\frac{2}{r^3}\bigg(-u_\varphi+\frac{\partial}{\partial\varphi}u_r\bigg)\Bigg] \\
& -\frac{\mu c}{r^2}\Bigg[2\frac{\partial^2}{\partial\varphi\partial r}u_r
+\frac{\partial^3}{\partial\varphi^2\partial r}u_\varphi \\
& +\frac{1}{r}\bigg(-2\frac{\partial}{\partial\varphi}u_r
-3\frac{\partial^2}{\partial\varphi^2}u_\varphi
+\frac{\partial^3}{\partial\varphi^3}u_r\bigg)\Bigg] \\
& -\frac{\mu c}{r}\bigg(\frac{\partial^2}{\partial r^2}u_\varphi
-\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}u_\varphi
+\frac{1}{r}\frac{\partial^2}{\partial\varphi\partial r}u_r+\frac{1}{r^2}u_\varphi
-\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial\varphi}u_r\bigg) \\
& +\mu\Bigg[\frac{\partial}{\partial r}u_\varphi+\frac{1}{r}\bigg(-u_\varphi
+\frac{\partial}{\partial\varphi}u_r\bigg)\Bigg] \\
& -\frac{c}{r}\Bigg[\frac{\lambda}{r}\bigg(\frac{\partial^2}{\partial\varphi\partial r}u_r
+\frac{\partial^3}{\partial\varphi^2\partial r}u_{\varphi}\bigg)
-\frac{\lambda}{r^2}\bigg(\frac{\partial}{\partial\varphi}u_r
+\frac{\partial^2}{\partial\varphi^2}u_\varphi\bigg) \\
& -2\mu\Bigg[\frac{\partial^2}{\partial r^2}u_\varphi
+\frac{1}{r}\bigg(-\frac{\partial}{\partial r}u_\varphi
+\frac{\partial^2}{\partial\varphi\partial r}u_r\bigg)
-\frac{1}{r^2}\bigg(-u_\varphi+\frac{\partial}{\partial\varphi}u_r\bigg)\Bigg] \\
& +(\lambda+2\mu)\frac{\partial^3}{\partial\varphi\partial r^2}u_r\Bigg] \\
& +\frac{c}{r^2}\Bigg[\lambda\frac{\partial^2}{\partial\varphi\partial r}u_r
+2\mu\frac{\partial}{\partial r}u_\varphi+\frac{2\mu}{r}\bigg(-u_\varphi
+\frac{\partial}{\partial\varphi}u_r\bigg) \\
& +\frac{1}{r}(\lambda+2\mu)\bigg(\frac{\partial}{\partial\varphi}u_r
+\frac{\partial^2}{\partial\varphi^2}u_\varphi\bigg)\Bigg],
\end{split}
\end{equation}\end{split}\]
(20)¶\[\begin{split}\begin{equation}
\begin{split}
t_{\varphi\varphi} =& \lambda\frac{\partial}{\partial r}u_r
-\frac{\mu c}{r}\Bigg[2\frac{\partial^2}{\partial r^2}u_r
+\frac{\partial^3}{\partial\varphi\partial r^2}u_\varphi \\
& +\frac{1}{r}\bigg(-4\frac{\partial}{\partial r}u_r
-4\frac{\partial^2}{\partial\varphi\partial r}u_\varphi
+\frac{\partial^3}{\partial\varphi^2\partial r}u_r\bigg) \\
& +\frac{1}{r^2}\bigg(4u_r+6\frac{\partial}{\partial\varphi}u_\varphi
-2\frac{\partial^2}{\partial\varphi^2}u_r\bigg)\Bigg] \\
& -\frac{2\mu c}{r^2}\Bigg[2\frac{\partial}{\partial r}u_r
+\frac{\partial^2}{\partial\varphi\partial r}u_\varphi
+\frac{1}{r}\bigg(-2u_r-3\frac{\partial}{\partial\varphi}u_\varphi
+\frac{\partial^2}{\partial\varphi^2}u_r\bigg)\Bigg] \\
& -c\Bigg[\lambda\frac{\partial^3}{\partial r^3}u_r
+(\lambda+2\mu)\frac{1}{r}\bigg[\frac{\partial^2}{\partial r^2}u_r
+\frac{\partial^3}{\partial\varphi\partial r^2}u_\varphi \\
& -\frac{2}{r}\bigg(\frac{\partial}{\partial r}u_r
+\frac{\partial^2}{\partial\varphi\partial r}u_\varphi\bigg)
+\frac{2}{r^2}\bigg(u_r+\frac{\partial}{\partial\varphi}u_\varphi\bigg)\bigg]\Bigg] \\
& -\frac{c}{r}\bigg[\lambda\frac{\partial^2}{\partial r^2}u_r
+\frac{1}{r}(\lambda+2\mu)\bigg[\frac{\partial}{\partial r}u_r
+\frac{\partial^2}{\partial\varphi\partial r}u_\varphi
-\frac{1}{r}\bigg(u_r+\frac{\partial}{\partial\varphi}u_\varphi\bigg)\bigg]\Bigg] \\
& -\frac{c}{r^2}\Bigg[\lambda\frac{\partial^3}{\partial\varphi^2\partial r}u_r
+2\mu\frac{\partial^2}{\partial\varphi\partial r}u_\varphi
+\frac{2\mu}{r}\bigg(-\frac{\partial}{\partial\varphi}u_\varphi
+\frac{\partial^2}{\partial\varphi^2}u_r\bigg) \\
& +\frac{1}{r}(\lambda+2\mu)\bigg(u_r+\frac{\partial}{\partial\varphi}u_\varphi
+\frac{\partial^2}{\partial\varphi^2}u_r
+\frac{\partial^3}{\partial\varphi^3}u_\varphi\bigg)\Bigg].
\end{split}
\end{equation}\end{split}\]
Asymptotický rozvoj posuvů a napětí před čelem trhliny¶
Řešení \(u_r\) a \(u_\varphi\) rovnic rovnováhy (1) a (2) pro případ trhliny se předpokládají ve tvaru,
(21)¶\[u_r(r,\varphi)=r^pU_r(\varphi)\quad\mathrm{a}\quad u_\varphi(r,\varphi)=r^pU_\varphi(\varphi),\]
kde \(p\) je obecně komplexní konstanta. V případě trhliny v klasické pružnosti, tj. pro \(c\rightarrow0\) v rovnicích (1) a (2), se tvar \(U_r(\varphi)\) a \(U_\varphi(\varphi)\) hledá ve tvaru, viz např. [1],
(22)¶\[\begin{split}\begin{equation}
\begin{split}
U_r(\varphi) =& \sum_{i=1}^\infty\big\{A_{\pm i}(p)\cos(p\mp i)\varphi
+B_{\pm i}(p)\sin(p\mp i)\varphi\big\}, \\
U_\varphi(\varphi) =& \sum_{i=1}^\infty\big\{ C_{\pm i}(p)\cos(p\mp i)\varphi
+D_\pm(p)\sin(p\mp i)\varphi\big\} ,
\end{split}
\end{equation}\end{split}\]
kde \(A_{\pm i}=B_{\pm i}=C_{\pm i}=D_{\pm i}=0\) pro \(i=2,\dots,\infty\). V případě řešení rovnice (4) a (5) se předpokládá stejný tvar \(U_r(\varphi)\) a \(U_\varphi(\varphi)\), viz [2]. Úprava jednotlivých členů \(A_{\pm i},B_{\pm i},C_{\pm i}\) a \(D_{\pm i}\) pro případ gradientní pružnosti v Pythonu je zde a odpovídající soubor z Jupyteru lze stáhnout zde. Řešení tedy vypadá následovně
(23)¶\[\begin{split}\begin{equation}
\begin{split}
u_r(r,\varphi) =& r^p\big[A_1\cos(p-1)\varphi+A_2\cos(p+1)\varphi+A_3\cos(p-3)\varphi \\
& +B_1\sin(p-1)\varphi+B_2\sin(p+1)\varphi+B_3\sin(p-3)\varphi\big], \\
u_\varphi(r,\varphi) =& r^p\bigg[A_4\sin(p-1)\varphi-A_2\sin(p+1)\varphi \\
& -\frac{-8\nu+p+5}{8\nu+p-7}A_3\sin(p-3)\varphi \\
& +B_4\cos(p-1)\varphi+B_2\cos(p+1)\varphi \\
& +\frac{-8\nu+p+5}{8\nu+p-7}B_{3}\cos(p-3)\varphi\bigg],
\end{split}
\end{equation}\end{split}\]
kde \(A_i\) a \(B_i\) pro \(i=1,2,3,4\) jsou neznámé konstanty. Konstanty \(p\) a \(A_i\), \(B_i\) se určí z okrajových podmínek v okolí čela trhliny.
Při sestavování okrajových podmínek a podmínek kompatibility bude nutná znalost různých derivací funkcí \(u_r\) a \(u_\varphi\) a také momenty \(m_{ijk}\), které v polárním souřadnicovém systému mají tvar, který lze nalézt výše odstavci Vztahy pro posuvy, napětí a jejich gradienty. Pythonovský skript, pomocí kterého byly sestaveny následující vztahy, lze stáhnout zde včetně potřebného skriptu pro LaTeXovský výpis zde.
Dosazením za \(u_r\) a \(u_\varphi\) do vztahu (7), (8) a (9) se dostane,
(24)¶\[\begin{split}\begin{equation}
\begin{split}
\varepsilon_{ij} =& A_1d_1^{ij}+A_2d_2^{ij}+A_3d_3^{ij}+A_4d_4^{ij} \\
& +B_1e_1^{ij}+B_1e_1^{ij}+B_2e_2^{ij}+B_3e_3^{ij}+B_4e_4^{ij},
\end{split}
\end{equation}\end{split}\]
kde \(i,\,j=r,\,\varphi\) a
(25)¶\[\begin{split}\begin{equation}
\begin{split}
d_1^{rr} =& pr^{p-1}\cos\varphi(p-1), \\
d_2^{rr} =& pr^{p-1}\cos\varphi(p+1), \\
d_3^{rr} =& pr^{p-1}\cos\varphi(p-3), \\
d_4^{rr} =& 0, \\
e_1^{rr} =& pr^{p-1}\sin\varphi(p-1), \\
e_2^{rr} =& pr^{p-1}\sin\varphi(p+1), \\
e_3^{rr} =& pr^{p-1}\sin\varphi(p-3), \\
e_4^{rr} =& 0, \\
d_1^{r\varphi} =& \frac{1}{2}r^{p-1}(1-p)\sin\varphi(p-1), \\
d_2^{r\varphi} =& -pr^{p-1}\sin\varphi(p+1), \\
d_3^{r\varphi} =& \frac{1}{2}r^{p-1}\frac{-2p^2+16\nu+2p-16}{8\nu+p-7}\sin\varphi(p-3), \\
d_4^{r\varphi} =& -\frac{1}{2}r^{p-1}(1-p)\sin\varphi(p-1), \\
e_1^{r\varphi} =& -\frac{1}{2}r^{p-1}(1-p)\cos\varphi(p-1), \\
e_2^{r\varphi} =& pr^{p-1}\cos\varphi(p+1), \\
e_3^{r\varphi} =& \frac{1}{2}r^{p-1}\frac{2p^2-16\nu-2p+16}{8\nu+p-7}\cos\varphi(p-3), \\
e_4^{r\varphi} =& -\frac{1}{2}r^{p-1}(1-p)\cos\varphi(p-1), \\
d_1^{\varphi\varphi} =& r^{p-1}\cos\varphi(p-1), \\
d_2^{\varphi\varphi} =& -pr^{p-1}\cos\varphi(p+1), \\
d_3^{\varphi\varphi} =& r^{p-1}\frac{-p^2-p+8+8\nu(p-2)}{8\nu+p-7}\cos\varphi(p-3), \\
d_4^{\varphi\varphi} =& r^{p-1}(p-1)\cos\varphi(p-1), \\
e_1^{\varphi\varphi} =& r^{p-1}\sin\varphi(p-1), \\
e_2^{\varphi\varphi} =& -pr^{p-1}\sin\varphi(p+1), \\
e_3^{\varphi\varphi} =& r^{p-1}\frac{-p^2-p+8+8\nu(p-2)}{8\nu+p-7}\sin\varphi(p-3), \\
e_4^{\varphi\varphi} =& r^{p-1}(1-p)\sin\varphi(p-1).
\end{split}
\end{equation}\end{split}\]
Dosazením za \(u_r\) a \(u_\varphi\) do vztahu (11) a (12) se dostane,
(26)¶\[\begin{split}\begin{equation}
\begin{split}
\tau_{ij} =& A_1f_1^{ij}+A_2f_2^{ij}+A_3f_3^{ij}+A_4f_4^{ij} \\
& +B_1g_1^{ij}+B_1g_1^{ij}+B_2g_2^{ij}+B_3g_3^{ij}+B_4g_4^{ij},
\end{split}
\end{equation}\end{split}\]
kde \(i,j=r,\varphi\) a
(27)¶\[\begin{split}\begin{equation}
\begin{split}
f_1^{rr} =& r^{p-1}\big[\lambda(p+1)+2\mu p\big]\cos\varphi(p-1), \\
f_2^{rr} =& 2\mu pr^{p-1}\cos\varphi(p+1), \\
f_3^{rr} =& r^{p-1}\bigg[\frac{8\lambda(2\nu-1)(p-1)}{8\nu+p-7}+2\mu p\bigg]\cos\varphi(p-3), \\
f_4^{rr} =& r^{p-1}\lambda(p-1)\cos\varphi(p-1), \\
g_1^{rr} =& r^{p-1}(\lambda(p+1)+2\mu p)\sin\varphi(p-1), \\
g_2^{rr} =& 2\mu pr^{p-1}\sin\varphi(p+1), \\
g_3^{rr} =& r^{p-1}\bigg[\frac{8\lambda(2\nu-1)(p-1)}{8\nu+p-7}+2\mu p\bigg]\sin\varphi(p-3), \\
g_4^{rr} =& -r^{p-1}\lambda(p-1)\sin\varphi(p-1), \\
f_1^{r\varphi} =& -\mu r^{p-1}(p-1)\sin\varphi(p-1)), \\
f_2^{r\varphi} =& -2\mu pr^{p-1}\sin\varphi(p+1), \\
f_3^{r\varphi} =& -\mu r^{p-1}\frac{2(p^2-3p-8\nu+8)}{8\nu+p-7}\sin\varphi(p-3), \\
f_4^{r\varphi} =& \mu r^{p-1}(p-1)\sin\varphi(p-1), \\
g_1^{r\varphi} =& \mu r^{p-1}(p-1)\cos\varphi(p-1), \\
g_2^{r\varphi} =& 2\mu pr^{p-1}\cos\varphi(p+1), \\
g_3^{r\varphi} =& \mu r^{p-1}\frac{2(p^2-3p-8\nu+8)}{8\nu+p-7}\cos\varphi(p-3), \\
g_4^{r\varphi} =& \mu r^{p-1}(p-1)\cos\varphi(p-1), \\
f_1^{\varphi\varphi} =& r^{p-1}\big[\lambda(p+1)+2\mu\big]\cos\varphi(p-1), \\
f_2^{\varphi\varphi} =& -2\mu pr^{p-1}\cos\varphi(p+1), \\
f_3^{\varphi\varphi} =& r^{p-1}\frac{8\lambda(2\nu-1)(p-1)
+2\mu\big[8\nu(p-2)-p^2-p+8\big]}{8\nu+p-7}\cos\varphi(p-3), \\
f_4^{\varphi\varphi} =& r^{p-1}(\lambda+2\mu)(p-1)\cos\varphi(p-1), \\
g_1^{\varphi\varphi} =& r^{p-1}\big[\lambda(p+1)+2\mu\big]\sin\varphi(p-1), \\
g_2^{\varphi\varphi} =& -2\mu pr^{p-1}\sin\varphi(p+1), \\
g_3^{\varphi\varphi} =& r^{p-1}\frac{8\lambda(2\nu-1)(p-1)
+2\mu\big[8\nu(p-2)-p^2-p+8\big]}{8\nu+p-7}\sin\varphi(p-3), \\
g_4^{\varphi\varphi} =& -r^{p-1}(\lambda+2\mu)(p-1)\sin\varphi(p-1).
\end{split}
\end{equation}\end{split}\]
Podobně se dostanou vztahy pro momenty,
(28)¶\[\begin{split}\begin{equation}
\begin{split}
m_{ijk} =& A_1f_1^{ijk}+A_2f_2^{ijk}+A_3f_3^{ijk}+A_4f_4^{ijk} \\
& +B_1g_1^{ijk}+B_1g_1^{ijk}+B_2g_2^{ijk}+B_3g_3^{ijk}+B_4g_4^{ijk},
\end{split}
\end{equation}\end{split}\]
kde opět \(i,j,k=p,q\) a
(29)¶\[\begin{split}\begin{equation}
\begin{split}
f_1^{rrr} =& cr^{p-2}p\big[\lambda p+2\mu(p-1)\big]\cos\varphi(p-1), \\
f_2^{rrr} =& cr^{p-2}p\big[-\lambda+2\mu(p-1)\big]\cos\varphi(p+1), \\
f_3^{rrr} =& cr^{p-2}p\bigg[\frac{\lambda\big[8\nu(2p-3)-3(3p-5)\big]}{8\nu+p-7}
+2\mu(p-1)\bigg]\cos\varphi(p-3), \\
f_4^{rrr} =& cr^{p-2}p\lambda(p-1)\cos\varphi(p-1), \\
g_1^{rrr} =& cr^{p-2}p\big[\lambda p+2\mu(p-1)\big]\sin\varphi(p-1), \\
g_2^{rrr} =& cr^{p-2}p\big[-\lambda+2\mu(p-1)\big]\sin\varphi(p+1)), \\
g_3^{rrr} =& cr^{p-2}p\bigg[\frac{\lambda\big[8\nu(2p-3)-3(3p-5)\big]}{8\nu+p-7}
+2\mu(p-1)\bigg]\sin\varphi(p-3), \\
g_4^{rrr} =& -cr^{p-2}p\lambda(p-1)\sin\varphi(p-1), \\
f_1^{rr\varphi} =& -\mu cr^{p-2}(p-1)^2\sin\varphi(p-1), \\
f_2^{rr\varphi} =& -2\mu cr^{p-2}p(p-1)\sin\varphi(p+1), \\
f_3^{rr\varphi} =& 2r^{p-2}\mu c\frac{(p-1)(8\nu+2p^2-8)}{8\nu+p-7}\sin\varphi(p-3), \\
f_4^{rr\varphi} =& \mu cr^{p-2}(p-1)^2\sin\varphi(p-1), \\
g_1^{rr\varphi} =& \mu cr^{p-2}(p-1)^2\cos\varphi(p-1), \\
g_2^{rr\varphi} =& 2\mu cr^{p-2}p(p-1)\cos\varphi(p+1), \\
g_3^{rr\varphi} =& -2\mu cr^{p-2}\frac{(p-1)(8\nu+2p^2-8)}{8\nu+p-7}\cos\varphi(p-3), \\
g_4^{rr\varphi} =& \mu cr^{p-2}(p-1)^2\cos\varphi(p-1), \\
f_1^{r\varphi\varphi} =& cr^{p-2}(p-1)\big[\lambda(p+1)+2\mu\big]\cos\varphi(p-1), \\
f_2^{r\varphi\varphi} =& -2\mu cr^{p-2}p(p-1)\cos\varphi(p+1), \\
f_3^{r\varphi\varphi} =& 2cr^{p-2}(p-1)\Bigg[\frac{4\lambda(p+1)(2\nu-1)}{8\nu+p-7} \\
& +\frac{\mu\big[8\nu(p-2)-p^2-p+8\big]}{8\nu+p-7}\Bigg]\cos\varphi(p-3), \\
f_4^{r\varphi\varphi} =& cr^{p-2}(\lambda+2\mu)(p-1)^2\cos\varphi(p-1), \\
g_1^{r\varphi\varphi} =& cr^{p-2}\big[\lambda(p+1)+2\mu\big](p-1)\sin\varphi(p-1), \\
g_2^{r\varphi\varphi} =& -2\mu cr^{p-2}p(p-1)\sin\varphi(p+1), \\
g_3^{r\varphi\varphi} =& 2cr^{p-2}(p-1)\Bigg[\frac{4\lambda(p+1)(2\nu-1)}{8\nu+p-7} \\
& +\frac{\mu\big[8\nu(p-2)-p^2-p+8\big]}{8\nu+p-7}\Bigg]\sin\varphi(p-3), \\
g_4^{r\varphi\varphi} =& -cr^{p-2}(\lambda+2\mu)(p-1)^2\sin\varphi(p-1), \\
f_1^{\varphi rr} =& -cr^{p-2}(p-1)\big[\lambda(p+1)+2\mu(p-1)\big]\sin\varphi(p-1), \\
f_2^{\varphi rr} =& -2\mu cr^{p-2}p(p-1)\sin\varphi(p+1), \\
f_3^{\varphi rr} =& 2cr^{p-2}(p-1)\Bigg[\frac{4\lambda(1-2\nu)(p-3)}{8\nu+p-7} \\
& +\frac{\mu\big[-8\nu(p-2)-p^2+11p-16\big]}{8\nu+p-7}\Bigg]\sin\varphi(p-3), \\
f_4^{\varphi rr} =& -cr^{p-2}(p-1)\big[\lambda(p-1)+2\mu\big]\sin\varphi(p-1), \\
g_1^{\varphi rr} =& cr^{p-2}(p-1)\big[\lambda(p+1)+2\mu(p-1)\big]\cos\varphi(p-1), \\
g_2^{\varphi rr} =& 2\mu cr^{p-2}p(p-1)\cos\varphi(p+1), \\
g_3^{\varphi rr} =& -2cr^{p-2}(p-1)\Bigg[\frac{4\lambda(1-2\nu)(p-3)}{8\nu+p-7} \\
& +\frac{\mu\big[-8\nu(p-2)-p^2+11p-16\big]}{8\nu+p-7}\Bigg]\cos\varphi(p-3), \\
g_4^{\varphi rr} =& -cr^{p-2}(p-1)\big[\lambda(p-1)+2\mu\big]\cos\varphi(p-1), \\
f_1^{\varphi\varphi r} =& -\mu cr^{p-2}(p-3)(p-1)\cos\varphi(p-1), \\
f_2^{\varphi\varphi r} =& -2\mu cr^{p-2}p(p-1)\cos\varphi(p+1), \\
f_3^{\varphi\varphi r} =& 2\mu cr^{p-2}\frac{(p-1)\big(8\nu-p^2+7p-16\big)}{8\nu+p-7}\cos\varphi(p-3), \\
f_4^{\varphi\varphi r} =& \mu cr^{p-2}(p-3)(p-1)\cos\varphi(p-1), \\
g_1^{\varphi\varphi r} =& -\mu cr^{p-2}(p-3)(p-1)\sin\varphi(p-1), \\
g_2^{\varphi\varphi r} =& -2\mu cr^{p-2}p(p-1)\sin\varphi(p+1), \\
g_3^{\varphi\varphi r} =& 2\mu cr^{p-2}\frac{(p-1)\big(8\nu-p^2+7p-16\big)}{8\nu+p-7}\sin\varphi(p-3), \\
g_4^{\varphi\varphi r} =& -\mu cr^{p-2}(p-3)(p-1)\sin\varphi(p-1), \\
f_1^{\varphi\varphi\varphi} =& -cr^{p-2}(p-1)\big[\lambda(p+1)+4\mu\big]\sin\varphi(p-1), \\
f_2^{\varphi\varphi\varphi} =& 2\mu cr^{p-2}p(p-1)\sin\varphi(p+1), \\
f_3^{\varphi\varphi\varphi} =& cr^{p-2}2(p-1)\Bigg[\frac{4\lambda(1-2\nu)(p-3)}{8\nu+p-7} \\
& +\frac{\mu\big[-8\nu(p-4)+p^2-3p-8\big]}{8\nu+p-7}\Bigg]\sin\varphi(p-3), \\
f_4^{\varphi\varphi\varphi} =& -cr^{p-2}(p-1)\big[\lambda(p-1)+2\mu(p-2)\big]\sin\varphi(p-1), \\
g_1^{\varphi\varphi\varphi} =& cr^{p-2}(p-1)\big[\lambda(p+1)+4\mu\big]cos\varphi(p-1), \\
g_2^{\varphi\varphi\varphi} =& -2\mu cr^{p-2}p(p-1)\cos\varphi(p+1), \\
g_3^{\varphi\varphi\varphi} =& -cr^{p-2}2(p-1)\Bigg[\frac{4\lambda(1-2\nu)(p-3)}{8\nu+p-7} \\
& +\frac{\mu\big[-8\nu(p-4)+p^2-3p-8\big]}{8\nu+p-7}\Bigg]\cos\varphi(p-3), \\
g_4^{\varphi\varphi\varphi} =& -cr^{p-2}(p-1)\big[\lambda(p-1)+2\mu(p-2)\big]\cos\varphi(p-1k).
\end{split}
\end{equation}\end{split}\]
Nakonec se dostanou vztahy pro totální napětí,
(30)¶\[\begin{split}\begin{equation}
\begin{split}
t_{ij} =& A_1F_1^{ij}+A_2F_2^{ij}+A_3F_3^{ij}+A_4F_4^{ij} \\
& +B_{1}G_{1}^{ij}+B_{1}G_{1}^{ij}+B_{2}G_{2}^{ij}+B_{3}G_{3}^{ij}+B_{4}G_{4}^{ij},
\end{split}
\end{equation}\end{split}\]
kde opět \(i,j=p,q\) a
(31)¶\[\begin{split}\begin{equation}
\begin{split}
F_1^{\varphi r} =& r^{p-3}(p-1)\big[c(\lambda+2\mu)(p-2)(p+1)-\mu r^2\big]\sin\varphi(p-1), \\
F_2^{\varphi r} =& 2\mu r^{p-3}p\big[c(p-2)(p-1)-r^2\big]\sin\varphi(p+1), \\
F_3^{\varphi r} =& r^{p-3}\Bigg[c(p-2)\bigg[\frac{\lambda(p-3)^2(8\nu-p-5)}{8\nu+p-7} \\
& +\frac{2\mu\big[8\nu(-3p+11)+3p^2+4p-55\big]}{8\nu+p-7}\bigg] \\
& +c(p-3)(p-2)\big[\lambda(p+1)+2\mu(p+3)\big] \\
& +r^2\mu\bigg[\frac{(8\nu-p-5)(p-1)}{8\nu+p-7}-p+3\bigg]\Bigg]\sin\varphi(p-3), \\
F_4^{\varphi r} =& r^{p-3}(p-1)\Big[c(p-2)\big[\lambda(p-1)-2\mu\big]+r^2\mu\Big]\sin\varphi(p-1), \\
G_1^{\varphi r} =& r^{p-3}(p-1)\big[-c(\lambda+2\mu)(p+1)(p-2)+\mu r^2\big]\cos\varphi(p-1), \\
G_2^{\varphi r} =& 2\mu r^{p-3}p\big[-c(p-2)(p-1)+r^2\big]\cos\varphi(p+1), \\
G_3^{\varphi r} =& r^{p-3}\Bigg[c(p-2)\bigg[\frac{\lambda(p-3)^2(-8\nu+p+5)}{8\nu+p-7} \\
& +\frac{2\mu\big[8\nu(3p-11)-3p^2-4p+55\big]}{8\nu+p-7}\bigg] \\
& -c(p-3)(p-2)\big[\lambda(p+1)+2\mu(p+3)\big] \\
& +r^2\mu\bigg[\frac{(p-1)(-8\nu+p+5)}{8\nu+p-7}+p-3\bigg]\Bigg]\cos\varphi(p-3), \\
G_4^{\varphi r} =& r^{p-3}(p-1)\big[c(p-2)(\lambda(p-1)-2\mu)+\mu r^2\big]\cos\varphi(p-1), \\
F_1^{\varphi\varphi} =& r^{p-3}\Big[c\mu(p-1)(p+1)(p-2)
+r^2\big[\lambda(p+1)+2\mu\big]\Big]\cos\varphi(p-1), \\
F_2^{\varphi\varphi} =& 2\mu pr^{p-3}\big[c(p-1)(p-2)-r^2\big]\cos\varphi(p+1), \\
F_3^{\varphi\varphi} =& r^{p-3}\Bigg[c\frac{(p-2)(p-3)(-8\nu+p+5)\big[4\lambda+\mu(p+9)\big]}{8\nu+p-7} \\
& +c(p-2)\Big[-4\lambda(p+1)+\mu\big(p^2-4p-17\big)\Big] \\
& +r^2\bigg[\frac{-(p-3)(-8\nu+p+5)(\lambda+2\mu)}{8\nu+p-7} \\
& +\lambda(p+1)+2\mu\bigg]\Bigg]\cos\varphi(p-3), \\
F_4^{\varphi\varphi} =& r^{p-3}(p-1)\big[-c\mu(p+1)(p-2)+r^2(\lambda+2\mu)\big]\cos\varphi(p-1), \\
G_1^{\varphi\varphi} =& r^{p-3}\Big[c\mu(p-1)(p+1)(p-2)+r^2\big[\lambda(p+1)
+2\mu\big]\Big]\sin\varphi(p-1), \\
G_2^{\varphi\varphi} =& 2\mu pr^{p-3}\big[c(p-1)(p-2)-r^2\big]\sin\varphi(p+1), \\
G_3^{\varphi\varphi} =& r^{p-3}\Bigg[c\frac{(p-2)(p-3)(-8\nu+p+5)\big[4\lambda+\mu(p+9)\big]}{8\nu+p-7} \\
& +c(p-2)\big[-4\lambda(p+1)+\mu\big(p^2-4p-17\big)\big] \\
& +r^2\bigg[\frac{-(p-3)(-8\nu+p+5)(\lambda+2\mu)}{8\nu+p-7} \\
& +\lambda(p+1)+2\mu\bigg]\Bigg]\sin\varphi(p-3), \\
G_4^{\varphi\varphi} =& r^{p-3}(p-1)\big[c\mu(p+1)(p-2)-r^2(\lambda+2\mu)\big]\sin\varphi(p-1).
\end{split}
\end{equation}\end{split}\]
Exponent \(p\)¶
Konstanta \(p\) v předpokládaném tvaru řešení pro trhlinu (23) má nekonečně mnoho hodnot a proto je nutné stanovit její meze. Z energetických poměrů se dá určit dolní mez pro \(p\), (viz [4], kde je tato mez odhadnutá a řešená pro klasickou pružnost). Takže podmínkou akceptovatelnosti singularity \(p\) je, že celková deformační energie v oblasti obklopující singularitu musí zmizet, jestliže se plocha dané oblasti zmenšuje limitně k nule. Deformační energie se může vyjádřit z hustoty potenciální energie, viz Gradientní pružnost,
(32)¶\[W=\frac{1}{2}\lambda\varepsilon_{pp}\varepsilon_{qq}+\mu\varepsilon_{ij}\varepsilon_{ij}
+c\frac{1}{2}\lambda(\partial_r\varepsilon_{pp})(\partial_r\varepsilon_{qq})
+c\mu(\partial_r\varepsilon_{pq})(\partial_r\varepsilon_{pq}),\]
integrací přes oblast o poloměru \(R\),
(33)¶\[\begin{split}\begin{equation}
\begin{split}
W =& \frac{1}{2}\lambda\int_0^{2\pi}\int_0^R\varepsilon_{pp}\varepsilon_{qq}r\mathrm{d}r\mathrm{d}\varphi
+\mu\int_0^{2\pi}\int_0^R\varepsilon_{ij}\varepsilon_{ij}r\mathrm{d}r\mathrm{d}\varphi \\
& +c\frac{1}{2}\lambda\int_0^{2\pi}\int_0^R(\partial_r\varepsilon_{pp})
(\partial_r\varepsilon_{qq})r\mathrm{d}r\mathrm{d}\varphi \\
& +c\mu\int_0^{2\pi}\int_0^R(\partial_r\varepsilon_{pq})
(\partial_r\varepsilon_{pq})r\mathrm{d}r\mathrm{d}\varphi \\
=& C_1\int_0^Rr^{p-1}r^{p-1}r\mathrm{d}r+C_2\int_0^Rr^{p-2}r^{p-2}r\mathrm{d}r \\
=& C_1\int_0^Rr^{2(p-1)+1}\mathrm{d}r+C_2\int_0^Rr^{2(p-2)+1}\mathrm{d}r,
\end{split}
\end{equation}\end{split}\]
kde \(C_1\) a \(C_2\) jsou konstanty závisející na elastických konstantách a funkční závislosti posuvů na úhlu \(\varphi\). Aby předchozí integrály nebyly singulární, musí platit
(34)¶\[2(p-1)+1>-1\qquad\mathrm{a}\qquad2(p-2)+1>-1.\]
Stačí splnit pouze druhou nerovnost, první bude pak splněna automaticky, tedy musí platit (ono to není úplně pravda, hodnota \(p=1\) také vyhovuje, viz [2])
(35)¶\[p>1.\]
Stanovení konkrétní hodnoty konstanty \(p\) se provede "klasicky" na základě splnění okrajových podmínek v okolí vrcholu (kořene) trhliny. Tyto okrajové podmínky jsou následující
(36)¶\[\begin{split}\begin{equation}
\begin{split}
& t_{\varphi\varphi}(r,\pm\pi)=0,\quad t_{\varphi r}(r,\pm\pi)=0, \\
& m_{\varphi\varphi r}(r,\pm\pi)=0,\quad m_{\varphi\varphi\varphi}(r,\pm\pi)=0.
\end{split}
\end{equation}\end{split}\]
Totální napětí \(t_{pq}\) se mohou napsat pomocí vztahů (30) ve tvaru,
(37)¶\[\begin{split}\begin{equation}
\begin{split}
t_{pq}=& A_1F_1^{pq}+A_2F_2^{pq}+A_3F_3^{pq}+A_4F_4^{pq} \\
& +B_1G_1^{pq}+B_1G_1^{pq}+B_2G_2^{pq}+B_3G_3^{pq}+B_4G_4^{pq},
\end{split}
\end{equation}\end{split}\]
kde členy \(F_i^{pq}\) a \(G_i^{pq}\) lze nalézt v odstavci Asymptotický rozvoj posuvů a napětí před čelem trhliny. Kromě jiného, každý z nich závisí na konstantě \(c\) a poloměru \(r\). Protože homogenní podmínky (36) na \(r\) a \(c\) záviset nemohou, zůstanou ve výrazech \(F_i^{pq}\) a \(G_i^{pq}\) pouze členy, které jsou konstantou \(c\) vynásobeny. Jinými slovy, zůstanou tam pouze výrazy, které odpovídají singularitě v měřítku odpovídajícímu vlivu gradientů napětí. Ještě jinými slovy, zůstanou tam pouze členy z výrazů pro momenty \(m_{rpq}\) a jejich derivací. A ještě ještě jinými slovy, jestliže tedy podle (36) vztahy, viz Gradientní pružnost,
(38)¶\[\begin{split}\begin{equation}
\begin{split}
t_{\varphi r}\equiv P_r =& \tau_{r\varphi}-\partial_rm_{r\varphi r}-\frac{1}{r}m_{r\varphi r}
-\frac{1}{r}m_{\varphi rr} \\
& -\frac{1}{r}\partial_{\varphi}m_{\varphi\varphi r}
+\frac{1}{r}m_{\varphi\varphi\varphi}-\partial_{r}m_{\varphi rr}
\end{split}
\end{equation}\end{split}\]
a
(39)¶\[\begin{split}\begin{equation}
\begin{split}
t_{\varphi\varphi} \equiv P_\varphi =& \tau_{\varphi\varphi}-\partial_rm_{r\varphi\varphi}
-\frac{1}{r}m_{r\varphi\varphi}-\frac{1}{r}m_{\varphi r\varphi} \\
& -\frac{1}{r}m_{\varphi\varphi r}
-\frac{1}{r}\partial_{\varphi}m_{\varphi\varphi\varphi}+
\partial_{r}m_{\varphi r\varphi} \\
=& \tau_{\varphi\varphi}-\partial_rm_{r\varphi\varphi}
-\frac{1}{r}m_{r\varphi\varphi}-\frac{2}{r}m_{\varphi r\varphi} \\
& -\frac{1}{r}\partial_\varphi m_{\varphi\varphi\varphi}
+\partial_rm_{\varphi r\varphi}
\end{split}
\end{equation}\end{split}\]
položíme rovny nule, necháme tam jen výrazy s \(m_{rpq}\) a jejich derivacemi, tj.
(40)¶\[\begin{split}\begin{equation}
\begin{split}
-\partial_rm_{r\varphi r}-\frac{1}{r}m_{r\varphi r}-\frac{1}{r}m_{\varphi rr}
-\frac{1}{r}\partial_{\varphi}m_{\varphi\varphi r}+\frac{1}{r}m_{\varphi\varphi\varphi}
-\partial_rm_{\varphi rr} &= 0,\\
-\partial_rm_{r\varphi\varphi}-\frac{1}{r}m_{r\varphi\varphi}-\frac{2}{r}m_{\varphi r\varphi}
-\frac{1}{r}\partial_{\varphi}m_{\varphi\varphi\varphi}+\partial_rm_{\varphi r\varphi} &= 0.
\end{split}
\end{equation}\end{split}\]
Podobně jako totální napětí, i momenty \(m_{rpq}\) se mohou na základě (28) napsat ve tvaru
(41)¶\[\begin{split}\begin{equation}
\begin{split}
m_{rpq} =& A_1f_1^{rpq}+A_2f_2^{rpq}+A_3f_3^{rpq}+A_4f_4^{rpq} \\
& +B_1g_1^{rpq}+B_1g_1^{rpq}+B_2g_2^{rpq}+B_3g_3^{rpq}+B_4g_4^{rpq},
\end{split}
\end{equation}\end{split}\]
kde členy \(f_i^{pq}\) a \(g_i^{pq}\) jsou opět k nalezení v odstavci Asymptotický rozvoj posuvů a napětí před čelem trhliny. Tyto výrazy však již celé odpovídají členům ve Williamsově asymptotickém rozvoji se singularitou odpovídající měřítku vlivu gradientů napětí a není nutné z nich něco vybírat nebo ubírat. Takže, suma sumárum, můžeme podmínky (36) zapsat maticově,
(42)¶\[\begin{split}\begin{equation}
\begin{split}
& \left[
\begin{array}{llll}
F_1^{\varphi\varphi}(\pi) & F_2^{\varphi\varphi}(\pi)
& F_3^{\varphi\varphi}(\pi) & F_4^{\varphi\varphi}(\pi) \\
F_1^{\varphi r}(\pi) & F_2^{\varphi r}(\pi) & F_3^{\varphi r}(\pi) & F_4^{\varphi r}(\pi) \\
f_1^{\varphi\varphi r}(\pi) & f_2^{\varphi\varphi r}(\pi)
& f_3^{\varphi\varphi r}(\pi) & f_4^{\varphi\varphi r}(\pi) \\
f_1^{\varphi\varphi\varphi}(\pi) & f_2^{\varphi\varphi\varphi}(\pi)
& f_3^{\varphi\varphi\varphi}(\pi) & f_4^{\varphi\varphi\varphi}(\pi) \\
F_1^{\varphi\varphi}(-\pi) & F_2^{\varphi\varphi}(-\pi)
& F_3^{\varphi\varphi}(-\pi) & F_4^{\varphi\varphi}(-\pi) \\
F_1^{\varphi r}(-\pi) & F_2^{\varphi r}(-\pi) & F_3^{\varphi r}(-\pi) & F_4^{\varphi r}(-\pi) \\
f_1^{\varphi\varphi r}(-\pi) & f_2^{\varphi\varphi r}(-\pi)
& f_3^{\varphi\varphi r}(-\pi) & f_4^{\varphi\varphi r}(-\pi) \\
f_1^{\varphi\varphi\varphi}(-\pi) & f_2^{\varphi\varphi\varphi}(-\pi)
& f_3^{\varphi\varphi\varphi}(-\pi) & f_4^{\varphi\varphi\varphi}(-\pi)
\end{array}
\right. \\
& \left. \qquad \qquad
\begin{array}{llll}
G_1^{\varphi\varphi}(\pi) & G_2^{\varphi\varphi}(\pi)
& G_3^{\varphi\varphi}(\pi) & G_4^{\varphi\varphi}(\pi) \\
G_1^{\varphi r}(\pi) & G_2^{\varphi r}(\pi) & G_3^{\varphi r}(\pi) & G_4^{\varphi r}(\pi) \\
g_1^{\varphi\varphi r}(\pi) & g_2^{\varphi\varphi r}(\pi)
& g_3^{\varphi\varphi r}(\pi) & g_4^{\varphi\varphi r}(\pi) \\
g_1^{\varphi\varphi\varphi}(\pi) & g_2^{\varphi\varphi\varphi}(\pi)
& g_3^{\varphi\varphi\varphi}(\pi) & g_4^{\varphi\varphi\varphi}(\pi) \\
G_1^{\varphi\varphi}(-\pi) & G_2^{\varphi\varphi}(-\pi)
& G_3^{\varphi\varphi}(-\pi) & G_4^{\varphi\varphi}(-\pi) \\
G_1^{\varphi r}(-\pi) & G_2^{\varphi r}(-\pi) & G_3^{\varphi r}(-\pi) & G_4^{\varphi r}(-\pi) \\
g_1^{\varphi\varphi r}(-\pi) & g_2^{\varphi\varphi r}(-\pi)
& g_3^{\varphi\varphi r}(-\pi) & g_4^{\varphi\varphi r}(-\pi) \\
g_1^{\varphi\varphi\varphi}(-\pi) & g_2^{\varphi\varphi\varphi}(-\pi)
& g_3^{\varphi\varphi\varphi}(-\pi) & g_4^{\varphi\varphi\varphi}(-\pi)
\end{array}
\right]
\left[
\begin{array}{c}
A_1 \\
A_2 \\
A_3 \\
A_4 \\
B_1 \\
B_2 \\
B_3 \\
B_4
\end{array}
\right]=\boldsymbol{0},
\end{split}
\end{equation}\end{split}\]
kde \(F_i^{pq}\), \(G_i^{pq}\), \(f_i^{pqr}\) a \(g_i^{pqr}\) se mohou psát ke tvaru
(43)¶\[\begin{split}\begin{equation}
\begin{split}
F_1^{\varphi r}(\pm\pi) =& \pm(\lambda+2\mu)\big(p^2-1\big)\sin\pi(p-1), \\
F_2^{\varphi r}(\pm\pi) =& \pm2\mu p(p-1)\sin\pi(p+1), \\
F_3^{\varphi r}(\pm\pi) =& \pm\Bigg(\frac{\lambda(p-3)^2(8\nu-p-5)}{8\nu+p-7} \\
& +\frac{2\mu\big[8\nu(-3p+11)+3p^2+4p-55\big]}{8\nu+p-7} \\
& +(p-3)\big[\lambda(p+1)+2\mu(p+3)\big]\Bigg)\sin\pi(p-3), \\
F_4^{\varphi r}(\pm\pi) =& \pm(p-1)\big[\lambda(p-1)-2\mu\big]\sin\pi(p-1), \\
G_1^{\varphi r}(\pm\pi) =& -(\lambda+2\mu)\big(p^2-1\big)\cos\pi(p-1), \\
G_2^{\varphi r}(\pm\pi) =& -2\mu p(p-1)\cos\pi(p+1), \\
G_3^{\varphi r}(\pm\pi) =& \Bigg(\frac{\lambda(p-3)^2(-8\nu+p+5)}{8\nu+p-7} \\
& +\frac{2\mu\big[8\nu(3p-11)-3p^2-4p+55\big]}{8\nu+p-7} \\
& -(p-3)\big[\lambda(p+1)+2\mu(p+3)\big]\Bigg)\cos\pi(p-3), \\
G_4^{\varphi r}(\pm\pi) =& (p-1)\big[\lambda(p-1)-2\mu\big]\cos\pi(p-1),
\end{split}
\end{equation}\end{split}\]
(44)¶\[\begin{split}\begin{equation}
\begin{split}
F_1^{\varphi\varphi}(\pm\pi) =& \mu\big(p^2-1\big)\cos\pi(p-1), \\
F_2^{\varphi\varphi}(\pm\pi) =& 2\mu p(p-1)\cos\pi(p+1), \\
F_3^{\varphi\varphi}(\pm\pi) =& \Bigg(\frac{(p-3)(-8\nu+p+5)\big[4\lambda+\mu(p+9)\big]}{8\nu+p-7} \\
& +\Big[-4\lambda(p+1)+\mu\big(p^2-4p-17\big)\Big]\Bigg)\cos\pi(p-3), \\
F_4^{\varphi\varphi}(\pm\pi) =& -\mu\big(p^2-1\big)\cos\pi(p-1), \\
G_1^{\varphi\varphi}(\pm\pi) =& \pm\mu\big(p^2-1\big)\sin\pi(p-1), \\
G_2^{\varphi\varphi}(\pm\pi) =& \pm2\mu p(p-1)\sin\pi(p+1), \\
G_3^{\varphi\varphi}(\pm\pi) =& \pm\Bigg(\frac{(p-3)(-8\nu+p+5)\big[4\lambda+\mu(p+9)\big]}{8\nu+p-7} \\
& +\Big[-4\lambda(p+1)+\mu\big(p^2-4p-17\big)\Big]\Bigg)\sin\pi(p-3), \\
G_4^{\varphi\varphi}(\pm\pi) =& \pm\mu\big(p^2-1\big)\sin\pi(p-1),
\end{split}
\end{equation}\end{split}\]
(45)¶\[\begin{split}\begin{equation}
\begin{split}
f_1^{\varphi\varphi r}(\pm\pi) =& -(p-3)\cos\pi(p-1), \\
f_2^{\varphi\varphi r}(\pm\pi) =& -2p\cos\pi(p+1), \\
f_3^{\varphi\varphi r}(\pm\pi) =& 2\frac{8\nu-p^2+7p-16}{8\nu+p-7}\cos\pi(p-3), \\
f_4^{\varphi\varphi r}(\pm\pi) =& (p-3)\cos\pi(p-1), \\
g_1^{\varphi\varphi r}(\pm\pi) =& \mp(p-3)\sin\pi(p-1), \\
g_2^{\varphi\varphi r}(\pm\pi) =& \mp2p\sin\pi(p+1), \\
g_3^{\varphi\varphi r}(\pm\pi) =& \pm2\frac{8\nu-p^2+7p-16}{8\nu+p-7}\sin\pi(p-3), \\
g_4^{\varphi\varphi r}(\pm\pi) =& \mp(p-3)\sin\pi(p-1),
\end{split}
\end{equation}\end{split}\]
(46)¶\[\begin{split}\begin{equation}
\begin{split}
f_1^{\varphi\varphi\varphi}(\pm\pi) =& \mp\big[\lambda(p+1)+4\mu\big]\sin\pi(p-1), \\
f_2^{\varphi\varphi\varphi}(\pm\pi) =& \pm2\mu p\sin(\pi(p+1), \\
f_3^{\varphi\varphi\varphi}(\pm\pi) =& \pm\Bigg(\frac{8\lambda(1-2\nu)(p-3)}{8\nu+p-7} \\
& +\frac{2\mu\big[-8\nu(p-4)+p^2-3p-8\big]}{8\nu+p-7}
\Bigg)\sin\pi(p-3), \\
f_4^{\varphi\varphi\varphi}(\pm\pi) =& \mp\big[\lambda(p-1)+2\mu(p-2)\big]\sin\pi(p-1), \\
g_1^{\varphi\varphi\varphi}(\pm\pi) =& \big[\lambda(p+1)+4\mu\big]\cos\pi(p-1), \\
g_2^{\varphi\varphi\varphi}(\pm\pi) =& -2\mu p\cos\pi(p+1), \\
g_3^{\varphi\varphi\varphi}(\pm\pi) =& \Bigg(-\frac{8\lambda(1-2\nu)(p-3)}{8\nu+p-7} \\
& +\frac{2\mu\big[-8\nu(p-4)+p^2-3p-8\big]}{8\nu+p-7}
\Bigg)\cos\pi(p-3), \\
g_4^{\varphi\varphi\varphi}(\pm\pi) =& -\big[\lambda(p-1)+2\mu(p-2)\big]\cos\pi(p-1).
\end{split}
\end{equation}\end{split}\]
Soustava rovnic (42) se může přepsat do tvaru
(47)¶\[\begin{split}\begin{equation}
\begin{split}
& \left[
\begin{array}{llll}
F_1^{\varphi\varphi}(\pi) & F_2^{\varphi\varphi}(\pi)
& F_3^{\varphi\varphi}(\pi) & F_4^{\varphi\varphi}(\pi) \\
F_1^{\varphi r}(\pi) & F_2^{\varphi r}(\pi) & F_3^{\varphi r}(\pi) & F_4^{\varphi r}(\pi) \\
f_1^{\varphi\varphi r}(\pi) & f_2^{\varphi\varphi r}(\pi)
& f_3^{\varphi\varphi r}(\pi) & f_4^{\varphi\varphi r}(\pi) \\
f_1^{\varphi\varphi\varphi}(\pi) & f_2^{\varphi\varphi\varphi}(\pi)
& f_3^{\varphi\varphi\varphi}(\pi) & f_4^{\varphi\varphi\varphi}(\pi) \\
F_1^{\varphi\varphi}(\pi) & F_2^{\varphi\varphi}(\pi)
& F_3^{\varphi\varphi}(\pi) & F_4^{\varphi\varphi}(\pi) \\
-F_1^{\varphi r}(\pi) & -F_2^{\varphi r}(\pi) & -F_3^{\varphi r}(\pi) & -F_4^{\varphi r}(\pi) \\
f_1^{\varphi\varphi r}(\pi) & f_2^{\varphi\varphi r}(\pi)
& f_3^{\varphi\varphi r}(\pi) & f_4^{\varphi\varphi r}(\pi) \\
-f_1^{\varphi\varphi\varphi}(\pi) & -f_2^{\varphi\varphi\varphi}(\pi)
& -f_3^{\varphi\varphi\varphi}(\pi) & -f_4^{\varphi\varphi\varphi}(\pi)
\end{array}
\right. \\
& \qquad \qquad
\left.
\begin{array}{llll}
G_1^{\varphi\varphi}(\pi) & G_2^{\varphi\varphi}(\pi)
& G_3^{\varphi\varphi}(\pi) & G_4^{\varphi\varphi}(\pi) \\
G_1^{\varphi r}(\pi) & G_2^{\varphi r}(\pi) & G_3^{\varphi r}(\pi) & G_4^{\varphi r}(\pi) \\
g_1^{\varphi\varphi r}(\pi) & g_2^{\varphi\varphi r}(\pi)
& g_3^{\varphi\varphi r}(\pi) & g_4^{\varphi\varphi r}(\pi) \\
g_1^{\varphi\varphi\varphi}(\pi) & g_2^{\varphi\varphi\varphi}(\pi)
& g_3^{\varphi\varphi\varphi}(\pi) & g_4^{\varphi\varphi\varphi}(\pi) \\
-G_1^{\varphi\varphi}(\pi) & -G_2^{\varphi\varphi}(\pi)
& -G_3^{\varphi\varphi}(\pi) & -G_4^{\varphi\varphi}(\pi) \\
G_1^{\varphi r}(\pi) & G_2^{\varphi r}(\pi) & G_3^{\varphi r}(\pi) & G_4^{\varphi r}(\pi) \\
-g_1^{\varphi\varphi r}(\pi) & -g_2^{\varphi\varphi r}(\pi)
& -g_3^{\varphi\varphi r}(\pi) & -g_4^{\varphi\varphi r}(\pi) \\
g_1^{\varphi\varphi\varphi}(\pi) & g_2^{\varphi\varphi\varphi}(\pi)
& g_3^{\varphi\varphi\varphi}(\pi) & g_4^{\varphi\varphi\varphi}(\pi)
\end{array}
\right]
\left[
\begin{array}{l}
A_1 \\
A_2 \\
A_3 \\
A_4 \\
B_1 \\
B_2 \\
B_3 \\
B_4
\end{array}
\right]=\boldsymbol{0}
\end{split}
\end{equation}\end{split}\]
a přeuspořádat,
(48)¶\[\begin{split}\begin{equation}
\begin{split}
& \left[
\begin{array}{llll}
F_1^{\varphi\varphi} & F_2^{\varphi\varphi}
& F_3^{\varphi\varphi} & F_4^{\varphi\varphi} \\
F_1^{\varphi r} & F_2^{\varphi r}
& F_3^{\varphi r} & F_4^{\varphi r} \\
f_1^{\varphi\varphi r} & f_2^{\varphi\varphi r}
& f_3^{\varphi\varphi r} & f_4^{\varphi\varphi r} \\
f_1^{\varphi\varphi\varphi} & f_2^{\varphi\varphi\varphi}
& f_3^{\varphi\varphi\varphi} & f_4^{\varphi\varphi\varphi} \\
F_1^{\varphi\varphi} & F_2^{\varphi\varphi}
& F_3^{\varphi\varphi} & F_4^{\varphi\varphi} \\
F_1^{\varphi r} & F_2^{\varphi r}
& F_3^{\varphi r} & F_4^{\varphi r} \\
f_1^{\varphi\varphi r} & f_2^{\varphi\varphi r}
& f_3^{\varphi\varphi r} & f_4^{\varphi\varphi r} \\
f_1^{\varphi\varphi\varphi} & f_2^{\varphi\varphi\varphi}
& f_3^{\varphi\varphi\varphi} & f_4^{\varphi\varphi\varphi}
\end{array}
\right. \\
& \qquad \qquad
\left.
\begin{array}{llll}
G_1^{\varphi\varphi} & G_2^{\varphi\varphi}
& G_3^{\varphi\varphi} & G_4^{\varphi\varphi} \\
G_1^{\varphi r} & G_2^{\varphi r}
& G_3^{\varphi r} & G_4^{\varphi r} \\
g_1^{\varphi\varphi r} & g_2^{\varphi\varphi r}
& g_3^{\varphi\varphi r} & g_4^{\varphi\varphi r} \\
g_1^{\varphi\varphi\varphi} & g_2^{\varphi\varphi\varphi}
& g_3^{\varphi\varphi\varphi} & g_4^{\varphi\varphi\varphi} \\
-G_1^{\varphi\varphi} & -G_2^{\varphi\varphi}
& -G_3^{\varphi\varphi} & -G_4^{\varphi\varphi} \\
-G_1^{\varphi r} & -G_2^{\varphi r}
& -G_3^{\varphi r} & -G_4^{\varphi r} \\
-g_1^{\varphi\varphi r} & -g_2^{\varphi\varphi r}
& -g_3^{\varphi\varphi r} & -g_4^{\varphi\varphi r} \\
-g_1^{\varphi\varphi\varphi} & -g_2^{\varphi\varphi\varphi}
& -g_3^{\varphi\varphi\varphi} & -g_4^{\varphi\varphi\varphi}
\end{array}
\right]
\left[
\begin{array}{c}
A_1 \\
A_2 \\
A_3 \\
A_4 \\
B_1 \\
-B_2 \\
B_3 \\
-B_4
\end{array}
\right]=\boldsymbol{0}.
\end{split}
\end{equation}\end{split}\]
Protože první a pátý, druhý a šestý, třetí a sedmý a konečně čtvrtý a osmý řádek jsou lineárně závislé, může se soustava Gaussovou eliminací převést na tvar,
(49)¶\[\begin{split}\begin{equation}
\begin{split}
& \left[
\begin{array}{llll}
2F_1^{\varphi\varphi} & 2F_2^{\varphi\varphi}
& 2F_3^{\varphi\varphi} & 2F_4^{\varphi\varphi} \\
2F_1^{\varphi r} & 2F_2^{\varphi r}
& 2F_3^{\varphi r} & 2F_4^{\varphi r} \\
2f_1^{\varphi\varphi r} & 2f_2^{\varphi\varphi r}
& 2f_3^{\varphi\varphi r} & 2f_4^{\varphi\varphi r} \\
2f_1^{\varphi\varphi\varphi} & 2f_2^{\varphi\varphi\varphi}
& 2f_3^{\varphi\varphi\varphi} & 2f_4^{\varphi\varphi\varphi} \\
F_1^{\varphi\varphi} & F_2^{\varphi\varphi}
& F_3^{\varphi\varphi} & F_4^{\varphi\varphi} \\
F_1^{\varphi r} & F_2^{\varphi r}
& F_3^{\varphi r} & F_4^{\varphi r} \\
f_1^{\varphi\varphi r} & f_2^{\varphi\varphi r}
& f_3^{\varphi\varphi r} & f_4^{\varphi\varphi r} \\
f_1^{\varphi\varphi\varphi} & f_2^{\varphi\varphi\varphi}
& f_3^{\varphi\varphi\varphi} & f_4^{\varphi\varphi\varphi}
\end{array}
\right. \\
& \qquad \qquad
\left.
\begin{array}{llll}
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
-G_1^{\varphi\varphi} & -G_2^{\varphi\varphi}
& -G_3^{\varphi\varphi} & -G_4^{\varphi\varphi}\\
-G_1^{\varphi r} & -G_2^{\varphi r}
& -G_3^{\varphi r} & -G_4^{\varphi r}\\
-g_1^{\varphi\varphi r} & -g_2^{\varphi\varphi r}
& -g_3^{\varphi\varphi r} & -g_4^{\varphi\varphi r} \\
-g_1^{\varphi\varphi\varphi} & -g_2^{\varphi\varphi\varphi}
& -g_3^{\varphi\varphi\varphi} & -g_4^{\varphi\varphi\varphi}
\end{array}
\right]
\left[
\begin{array}{l}
A_{1}\\
A_{2}\\
A_{3}\\
A_{4}\\
B_{1}\\
B_{2}\\
B_{3}\\
B_{4}
\end{array}
\right]=\boldsymbol{0}.
\end{split}
\end{equation}\end{split}\]
Aby soustava (49) měla netriviální (nenulové) řešení, musí být determinant matice soustavy nulový. Protože je matice soustavy bloková (jde rozdělit na čtyři bloky, přičemž pravý horní je nulový), spočítá se její determinant jako součin determinantů submatic na diagonále,
(50)¶\[\begin{split}\begin{equation}
\begin{split}
& 16\left|
\begin{array}{llll}
F_1^{\varphi\varphi} & F_2^{\varphi\varphi}
& F_3^{\varphi\varphi} & F_4^{\varphi\varphi} \\
F_1^{\varphi r} & F_2^{\varphi r}
& F_3^{\varphi r} & F_4^{\varphi r} \\
f_1^{\varphi\varphi r} & f_2^{\varphi\varphi r}
& f_3^{\varphi\varphi r} & f_4^{\varphi\varphi r} \\
f_1^{\varphi\varphi\varphi} & f_2^{\varphi\varphi\varphi}
& f_3^{\varphi\varphi\varphi} & f_4^{\varphi\varphi\varphi}
\end{array}
\right| \\
& \qquad \qquad
\times
\left|
\begin{array}{llll}
-G_1^{\varphi\varphi} & -G_2^{\varphi\varphi}
& -G_3^{\varphi\varphi} & -G_4^{\varphi\varphi} \\
-G_1^{\varphi r} & -G_2^{\varphi r}
& -G_3^{\varphi r} & -G_4^{\varphi r} \\
-g_1^{\varphi\varphi r} & -g_2^{\varphi\varphi r}
& -g_3^{\varphi\varphi r} & -g_4^{\varphi\varphi r} \\
-g_1^{\varphi\varphi\varphi} & -g_2^{\varphi\varphi\varphi}
& -g_3^{\varphi\varphi\varphi} & -g_4^{\varphi\varphi\varphi}
\end{array}
\right|=0
\end{split}
\end{equation}\end{split}\]
První determinant (50) se může vyjádřit ve tvaru
(51)¶\[\begin{split}\begin{equation}
\begin{split}
& D_1(p,\lambda,\mu,\nu)\cos\pi(p-1)\cos\pi(p-3)\sin\pi(p+1)\sin\pi(p-1) \\
& +D_2(p,\lambda,\mu,\nu)\cos^2\pi(p-1)\sin\pi(p+1)\sin\pi(p-3) \\
& +D_3(p,\lambda,\mu,\nu)\cos\pi(p+1)\cos\pi(p-1)\sin\pi(p-1)\sin\pi(p-3) \\
& +D_4(p,\lambda,\mu,\nu)\cos\pi(p+1)\cos\pi(p-3)\sin^2\pi(p-1) = 0.
\end{split}
\end{equation}\end{split}\]
Funkce \(D_1\)-\(D_4\) jsou relativně komplikované výrazy (nejspíš jdou upravit do nějakého rozumnějšího tvaru), které horko těžko budou všechny najednou nulové v nějakém bodě intervalu \((1,2)\), ve kterém se podle (35) a podmínky singulárního chování gradientních členů momentů totálních napětí musí exponent \(p\) nacházet. Pro zbývající výrazy součinů \(\sin\) a \(\cos\) to neplatí. Pro nulové hodnoty \(\sin\) platí
(52)¶\[\pi(p+1)=\pi k_1,\quad\pi(p-1)=\pi k_2,\quad\pi(p-3)=\pi k_3,\]
kde \(k_1,k_2,k_3\in\mathbb{Z}\). Společně řešení těchto rovnic je \(p\in\mathbb{Z}\) a speciálně \(p=1\) nebo \(p=2\), která jsou z našeho pohledu triviální a nezajímavá. Pro nulové hodnoty \(\cos\) platí,
(53)¶\[\begin{split}\begin{equation}
\begin{split}
& \pi(p+1)=\frac{\pi}{2}+k_1\pi, \\
& \pi(p-1)=\frac{\pi}{2}+k_2\pi, \\
& \pi(p-3)=\frac{\pi}{2}+k_3\pi,
\end{split}
\end{equation}\end{split}\]
kde opět \(k_1,k_2,k_3\in\mathbb{Z}\). Společné řešení těchto rovnic je
(54)¶\[p=\frac{1}{2}+k\pi,\]
kde \(k\in\mathbb{Z}\). Speciálně
(55)¶\[p=\frac{3}{2}\]
je právě exponent, který nás zajímá.
Literatura