Základní vztahy
Při odvozování rovnic rovnováhy a konstitutivních vztahů u flexoelektrických materiálů se místo hustoty deformační energie \(w(\varepsilon_{ij},\varepsilon_{ij,k},P_i)\), jako v části Flexoelektricita I, může vycházet z hustoty enetalpie \(h(\varepsilon_{ij},\varepsilon_{ij,k},E_i)\), viz . V případě izotropního materiálu má entalpie tvar
(1)\[\begin{split}h &=\frac{1}{2}\lambda\varepsilon_{ll}\varepsilon_{mm}+\mu\varepsilon_{ij}\varepsilon_{ij}
+\frac{1}{2}l^{2}(\lambda\varepsilon_{ll,i}\varepsilon_{mm,i}+2\mu\varepsilon_{ij,k}\varepsilon_{ij,k}) \\
&-f_{1}\varepsilon_{ll,m}E_{m}-2f_{2}\varepsilon_{lm,l}E_{m}-\frac{1}{2}\kappa E_{l}E_{l},\end{split}\]
kde \(\lambda\) a \(\mu\) jsou Lamého konstanty, \(l\) je délkový materiálový parametr, \(f_{1}\) a \(f_{2}\) jsou dva nezávisle flexoelektrické koeficienty a \(\kappa\) je permitivita materiálu. Z (1) se dostanou konstitutivní vztahy pro Cauchyho napětí \(\sigma_{ij}\), vyšší napětí \(\tau_{ijk}\) a elektrický posuv \(D_{i}\) následovně
(2)\[\sigma_{ij}=\frac{\partial h}{\partial\varepsilon_{ij}}
=\lambda\varepsilon_{ll}\delta_{ij}+2\mu\varepsilon_{ij},\]
(3)\[\tau_{ijk}=\frac{\partial h}{\partial\varepsilon_{ij,k}}
=l^{2}(\lambda\varepsilon_{ll,k}\delta_{ij}+2\mu\varepsilon_{ij,k})
-f_{1}E_{k}\delta_{ij}-f_{2}E_{i}\delta_{jk}-f_{2}E_{j}\delta_{ik},\]
(4)\[D_{i}=-\frac{\partial h}{\partial E_{i}}=\kappa E_{i}+f_{1}\varepsilon_{ll,i}+2f_{2}\varepsilon_{li,l},\]
kde \(\delta_{ij}\) je Kroneckerovo delta
(5)\[\begin{split}\delta_{ij}=
\begin{cases}
1 & \mathrm{pro}\,i=j,\\
0 & \mathrm{pro}\,i\neq j.
\end{cases}\end{split}\]
Pro Cauchyho napětí \(\sigma_{ij}\) a vyšší napětí \(\tau_{ijk}\) samozřejmě platí rovnice rovnováhy
(6)\[\sigma_{il,l}-\tau_{ilm,lm}+b_{i}=0\]
a Maxwellova rovnice
(7)\[D_{l,l}=0,\]
kde \(b_{i}\) je objemová síla. Dirichletovy (kinematické) okrajové podmínky jsou
(8)\[\begin{split}u_{i} &=\overline{u}_{i}\quad\mathrm{na}\,\partial\Omega_{u}, \\
\nu_{i}=u_{i,l}n_{l} &=\overline{\nu}_{i}\quad\mathrm{na}\,\partial\Omega_{\nu}, \\
\varphi &=\overline{\varphi}\quad\mathrm{na}\:\partial\Omega_{\varphi}\end{split}\]
a Neumannovy (přirozené) okrajové podmínky jsou
(9)\[\begin{split}t_{i} =n_{l}(\sigma_{il}-\tau_{ilm,m})-\mathscr{D}_{l}(\tau_{ilm}n_{m})+(\mathscr{D}_{l}n_{l})n_{m}n_{n}\tau_{imn}
&=\overline{t}_{i}\quad\mathrm{na}\,\partial\Omega_{t}, \\
r_{i} =n_{l}n_{m}\tau_{ilm}
&=\overline{r}_{i}\quad\mathrm{na}\,\partial\Omega_{r}, \\
\omega=n_{l}D_{l} &=\overline{\omega}\quad\mathrm{na}\,\partial\Omega_{\omega},\end{split}\]
kde
(10)\[\mathscr{D}_{i}(\cdot)=(\cdot)_{,i}-n_{i}\mathscr{D}(\cdot),\quad\mathscr{D}(\cdot)=n_{p}(\cdot)_{,p}.\]
Pro jednotlivé části hranice musí platit
(11)\[\partial\Omega=\partial\Omega_{u}\cup\partial\Omega_{t}=\partial\Omega_{\nu}
\cup\partial\Omega_{r}=\partial\Omega_{\varphi}\cup\partial\Omega_{\omega}\]
a
(12)\[\partial\Omega_{u}\cap\partial\Omega_{t}=\partial\Omega_{\nu}
\cap\partial\Omega_{r}=\partial\Omega_{\varphi}\cap\partial\Omega_{\omega}=\emptyset.\]
Stejně jako v jako v části Flexoelektricita I, dosazením (2)–(4) do (6) a (7), se dostane
(13)\[\begin{split}(\lambda+\mu)(1-l_{1}^{2}\nabla^{2})u_{l,li}+\mu(1-l^{2}\nabla^{2})u_{i,ll}+b_{i} &= 0, \\\end{split}\]
(14)\[\varphi_{,ll}-f\kappa^{-1}\nabla^{2}u_{l,l} =0,\]
kde \(\nabla^{2}\) je Laplaceův operátor a
(15)\[f=f_{1}+2f_{2},l_{1}^{2}=l^{2}+f^{2}(\lambda+\mu)^{-1}\kappa^{-1}.\]
Greenova funkce pro flexoelektrický materiál
Greenova funkce \(G_{ij}\) vyjadřuje posuv \(u_{i}\) v bodě \(\boldsymbol{x}\) tělesa \(\Omega\) způsobený jenotkovou objemovou silou \(b_{j}\) působící v počátku souřadnic ve směru osy \(x_{j}\) . Greenova funkce \(G_{ij}\) tedy musí splňovat rovnici rovnováhy (13) tak, že platí
(16)\[(\lambda+\mu)(1-l_{1}^{2}\nabla^{2})G_{lj,li}+\mu(1-l^{2}\nabla^{2})G_{ij,ll}
+\delta_{ij}\delta(\boldsymbol{x})=0,\]
kde \(\delta(x_{1},x_{2})\) je \(\delta\)-funkce, pro kterou platí
(17)\[\begin{split}\delta(\boldsymbol{x})=
\begin{cases}
\infty & \mathrm{pro}\,\boldsymbol{x}=0,\\
0 & \mathrm{pro}\,\boldsymbol{x}\neq0
\end{cases}
\quad\mathrm{a}\quad
\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}
\delta(\boldsymbol{x})\mathrm{d}x_{3}\mathrm{d}x_{2}\mathrm{d}x_{1}=1.\end{split}\]
Na rovnici (16) aplikujeme Fourierovu 3d-transformaci, tj. vynásobíme výrazem \(\mathrm{e}^{-\mathrm{i}q_{l}x_{l}}\) a plošně integrujeme
(18)\[\begin{split}(\lambda+\mu)\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}
(1-l_{1}^{2}\nabla^{2})G_{lj,li}(\boldsymbol{x})\mathrm{e}^{-\mathrm{i}q_{m}x_{m}}
\mathrm{d}x_{1}\mathrm{d}x_{2}\mathrm{d}x_{3} & \\
+\mu\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}
(1-l^{2}\nabla^{2})G_{ij,ll}(\boldsymbol{x})\mathrm{e}^{-\mathrm{i}q_{m}x_{m}}
\mathrm{d}x_{1}\mathrm{d}x_{2}\mathrm{d}x_{3} & \\
+\delta_{ij}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}
\delta(\boldsymbol{x})\mathrm{e}^{-\mathrm{i}q_{l}x_{l}}
\mathrm{d}x_{1}\mathrm{d}x_{2}\mathrm{d}x_{3} &=0.\end{split}\]
Jen v rychlosti, dvě důležité vlastnosti Fourierovy 3d-transformace, které jsou následující
(19)\[\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}
f_{,i}(\boldsymbol{x})\mathrm{e}^{-\mathrm{i}q_{l}x_{l}}\mathrm{d}x_{1}\mathrm{d}x_{2}\mathrm{d}x_{3}
=\mathrm{i}q_{i}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}
f(\boldsymbol{x})\mathrm{e}^{-\mathrm{i}q_{l}x_{l}}\mathrm{d}x_{1}\mathrm{d}x_{2}\mathrm{d}x_{3},\]
(20)\[\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}
\delta(\boldsymbol{x})\mathrm{e}^{-\mathrm{i}q_{l}x_{l}}\mathrm{d}x_{1}\mathrm{d}x_{2}\mathrm{d}x_{3}=1.\]
Odtud tedy plyne
(21)\[-(\lambda+\mu)(1+l_{1}^{2}q^{2})q_{l}q_{i}\hat{G}_{lj}-\mu(1+l^{2}q^{2})q^{2}\hat{G}_{ij}+\delta_{ij}=0,\]
kde
(22)\[\hat{G}_{ij}(\boldsymbol{q})=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}
G_{ij}(\boldsymbol{x})\mathrm{e}^{-\mathrm{i}q_{l}x_{l}}\mathrm{d}x_{1}\mathrm{d}x_{2}\mathrm{d}x_{3},\]
(23)\[q^{2}=q_{l}q_{l}.\]
Rovnice (21) se vynásobí souřadnicí \(q_{i}\) z transformovaného prostoru a přes tyto souřadnice se sečte
(24)\[(\lambda+\mu)(1+l_{1}^{2}q^{2})q^{2}q_{l}\hat{G}_{lj}+\mu(1+l^{2}q^{2})q^{2}q_{l}\hat{G}_{lj}-q_{j}=0.\]
Odtud se dostane
(25)\[q_{l}\hat{G}_{lj}=\frac{q_{j}}{q^{2}(\lambda+2\mu)[1+l^{2}q^{2}+(\lambda+2\mu)^{-1}f^{2}\kappa^{-1}q^{2}]}.\]
Dosazením (25) do (21) se vyjádří Fourierova transformace \(\hat{G}_{ij}\) funkce \(G_{ij}\), tj.
(26)\[\begin{split}\hat{G}_{ij} &=\frac{\delta_{ij}}{\mu q^{2}(1+l^{2}q^{2})} \\
&-\frac{q_{i}q_{j}}{q^{4}}\frac{(\lambda+\mu)(1+l_{1}^{2}q^{2})}
{\mu(1+l^{2}q^{2})(\lambda+2\mu)[1+l^{2}q^{2}+(\lambda+2\mu)^{-1}f^{2}\kappa^{-1}q^{2}]} \\
&=\frac{\delta_{ij}}{\mu q^{2}(1+l^{2}q^{2})} \\
&-\frac{q_{i}q_{j}}
{q^{4}}\left\{ \frac{1}{\mu(1+l^{2}q^{2})}
-\frac{1}{(\lambda+2\mu)[1+l^{2}q^{2}+(\lambda+2\mu)^{-1}f^{2}\kappa^{-1}q^{2}]}\right\} \\
&=\hat{G}_{ij}^{(1)}+\hat{G}_{ij}^{(2)}+\hat{G}_{ij}^{(3)},\end{split}\]
kde
(27)\[\hat{G}_{ij}^{(1)}=\frac{\delta_{ij}}{\mu q^{2}(1+l^{2}q^{2})},\]
(28)\[\hat{G}_{ij}^{(2)}=-\frac{q_{i}q_{j}}{q^{4}}\frac{1}{\mu(1+l^{2}q^{2})},\]
(29)\[\hat{G}_{ij}^{(3)}=\frac{q_{i}q_{j}}{q^{4}}\frac{1}
{(\lambda+2\mu)[1+l^{2}q^{2}+(\lambda+2\mu)^{-1}f^{2}\kappa^{-1}q^{2}]}.\]
Inverzní Fourierovou transformací funkce \(\hat{G}_{ij}\) dostaneme hledanou Greenovu funkci. Při zavedení sférických souřadnic
(30)\[\begin{split}q_{1} &=\hat{r}\cos\hat{\theta}\sin\hat{\psi}, \\
q_{2} &=\hat{r}\sin\hat{\theta}\sin\hat{\psi}, \\
q_{3} &=\hat{r}\cos\hat{\psi}\end{split}\]
je jasné, že první výraz v (26) závisí pouze na souřadnici \(\hat{r}\)
(31)\[\begin{split}\hat{G}_{ij}^{(1)} &=\frac{\delta_{ij}}{\mu\hat{r}^{2}}(\cos^{2}\hat{\theta}\sin^{2}\hat{\psi}
+\sin^{2}\hat{\theta}\sin^{2}\hat{\psi}+\cos^{2}\hat{\psi})^{-1} \\
&\times[1+l^{2}\hat{r}^{2}(\cos^{2}\hat{\theta}\sin^{2}\hat{\psi}
+\sin^{2}\hat{\theta}\sin^{2}\hat{\psi}+\cos^{2}\hat{\psi})]^{-1} \\
&=\frac{\delta_{ij}}{\mu\hat{r}^{2}}[(\cos^{2}\hat{\theta}
+\sin^{2}\hat{\theta})\sin^{2}\hat{\psi}+\cos^{2}\hat{\psi}]^{-1} \\
&\times[1+l^{2}\hat{r}^{2}[(\cos^{2}\hat{\theta}
+\sin^{2}\hat{\theta})\sin^{2}\hat{\psi}+\cos^{2}\hat{\psi}]] \\
&=\frac{\delta_{ij}}{\mu\hat{r}^{2}(1+l^{2}\hat{r}^{2})}\equiv\hat{G}_{ij}^{(1)}(\hat{r}).\end{split}\]
Jakobián ve sférického souřadnicového systému je
(32)\[\begin{split}\hat{J}=\left[
\begin{array}{ccc}
\cos\hat{\theta}\sin\hat{\psi} & -\hat{r}\sin\hat{\theta}\sin\hat{\psi} & \hat{r}\cos\hat{\theta}\cos\hat{\psi}\\
\sin\hat{\theta}\sin\hat{\psi} & \hat{r}\cos\hat{\theta}\sin\hat{\psi} & \hat{r}\sin\hat{\theta}\cos\hat{\psi}\\
\cos\hat{\psi} & 0 & -\hat{r}\sin\hat{\psi}
\end{array}
\right]\Rightarrow|J|=\hat{r}^{2}\sin\hat{\psi}.\end{split}\]
Pokud se zavedou sférické souřadnice
(33)\[\begin{split}x_{1} &=r\cos\theta\sin\psi, \\
x_{2} &=r\sin\theta\sin\psi, \\
x_{3} &=r\cos\psi,\end{split}\]
pak inverzní Fourierova transformace prvního výrazu (27)
(34)\[G_{ij}^{(1)}(\boldsymbol{x})=\frac{1}{8\pi^{3}}\int_{0}^{\infty}
\hat{G}_{ij}^{(1)}(\hat{r})
\left(\int_{0}^{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\mathrm{e}^{\mathrm{i}q_{l}x_{l}}
\sin\hat{\psi}\mathrm{d}\hat{\theta}\mathrm{d}\hat{\psi}\right)\hat{r}^{2}\mathrm{d}\hat{r}\]
musí tedy záviset také pouze na vzdálenosti \(r\). Jinými slovy, integrál v závorce nezávisí na úhlech \(\theta\) a \(\psi\) a vektor \(\boldsymbol{x}\) se může zvolit třeba následovně
(35)\[\boldsymbol{x}=r(0,0,1).\]
Pak ovšem platí
(36)\[G_{ij}^{(1)}(r)=\frac{1}{8\pi^{3}}\int_{0}^{\infty}\hat{G}_{ij}^{(1)}(\hat{r})
\left(\int_{0}^{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\mathrm{e}^{\mathrm{i}r\hat{r}\cos\hat{\psi}}
\sin\hat{\psi}\mathrm{d}\hat{\theta}\mathrm{d}\hat{\psi}\right)\hat{r}^{2}\mathrm{d}\hat{r}.\]
Substitucí
(37)\[\begin{split}\cos\hat{\psi}=\hat{t}\Rightarrow-\sin\hat{\psi}\mathrm{d}\hat{\psi}
=\mathrm{d}\hat{t}\Rightarrow
\begin{cases}
\hat{t}=-1 & \mathrm{pro}\ \hat{\psi}=\pi,\\
\hat{t}=1 & \mathrm{pro}\ \hat{\psi}=0
\end{cases}\end{split}\]
se integrál v závorce může přepsat do tvaru
(38)\[G_{ij}^{(1)}(r)=\frac{1}{8\pi^{3}}\int_{0}^{\infty}\hat{G}_{ij}^{(1)}(\hat{r})
\left(\int_{-1}^{1}\int_{-\pi}^{\pi}\mathrm{e}^{\mathrm{i}r\hat{r}\hat{t}}
\mathrm{d}\hat{\theta}\mathrm{d}\hat{t}\right)\hat{r}^{2}\mathrm{d}\hat{r}\]
a spočítat
(39)\[\begin{split}G_{ij}^{(1)}(r) &=\frac{1}{4\pi^{2}}\int_{0}^{\infty}\hat{G}_{ij}^{(1)}(\hat{r})
\left(\int_{-1}^{1}\mathrm{e}^{\mathrm{i}r\hat{r}\hat{t}}\mathrm{d}\hat{t}\right)\hat{r}^{2}\mathrm{d}\hat{r} \\
&=\frac{1}{4\pi^{2}}\int_{0}^{\infty}\hat{G}_{ij}^{(1)}(\hat{r})
\left(\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}r\hat{r}}-\mathrm{e}^{-\mathrm{i}r\hat{r}}}{\mathrm{i}r\hat{r}}\right)
\hat{r}^{2}\mathrm{d}\hat{r} \\
&=-\frac{\mathrm{i}}{4\pi^{2}r}\int_{0}^{\infty}\hat{G}_{ij}^{(1)}(\hat{r})
\left(\cos r\hat{r}+\mathrm{i}\sin r\hat{r}-\cos r\hat{r}+\mathrm{i}\sin r\hat{r}\right)
\hat{r}\mathrm{d}\hat{r} \\
&=\frac{1}{2\pi^{2}r}\int_{0}^{\infty}\hat{G}_{ij}^{(1)}(\hat{r})\hat{r}\sin r\hat{r}\mathrm{d}\hat{r}.\end{split}\]
Dosazením (31) do (39) se dostane
(40)\[G_{ij}^{(1)}(r)=\frac{\delta_{ij}}{2\pi^{2}\mu r}
\int_{0}^{\infty}\frac{\sin r\hat{r}}{\hat{r}(1+l^{2}\hat{r}^{2})}\mathrm{d}\hat{r}.\]
Integrál se spočítá způsobem, který vymyslel Feynman, viz část Některé nevlastní integrály. Nejdříve se trochu upraví
(41)\[\begin{split}G_{ij}^{(1)}(r) &=\frac{\delta_{ij}r}{2\pi^{2}\mu l^{2}}
\int_{0}^{\infty}\frac{\sin r\hat{r}}{r\hat{r}(r^{2}l^{-2}+r^{2}\hat{r}^{2})}
\mathrm{d}(r\hat{r}) \\
&=\frac{\delta_{ij}r}{2\pi^{2}\mu l^{2}}\int_{0}^{\infty}\frac{\sin t}{t(r^{2}l^{-2}+t^{2})}\mathrm{d}t\end{split}\]
a pak vyjádří
(42)\[G_{ij}^{(1)}(r)=\frac{\delta_{ij}}{4\pi\mu r}(1-\mathrm{e}^{-rl^{-1}}).\]
Obraz \(G_{ij}^{(2)}(r)\) Greenovy funkce (28) se vyjádří podobně. Inverzní Fourierova transformace (28) má tvar
(43)\[\begin{split}G_{ij}^{(2)}(\boldsymbol{x}) &=\frac{1}{8\pi^{3}}
\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}
\hat{G}_{ij}^{(2)}(\boldsymbol{q})\mathrm{e}^{\mathrm{i}q_{l}x_{l}}
\mathrm{d}q_{1}\mathrm{d}q_{2}\mathrm{d}q_{3} \\
&=-\frac{1}{8\pi^{3}}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}
\frac{q_{i}q_{j}\mathrm{e}^{\mathrm{i}q_{l}x_{l}}}{\mu q^{4}(1+l^{2}q^{2})}
\mathrm{d}q_{1}\mathrm{d}q_{2}\mathrm{d}q_{3} \\
&=\frac{1}{8\pi^{3}}\frac{\partial^{2}}{\partial x_{i}\partial x_{j}}
\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}
\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}q_{l}x_{l}}}{\mu q^{4}(1+l^{2}q^{2})}
\mathrm{d}q_{1}\mathrm{d}q_{2}\mathrm{d}q_{3}.\end{split}\]
Substitucí polárních souřadnic (30) a (32) se trojný integrál (43) převede na tvar
(44)\[G_{ij}^{(2)}(r)=\frac{1}{8\pi^{3}}\frac{\partial^{2}}{\partial x_{i}\partial x_{j}}
\int_{0}^{\infty}\frac{1}{\mu\hat{r}^{4}(1+l^{2}\hat{r}^{2})}
\left(\int_{-1}^{1}\int_{-\pi}^{\pi}\mathrm{e}^{\mathrm{i}r\hat{r}\hat{t}}
\mathrm{d}\hat{\theta}\mathrm{d}\hat{t}\right)\hat{r}^{2}\mathrm{d}\hat{r},\]
odkud se podle (39) dostane
(45)\[\begin{split}G_{ij}^{(2)}(r) &=\frac{1}{2\pi^{2}\mu}\frac{\partial^{2}}{\partial x_{i}\partial x_{j}}
\int_{0}^{\infty}\frac{\sin r\hat{r}}{r\hat{r}^{3}(1+l^{2}\hat{r}^{2})}\mathrm{d}\hat{r} \\
&=\frac{1}{2\pi^{2}\mu}\frac{\partial^{2}}{\partial x_{i}\partial x_{j}}
\int_{0}^{\infty}\frac{1}{r}
\left[\frac{1}{\hat{r}^{3}}-\frac{l^{2}}{\hat{r}(1+l^{2}\hat{r}^{2})}\right]\sin r\hat{r}\mathrm{d}\hat{r} \\
&=\frac{1}{2\pi^{2}\mu}\frac{\partial^{2}}{\partial x_{i}\partial x_{j}}
\int_{0}^{\infty}r\left\{ \frac{1}{(r\hat{r})^{3}}-\frac{1}{r\hat{r}[r^{2}l^{-2}+(r\hat{r})^{2}]}\right\}
\sin r\hat{r}\mathrm{d}(r\hat{r}) \\
&=\frac{1}{2\pi^{2}\mu}\frac{\partial^{2}}{\partial x_{i}\partial x_{j}}
\int_{0}^{\infty}r\left\{ \frac{1}{t^{3}}-\frac{1}{t[r^{2}l^{-2}+t^{2}]}\right\} \sin t\mathrm{d}t\end{split}\]
Integrál
(46)\[\int_{0}^{\infty}\frac{\sin t}{t^{3}}\mathrm{d}t\]
je silně singulární v dolní mezi, tj. pro \(t=0\), a nejde vyjádřit v klasickém smyslu. Důvodem je gradientní pružnost a její napětí vyšších řádů, které se chovají v blízkosti singulrity jako hraniční vrstva. Integrál však obsahuje i nesingulární členy, které se vyjádří tak, že se (46) vyjádří jako limita
(47)\[\begin{split}\lim_{\varepsilon\rightarrow0}\int_{\varepsilon}^{\infty}\frac{\sin t}{t^{3}}\mathrm{d}t
&=\left\{
\begin{array}{l}
u=\sin t\Rightarrow u^{\prime}=\cos t\\
v^{\prime}=t^{-3}\Rightarrow v=-t^{-2}/2
\end{array}
\right\}
=\lim_{\varepsilon\rightarrow0}
\left\{ \left[-\frac{1}{2t^{2}}\sin t\right]_{\varepsilon}^{\infty}
+\int_{\varepsilon}^{\infty}\frac{\cos t}{2t^{2}}\mathrm{d}t\right\} \\
&=\left\{
\begin{array}{l}
u=\cos t\Rightarrow u^{\prime}=-\sin t\\
v^{\prime}=2t^{-2}\Rightarrow v=-2t^{-1}
\end{array}
\right\} \\
&=\lim_{\varepsilon\rightarrow0}
\left\{ \left[-\frac{1}{2t^{2}}\sin t\right]_{\varepsilon}^{\infty}
-\left[\frac{\cos t}{2t}\right]_{\varepsilon}^{\infty}
-\int_{\varepsilon}^{\infty}\frac{\sin t}{2t}\mathrm{d}t\right\}.\end{split}\]
První dva výrazy ve složené závorce limity jsou singulární a v dalším nepoužitelné, avšak poslední integrál má konečnou hodnotu, viz Některé nevlastní integrály. Je to tzv. Hadamardova konečná část silně singulárního integrálu (46), se kterou se již dá počítat
(48)\[\mathrm{F.p.}\int_{0}^{\infty}\frac{\sin t}{t^{3}}\mathrm{d}t
=-\frac{1}{2}\int_{0}^{\infty}\frac{\sin t}{t}\mathrm{d}t=-\frac{\pi}{4}.\]
Takže s pomocí (42) pro funkci (45) platí
(49)\[G_{ij}^{(2)}(r)=-\frac{1}{8\pi\mu}\frac{\partial^{2}}{\partial x_{i}\partial x_{j}}
\left[r+\frac{2l^{2}}{r}(1-\mathrm{e}^{-rl^{-1}})\right].\]
Pro funkci (29) platí inverzní transformace
(50)\[\begin{split}G_{ij}^{(3)}(\boldsymbol{x}) &=\frac{1}{8\pi^{3}}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}
\hat{G}_{ij}^{(3)}(\boldsymbol{q})\mathrm{e}^{\mathrm{i}q_{l}x_{l}}
\mathrm{d}q_{1}\mathrm{d}q_{2}\mathrm{d}q_{3} \\
&=\frac{1}{8\pi^{3}(\lambda+2\mu)} \\
&\times\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}
\frac{q_{i}q_{j}\mathrm{e}^{\mathrm{i}q_{l}x_{l}}}{q^{4}
[1+(l^{2}+(\lambda+2\mu)^{-1}f^{2}\kappa^{-1})q^{2}]}
\mathrm{d}q_{1}\mathrm{d}q_{2}\mathrm{d}q_{3} \\
&=-\frac{1}{8\pi^{3}(\lambda+2\mu)} \\
&\times\frac{\partial^{2}}{\partial x_{i}\partial x_{j}}
\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}
\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}q_{l}x_{l}}}
{q^{4}[1+(l^{2}+(\lambda+2\mu)^{-1}f^{2}\kappa^{-1})q^{2}]}
\mathrm{d}q_{1}\mathrm{d}q_{2}\mathrm{d}q_{3}.\end{split}\]
Řešením je integrál stejný jako (49) v případě funkce (28), tj.
(51)\[\begin{split}G_{ij}^{(3)}(r) &=-\frac{1}{8\pi^{3}(\lambda+2\mu)} \\
&\times\frac{\partial^{2}}{\partial x_{i}\partial x_{j}}\int_{0}^{\infty}
\frac{1}{\hat{r}^{4}[1+(l^{2}+(\lambda+2\mu)^{-1}f^{2}\kappa^{-1})\hat{r}^{2}]}
\left(\int_{-1}^{1}\int_{-\pi}^{\pi}\mathrm{e}^{\mathrm{i}r\hat{r}\hat{t}}
\mathrm{d}\hat{\theta}\mathrm{d}\hat{t}
\right)\hat{r}^{2}\mathrm{d}\hat{r}.\end{split}\]
Takže
(52)\[\begin{split}G_{ij}^{(3)}(r) &=-\frac{1}{2\pi^{2}(\lambda+2\mu)} \\
&\times\frac{\partial^{2}}{\partial x_{i}\partial x_{j}}\int_{0}^{\infty}
\frac{\sin r\hat{r}}{r\hat{r}^{3}[1+(l^{2}+(\lambda+2\mu)^{-1}f^{2}\kappa^{-1})\hat{r}^{2}]}
\mathrm{d}\hat{r} \\
&=-\frac{1}{2\pi^{2}(\lambda+2\mu)} \\
&\times\frac{\partial^{2}}{\partial x_{i}\partial x_{j}}\int_{0}^{\infty}
r\left\{
\frac{1}{(r\hat{r})^{3}}-\frac{l^{2}+(\lambda+2\mu)^{-1}f^{2}\kappa^{-1}}
{r\hat{r}[r^{2}+(l^{2}+(\lambda+2\mu)^{-1}f^{2}\kappa^{-1})(r\hat{r})^{2}]}
\right\}
\sin r\hat{r}\mathrm{d}(r\hat{r}) \\
&=-\frac{1}{2\pi^{2}(\lambda+2\mu)} \\
&\times\frac{\partial^{2}}{\partial x_{i}\partial x_{j}}
\int_{0}^{\infty}r\left\{
\frac{1}{t^{3}}-\frac{1}{t[r^{2}(l^{2}+(\lambda+2\mu)^{-1}f^{2}\kappa^{-1})^{-1}+t^{2}]}
\right\} \sin t\mathrm{d}t \\
&=-\frac{1}{2\pi^{2}(\lambda+2\mu)} \\
&\times\frac{\partial^{2}}{\partial x_{i}\partial x_{j}}\int_{0}^{\infty}r
\left\{ \frac{1}{t^{3}}-\frac{1}{t[r^{2}(l^{2}+(\lambda+2\mu)^{-1}f^{2}\kappa^{-1})^{-1}+t^{2}]}
\right\} \sin t\mathrm{d}t\end{split}\]
a konečně
(53)\[\begin{split}G_{ij}^{(3)}(r) &=\frac{1}{8\pi(\lambda+2\mu)} \\
&\times\frac{\partial^{2}}{\partial x_{i}\partial x_{j}}
\left\{
r+\frac{2(l^{2}+(\lambda+2\mu)^{-1}f^{2}\kappa^{-1})}{r}
[1-\mathrm{e}^{-r(l^{2}+(\lambda+2\mu)^{-1}f^{2}\kappa^{-1})^{-1/2}}]
\right\}.\end{split}\]
Z (42), (49) a (53) se dostane Greenova funkce pro flexoelektrický materiál (1)
(54)\[\begin{split}G_{ij}(r) &=\frac{\delta_{ij}}{4\pi\mu r}(1-\mathrm{e}^{-rl^{-1}})
-\frac{1}{8\pi}\frac{\partial^{2}}{\partial x_{i}\partial x_{j}}
\left\{ \frac{r}{\mu}+\frac{2l^{2}}{\mu r}(1-\mathrm{e}^{-rl^{-1}})\right. \\
&\left.-\frac{r}{\lambda+2\mu}-\frac{2(l^{2}+(\lambda+2\mu)^{-1}f^{2}\kappa^{-1})}{(\lambda+2\mu)r}
[1-\mathrm{e}^{-r(l^{2}+(\lambda+2\mu)^{-1}f^{2}\kappa^{-1})^{-1/2}}]\right\}.\end{split}\]
U potenciálu \(\varphi\) se také předpokládá pouze závislost na \(r\) a rovnice (14) se tím pádem může přepsat do tvaru
(55)\[\nabla^{2}\Phi(r)=0,\]
kde
(56)\[\Phi(r)=\varphi(r)-f\kappa^{-1}u_{l,l}(r).\]
Ve sférických souřadnicích se Laplacián \(\nabla^{2}\) pro \(\Phi(r)\) redukuje na tvar
(57)\[\nabla^{2}=\frac{\partial^{2}}{\partial r^{2}}+\frac{2}{r}\frac{\partial}{\partial r}\]
a (55) se redukuje na obyčejnou diferenciální rovnici
(58)\[\Phi^{\prime\prime}(r)+\frac{2}{r}\Phi^{\prime}(r)=0.\]
Rovnice (58) se může přepsat do tvaru
(59)\[r\Phi^{\prime\prime}(r)+\Phi^{\prime}(r)+\Phi^{\prime}(r)=0\]
a následně jako
(60)\[[r\Psi(r)]^{\prime}+\Psi(r)=0,\]
kde
(61)\[\Psi(r)=\Phi^{\prime}(r).\]
Řešením je funkce
(62)\[\Psi(r)=Cr^{\alpha},\]
které po dosazení do (60) dá vztah
(63)\[(2+\alpha)Cr^{\alpha}=0.\]
Řešení \(C=0\), což je obecně nežádoucí, nebo
(64)\[\alpha=-2.\]
Takže
(65)\[\Phi^{\prime}(r)=Cr^{-2}\Rightarrow\Phi(r)=-C\frac{1}{r}+D.\]
Budou se předpokládat okrajové podmínky
(66)\[\Phi(r)=0 \quad\mathrm{pro}\:r\rightarrow\infty,\]
(67)\[\left\|\Phi(r)\right\|<\infty \quad\mathrm{pro}\ r\rightarrow0,\]
které v podstatě říkají, že \(\Phi(r)\) musí být integrovatelná a diferencovatelná v klasickém smyslu. Stačí, že jsou silně singulární posuvy \(u_{i}\), není nutné si to kazit i elektrickým potenciálem \(\varphi\). Z okrajových podmínek (66) a (67) plyne, že
(68)\[C=D=0\Rightarrow\Phi(r)=0.\]
Takže podle (56) se dostane
(69)\[\begin{split}\varphi_{j}(r) & =f\kappa^{-1}G_{lj,l}(r)\\
& =\frac{\delta_{lj}}{4\pi}\frac{f}{\mu\kappa}
\frac{\partial}{\partial x_{l}}\left(\frac{1-\mathrm{e}^{-rl^{-1}}}{r}\right)\\
& -\frac{f}{8\pi\kappa}\frac{\partial^{3}}{\partial x_{l}\partial x_{l}\partial x_{j}}
\left\{ \frac{r}{\mu}+\frac{2l^{2}}{\mu r}(1-\mathrm{e}^{-rl^{-1}})\right.\\
& \left.-\frac{r}{\lambda+2\mu}
-\frac{2(l^{2}+(\lambda+2\mu)^{-1}f^{2}\kappa^{-1})}{(\lambda+2\mu)r}
[1-\mathrm{e}^{-r(l^{2}+(\lambda+2\mu)^{-1}f^{2}\kappa^{-1})^{-1/2}}]\right\}.\end{split}\]
Literatura